1. Polinomi irriducibili

Ricordiamo che un polinomio $ p \in \KK [x_0,\ldots , x_ n]$ è detto riducibile se esistono due polinoni di grado $\geq 1$ $r,s \in \KK [x_0,\ldots , x_ n]$ tali che $p=rs$. Altrimenti, è detto irriducibile. Se un polinomio è riducibile, e quindi si fattorizza in componenti irriducibili, allora il suo sostegno è l’unione dei sostegni delle sue componenti irriducibili. Se le componenti irriducibili sono $p_1,\ldots p_ l$, allora

\[ p = p_1^{\mu _1} p_2^{\mu _2} \ldots p_ l^{\mu _ l}, \]

dove gli interi $\mu _ i \geq 1$ sono dette le moltiplicità dei fattori irriducibili $p_ i$, e risulta

\[ d = d_1\mu _1 + d_2\mu _2 + \ldots + d_ l\mu _ l, \]

se $d$ indica il grado di $p$ e $d_ i$ il grado di $p_ i$. La proprietà di essere riducibile dipende dalla scelta del campo dei coefficienti! Per esempio: $x^2 + y^2$ è irriducibile su $\RR $, ma è riducibile su $\CC $. Una conica semplicemente degenere ha due componenti irriducibili (di grado 1), mentre una conica doppiamente degenere ha una componente di primo grado di molteplicità 2.

Ricordiamo che un dominio $U$ è un dominio a fattorizzazione unica se

(1.1) Fatto. [?] Se $\KK $ è un campo, allora per ogni $n$ l’algebra dei polinomi $\KK [x_0,\ldots x_ n]$ è un dominio a fattorizzazione unica.

(1.2) Definizione. L’operatore (lineare) di derivazione $\mathrm{d}\, = \dfrac {\partial }{\partial x} \from \KK [x] \to \KK [x]$ è definito da

\[ \mathrm{d}\, ( x^ n ) = \dfrac {\partial }{\partial x} ( x^ n ) = n x^{n-1} \]

per ogni $n\geq 1$, e $\dfrac {\partial }{\partial x} (c) = 0$ per ogni $c\in \KK $ (cioè anche in questo caso vale $n x^{n-1}$ con $n=0$). In $\KK [x_0,\ldots , x_ n]$ ci sono $n+1$ operatori $\dfrac {\partial }{\partial x_ i}$ definiti in modo analogo:

\[ \dfrac {\partial }{\partial x_ i} \left( x_0^{\beta _0} \ldots x_ i^{\beta _ i} \ldots x_ n^{\beta _ n} \right) = \beta _ i x_0^{\beta _0} \ldots x_ i^{\beta _ i-1} \ldots x_ n^{\beta _ n}. \]


(1.3) Nota. Questo operatore è definito per qualisiasi campo $\KK $ (per esempio $\QQ $, $\RR $, $\CC $, $\FF _ p$, …). Si può mostrare che valgono le formule di derivazione del prodotto e sostituzione (cfr. esercizio 4.13).

(1.4) Proposizione. Sia $\KK $ un campo. L’elemento $a\in \KK $ è una radice multipla del polinomio $f(x) \in \KK [x]$ se e soltanto se $f(a) = f’(a) = 0$, dove $f’(a)$ indica $\dfrac {\partial f}{\partial x} (a)$.

Dim. L’elemento $a$ è una radice multipla se e soltanto se $(x-a)^2$ divide $f$. Se $f=(x-a)^2 g$, derivando si ottiene \[ f’= 2 (x-a) g + (x-a)^2 g’, \] e quindi $f’(a) = 0$. Viceversa, se $(x-a)^2$ non divide $f$, allora $f = (x-a)^2 g + bx+c$, con il resto $r\neq 0$, $r=bx+c$. Dato che $f(a) = 0$, deve essere $ba+c=0$, cioè $c=-ba$, cioè \[ f = (x-a)^2 g + b(x-a), \] e $b\neq 0$. Pertanto \[ f’ = 2(x-a) g + (x-a)^2 g’ + b \implies f’(a) = 0 + 0 + b \neq 0. \]
QED

(1.5) Nota. La caratteristica del campo deve essere diversa da $2$?

(1.6) Proposizione. Per un polinomio $p\in \KK [x_0,\ldots , x_ n]$, $p\neq 0$, valgono le seguenti proprietà:

  1. Il polinomio $p$ è omogeneo di grado $k$ se e soltanto se $p(t\vx ) = t^ k p(\vx )$.

  2. Se $p$ è omogeneo e $q$ divide $p$, allora anche $q$ è omogeneo.

  3. Se $p$ è omogeneo di grado $k$, allora (identità di Eulero)

    (1)\begin{equation} k p = \sum _{i=0}^ n x_ i\dfrac {\partial p}{\partial x_ i}. \end{equation}

Dim. Il lemma (7.3) a pagina * dimostra (i) (cfr. esercizio 3.28).

Per la (ii), per ogni polinomio $h\in \KK [x_0,\ldots , x_ n]$ definiamo i due numeri $m(h)$ e $M(h)$ come il grado minimo e massimo (rispettivamente) dei monomi di $h$. Il polinomio $h$ è omogeneo se e soltanto se $m(h) = M(h)$, e si ha

\[ m(fg) = m(f) + m(g) \]\[ M(fg) = M(f) + M(g). \]

Supponiamo $p=qh$ con $q$ non omogeneo, e quindi con $m(q) < M(q)$ ma allora

\[ m(p) = m( qh ) = m(q) + m(h) < M(q) + m(h) \leq M(q) + M(h) = M(qh ) = M(p), \]

da cui seguirebbe che $p$ non è omogeneo.

