Esercizi: foglio 3

(3.1) [*] Dimostrare che il cono meno il vertice è una superficie, e che il cono con il vertice non lo è.

(3.2) Dimostrare che le coniche sono curve (nel senso della prima parte del corso).

(3.3) [*] Dimostrare che tutte le definizioni di conica in $\EE ^2$ date sono tra loro equivalenti (sezioni di cono, proprietà focali, rapporto distanza fuoco/direttrice, curva algebrica piana non degenere).

(3.4) [*] (La meridiana) Si determini la curva tracciata su un piano orizzontale dall’ombra della punta di una meridiana, in funzione della latitudine del luogo (da cui dipende l’angolo tra il piano e l’asse di rotazione terrestre) e del giorno dell’anno (da cui dipende l’angolo tra l’asse di rotazione terrestre e il raggio di sole che colpisce la punta della meridiana). Si veda la figura

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Figura 3.33: Meridiana

* . L’angolo tra l’asse terrestre e il piano eclittico, cioè il piano che contiene l’orbita (annuale) della terra attorno al sole, è più o meno 66.5°. Si approssimi l’orbita della terra con una circonferenza (di raggio una Unità Astronomica, cioè 150 milioni di km).

Si considerino le seguenti latitudini: Polo Nord, 45°, equatore. E i seguenti giorni: solstizi (d’inverno e d’estate) e equinozi (primavera e autunno).1 Nella figura

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Figura 3.34: Schema per l’esercizio 3.4 a pag. *

* si trova uno schema della volta celeste, dove il centro $G$ è la punta dello gnomone della meridiana. $ELW$ è l’equatore, $RESWR’$ l’orizzonte, $RHCR’$ l’orbita giornaliera del sole, che culmina nel punto più alto $C$. La direzione dello gnomone è $CG$, e il sole è in $H$. Le direzioni $E$ e $W$ sono Est e Ovest (East and West – la figura è presa da Neugebauer, Otto: The astronomical origin of the theory of conic sections. Proc. Amer. Philos. Soc. 92, (1948). 136–138. ).

(3.5) Si scrivano le equazioni polari delle coniche con fuoco nell’origine e direttrice con le equazioni seguenti.

  1. $e=1/2$, direttrice $3x+4y=25$.

  2. $e=1$, direttrice $4x+3y=25$.

  3. $e=2$, direttrice $x+y=1$.


(3.6) L’orbita di una cometa che si sta avvicinando alla terra è una parabola con un fuoco nel sole. Determinare un’equazione polare per l’orbita, e quale sarà la distanza minima tra cometa e sole sapendo che osserviamo la cometa a una distanza di $10^8$ km dal sole e l’angolo tra il vettore sole-cometa e l’asse della parabola è 60°.

(3.7) Trovare le coordinate del centro, i fuochi, i vertici e l’eccentricità delle seguenti ellissi.

  1. $\dfrac {x^2}{100} + \dfrac {y^2}{36} = 1$.

  2. $\dfrac {y^2}{100} + \dfrac {x^2}{36} = 1$.

  3. $\dfrac {(x-2)^2}{16} + \dfrac {(y+3)^2}{9} = 1$.

  4. $9x^2+25y^2 = 25$.

  5. $4y^2+3x^2=1$.


(3.8) Trovare le coordinate del centro, i fuochi, i vertici e l’eccentricità delle seguenti iperboli.

  1. $\dfrac {x^2}{100} - \dfrac {y^2}{64} = 1$.

  2. $\dfrac {y^2}{100} - \dfrac {x^2}{64} = 1$.

  3. $\dfrac {(x+4)^2}{4} - (y-3)^2 = 1$.

  4. $9x^2-16y^2 = 144$.

  5. $4x^2 - 5y^2 + 20 = 0$.


(3.9) Dimostrare che l’area della regione delimitata dall’ellisse di equazione $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ è $ab$ volte l’area di un cerchio di raggio $1$.

(3.10) Sia $G$ il gruppo generato da tutte le omotetie del piano $\EE ^2$. Mostrare che l’immagine omotetica di una parabola è una parabola. È vero che l’immagine di una iperbole è una iperbole e l’immagine di una ellisse una ellisse? Cosa succede dell’eccentricità, quando è vero?

(3.11) Sia $\gamma $ il luogo dei punti $P$ di $\EE ^2$ la cui distanza da un punto fissato $A$ sia uguale alla somma delle distanze di $P$ da due rette ortogonali fissate. Dimostrare che $\gamma $ è un arco di conica.

(3.12) Dimostrare che una retta del piano può intersecare una conica in 0, 1 o 2 punti (basta considerare le equazioni canoniche delle coniche), e per la proprietà della tangente (limite di secanti), la retta tangente ad una conica ha una e una sola intersezione con la stessa. Mostrare poi che le rette con una sola intersezione con la conica che non sono tangenti sono necessariamente tra le seguenti: rette parallele agli asintoti, rette parallele all’asse di una parabola.

(3.13) Dimostrare che se una ellisse e una iperbole hanno gli stessi fuochi, allora si intersecano in modo ortogonale.

(3.14) Una petroliera si sta avvicinando al porto in un banco di nebbia, e riceve i segnali trasmessi da tre stazioni $F_1=(-2,0)$, $F_2=(0,0)$ e $F_3=(3,0)$ che trasmettono simultaneamente (sistema LORAN, LOng RAnge NAvigation, sistema ora in declino). Il segnale di $F_1$ viene captato $7.22 \cdot 10^{-6}$ secondi dopo quello di $F_2$, e il segnale di $F_3$ $6.30 \cdot 10^{-6}$ dopo quello di $F_2$. Dove è la nave? (La velocità della luce è approx. 300000 km/s).

(3.15) Mostrare che la parametrizzazione di una parabola (in forma canonica) è $t \mapsto (t,at^2)$.

(3.16) Identificando $\CC \cong \EE ^2$, si scriva l’inversione circolare in variabili complesse.

(3.17) Qual è l’inversione circolare di un quadrato circoscritto al cerchio in questione?

(3.18) [*] Dimostrare la proposizione (5.10): la curva reciproca di una circonferenza è una conica.

(3.19) Si determini il luogo di punti ottenuto prendendo le proiezioni ortogonali del fuoco sulle rette tangenti alla parabola. (È una retta?)

(3.20) [*] Se $\gamma $ è una curva e $Q$ un punto di $\EE ^2$, la curva podaria (pedale, podalica, pedal curve) di $\gamma $ rispetto al punto podario $Q$ è la curva che si ottiene come nell’esercizio 3.19, proiettando $Q$ su tutte le tangenti di $\gamma $. Determinare una espressione parametrica per la curva podaria di $\gamma $ assegnata.

(3.21) [*] Si dimostri che se $\gamma $ è un’ellisse o una parabola, la curva podaria/podale di $\gamma $ rispetto ad un suo fuoco giace in una circonferenza. (è la circonferenza ausiliaria2, che ha per diametro l’asse maggiore dell’ellisse).

(3.22) Mostrare che le due tangenti ad una parabola passanti per un punto $P$ sulla direttrice sono tra loro ortogonali.

(3.23) Mostrare che esiste sempre almeno una conica che passa per quattro punti arbitrari di $\EE ^2$.

(3.24) In una ellisse $\gamma $ di $\EE ^2$ con centro in $O$ si consideri, per ogni punto $P$, la retta normale $n_ P$ all’ellisse in $P$. Siano $A_ P$ e $B_ P$ le intersezioni di $n_ P$ con i due assi dell’ellisse, per quei $P$ per cui esistono unici. Mostrare che esiste una costante $\lambda > 0$ tale che $\lVert {P-A_ P}\rVert =\lambda \lVert {P-B_ P}\rVert $ per ogni $P\in \gamma $.