Per quanto riguarda la (iii), osserviamo che gli operatori $\KK [x_0,\ldots , x_ n] \to \KK [x_0, \ldots , x_ n]$ definiti da

\[ q \mapsto x_ i \dfrac {\partial q}{\partial x_ i} \]

sono lineari per ogni $i$, e quindi è lineare anche la loro somma. È sufficiente perciò dimostrare l’identità sui monomi nelle variabili $x_0,\ldots , x_ n$ omogenei di grado $d$:

\[ \begin{aligned} \sum _{i=0}^ n x_ i \dfrac {\partial }{\partial x_ i} \left( \prod _{j=0}^ n x_ j^{\alpha _ j} \right) & = \sum _{i=0}^ n x_ i \dfrac {\partial }{\partial x_ i} \left( x_ i^{\alpha _ i}\prod _{{j=0,\ j\neq i}}^ n x_ j^{\alpha _ j} \right) = \sum _{i=0}^ n \left( x_ i \dfrac {\partial }{\partial x_ i} x_ i^{\alpha _ i} \right) \prod _{{j=0,\ j\neq i}}^ n x_ j^{\alpha _ j} = \\ \sum _{i=0}^ n \alpha _ i x_ i^{\alpha _ i} \prod _{{j=0,\ j\neq i}}^ n x_ j^{\alpha _ j} & = \sum _{i=0}^ n \alpha _ i \prod _{j=0}^ n x_ j^{\alpha _ j} = \left( \sum _{i=0}^ n \alpha _ i \right) \prod _{j=0}^ n x_ j^{\alpha _ j} = d \prod _{j=0}^ n x_ j^{\alpha _ j}. \end{aligned} \]

Alternativamente, potremmo approfondire un po’ il discorso della sostituzione di variabili e osservare che $\hat p = p(t \vx )$ è un polinomio di $\KK [x_0,\ldots , x_ n,t]$, per poi usare l’operatore lineare di derivazione simbolica rispetto a $t$ (usando l’omogeneità di $p$)

\[ \hat p = p(t\vx ) = t^ k p \implies \dfrac {\partial }{\partial t} ( \hat p ) = \dfrac {\partial }{\partial t}( t^ k p) = k t^{k-1} p. \]

Proseguendo

\[ \sum _{i=0}^ n \dfrac {\partial p }{\partial x_ i}( t\vx ) \cdot \dfrac {\partial (tx_ i) }{\partial t} ( t x_ i ) = k t^{k-1} p(\vx ) \]\[ \sum _{i=0}^ n x_ i \dfrac {\partial p( t\vx ) }{\partial x_ i} = k t^{k-1} p(\vx ) \]

che ponendo $t=1$ è l’identità cercata.

QED

(1.7) Nota. Se $p$ è il polinomio nullo (omogeneo di grado $0$), allora $p(t\vx ) = t^ k p(\vx )$ per ogni $k$; l’ipotesi che $p$ non sia nullo è necessaria.

(1.8) Proposizione. La riducibilità/irriducibilità, il numero, il grado e la molteplicità delle componenti irriducibili sono proprietà affini/proiettive.

Dim. Lo si dimostri per esercizio 4.14.
QED

(1.9) Proposizione. Una conica $C$ di $\PP ^2(\CC )$ è riducibile se e solo se è degenere

Dim. Dato che l’essere degenere o riducibile sono proprietà proiettive, basta dimostrarlo nel caso in cui la matrice associata alla conica è in forma diagonale, cioè $d_1 x^2 + d_2 y^2 + d_3 u^2 = 0$. La conica risulta degenere se e soltanto se $d_1d_2d_3=0$, cioè se uno dei coefficienti $d_ i$ si annulla. Supponiamo quindi $C$ degenere; possiamo supporre sia $d_3=0$, e quindi il polinomio è $d_1x^2 + d_2y^2$, che è sempre fattorizzabile se $\KK $ è algebricamente chiuso, e quindi $C$ è riducibile. Viceversa, se $C$ è riducibile allora esistono due polinomi omogenei di primo grado tali che \[ d_1 x^2 + d_2 y^2 + d_3 u^2 = (ax+by+cu)(\alpha x + \beta y + \gamma u), \] e quindi deve essere \[ a\alpha = d_1, b \beta = d_2, c \gamma = d_3, a\beta + b \alpha = a\gamma + c \alpha = b \gamma + c \beta = 0. \] Se per assurdo $d_1d_2d_3\neq 0$, allora $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma $ sono tutti non nulli, e si ha \[ \frac{a}{b} + \frac{\alpha }{\beta } = \frac{b}{c} + \frac{\beta }{\gamma } = \frac{c}{a} + \frac{\gamma }{\alpha } = 0, \] da cui segue che \[ \frac{a}{b} \frac{b}{c} \frac{c}{a} = - \frac{\alpha }{\beta } \frac{\beta }{\gamma } \frac{\gamma }{\alpha }, \] cioè \[ 1 = -1, \] che è assurdo.
QED

(1.10) Nota. Se $\KK $ non è algebricamente chiuso, può essere che $C$ sia singolare ma il polinomio non riducibile (per esempio $x^2 + y^2 = 0$ è singolare ma il polinomio non è riducibile su $\RR $).