(3.25) Si trovi una formula analoga a quella dell’esempio (6.3), per il caso dell’iperbole.

(3.26) Ricostruire con GeoGebra un inversore circolare meccanico (cfr. (5.3) e figura 3.20), che trasformi un moto circolare in uno rettilineo.

(3.27) [*] Si cerchi di riprodurre con GeoGebra le figure 3.29, 3.30, 3.31 (comprendendone prima il significato).

(3.28) [*] Sia $f\from \RR \to \RR $ una funzione derivabile e con derivata continua ($C^1$) tale che per un certo $k\in \RR $ $\forall \lambda \in \RR , \forall x \in \RR , f(\lambda x) =\lambda ^ k f(x)$ ($f$ è omogenea di grado $k$). Dimostrare che l’identità di Eulero è soddisfatta:

\[ \forall x\in \RR , x f’(x) = k f(x). \]

Scrivere una identità analoga per le derivate successive, per funzioni di classe $C^ p$ omogenee di grado $k$. Dedurre che se $f$ è omogenea di grado $k$ e di classe $C^ k$ allora $f(x) = x^ k$. Mostrare che la condizione di essere di classe $C^ k$ è necessaria.

(3.29) Dimostrare che non esiste una proiettività $T\from \PP ^2(K)\to \PP ^2(K)$ che manda una retta $r$ nell’unione di due rette distinte $s,s’\subset \PP ^2(K)$, cioè $T(r) = s\cup s’$.

(3.30) Dimostrare che l’intersezione tra la conica di equazione $xy=z^2$ in $\PP ^2(\RR )$ e la retta (generica) di equazione $ax + by + cz = 0$ è composta da $0$, $1$ oppure $2$ punti.

(3.31) Considerare la conica $\Gamma $ in $\AA ^2(\RR )$ di equazione $y=x^2$. Sia $C$ la chiusura proiettiva (aggiungendo una terza variabile $z$ e omogeneizzando l’equazione) di $\Gamma $ in $\PP ^2(\RR )$. Determinare l’intersezione tra $C$ e la retta all’infinito.

(3.32) [*] Rivedere e ridimostrare che se una retta nel piano proiettivo ha un solo punto di intersezione con una conica proiettiva, allora è tangente. (Suggerimento: la definizione di tangente ad una curva proiettiva in un punto è ... )

(3.33) Scrivere le equazioni di una proiettività che manda la conica di equazioni $x^2 + y^2 = z^2$ nella conica di equazioni $yz = x^2$.

(3.34) Determinare se la conica di equazione

\[ x^2 + 5y^2 + 7 z^2 + 8 xy + 10 xz + 11yz = 0 \]

è degenere oppure no.

(3.35) [*] Dimostrare che una conica e una retta in $\PP ^2(\CC )$ hanno sempre almeno un punto di intersezione e non più di due punti di intersezione.

(3.36) Dimostrare che le coniche di $\PP ^2(\CC )$ di equazioni $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$, $x_0^2 + x_1^2 = 0$ e $x_0^2 = 0$ non sono proiettivamente equivalenti. (Questo conclude la dimostrazione della classificazione delle coniche di $\PP ^2(\CC )$ (proposizione (8.2)))

(3.37) Dimostrare che due coniche si incontrano in non più di $4$ punti.

(3.38) Se $\KK _ d[x,y,u]$ indica lo spazio vettoriale (meno lo zero) sul campo $\KK $ di tutti i polinomi omogenei di grado $d$ nelle variabili $x,y,u$, dimostrare che la dimensione del suo proiettivizzato $\PP (\KK _ d[x,y,u])$ è

\[ \dfrac {(d+1)(d+2)}{2} - 1 = \dfrac {d(d+3)}{2}. \]


(3.39) Un fascio di rette in $\PP ^2(\KK )$ è definito da una retta proiettiva in $\PP (\KK _1[x,y,u])$: dimostrare che tutte le rette di un fascio di rette passano per un punto fissato.

(3.40) [*] Un fascio di coniche proiettive è una retta proiettiva in $\PP (\KK _2[x_0,x_1,x_2])$. Mostrare che tutte le coniche di un fascio di coniche passano per un numero finito (non maggiore di $4$) di punti fissati. Quante sono le coniche degeneri tra quelle del fascio di coniche?

(3.41) Mostrare che l’insieme di rette passanti per un punto di $\PP ^2(K)$ è un fascio di rette, e che l’insieme di tutte le coniche passanti per quattro punti non allineati è un fascio di coniche.

(3.42) Portare in forma diagonale le seguenti forme quadratiche:

  1. $x^2 - 2xy + 3 y^2$;

  2. $xy + yz + xz$;

  3. $x^2 + y^2 + y^2 + 2xy + 2zy + 2xz$;

  4. $x^2 - yz + z^2$.


(3.43) [*] Dimostrare che, a seguito della classificazione delle coniche affini reali (11.2), una conica non degenere è parabola, ellisse o iperbole a seconda che la matrice $2\times 2$ ottenuta considerando la parte omogenea di secondo grado dell’equazione ha determinante $\det (A) = 0$, $\det (A) > 0$ oppure $\det (A) < 0 $, e che è degenere se e solo se il determinante della matrice associata è $0$.

(3.44) Dimostrare che ogni conica affine si può scrivere con l’equazione

\[ {\vphantom {\! x}}^\mathrm {t}\! x M x + 2 {\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b x + c = 0, \]

dove $M$ è una matrice simmetrica $2\times 2$, $b$ un vettore $2\times 1$ e c uno scalare.

(3.45) [*] Completare i dettagli della dimostrazione del teorema (11.5): ogni conica (algebrica) non degenere in $\EE ^2$ è isometrica ad una conica tra le seguenti:

  1. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ (ellisse/circonferenza).

  2. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ (iperbole).

  3. $y=ax^2$ (parabola).


(3.46) Determinare se la conica di equazione

\[ 20x^2 - 12xy + 5y^2 - 1 = 0 \]

è degenere, e se non lo è determinare di quale tipo si tratti (iperbole,ellisse,parabola) e calcolarne eventualmente asintoti, assi, centro...

(3.47) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica:

\[ 16 xy + 8x - 8y^2 = 4y +1 \]


(3.48) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica (affine e/o euclidea):

\[ 5y + y -4x^2 -4xy - y^2 = 1 \]


(3.49) Determinare l’intersezione della conica di equazione

\[ x^2 + xy + y^2 + x + y + 1 = 0 \]

con la retta di equazione $x+y=-1$.

(3.50) Sia $y=x^2$ la parabola di $\AA ^2(\RR )$. Nella chiusura proiettiva, quante sono le intersezioni della parabola con la retta all’infinito? E per l’iperbole?

(3.51) [*] È possibile distinguere tra una ellisse e una iperbole in $\AA ^2(\CC )$? Come si potrebbero definire?

(3.52) Mostrare che l’insieme di tutte le rette tangenti ad una conica in $\PP ^2(K)$, visto come sottoinsieme del piano $\hat\PP ^2(K)$ (proiettivizzato dello spazio dei polinomi omogenei di grado $1$ su $K$) è a sua volta una conica.

(3.53) Dimostrare la proposizione (12.9) a pagina * nel caso dell’iperbole.

***

Footnotes

  1. Il solstizio estivo cade il 20-21 giugno; il solstizio invernale il 21-22 dicembre. Gli equinozi cadono 20-21 marzo e il 22-23 settembre. Per poter stabilire se è vero che non ci sono più le mezze stagioni occorre prima definirle.
  2. E.H. Lockwood, A book of curves; Cambridge University Press, 1961.