9. Appendice: forme quadratiche e iperquadriche

Ricordiamo che una forma bilineare simmetrica su campo $\KK $ definita su uno spazio vettoriale $V$ (sul campo $\KK $) è una funzione

\[ \varphi \from V\times V \to \KK \]

tale che

  1. $\forall x,y,z\in V$, $\forall a,b\in \KK $, $\displaystyle \varphi (ax+by,z) = a \varphi (x,z) + b\varphi (y,z)$;

  2. $\forall x,y\in V$, $\varphi (x,y) = \varphi (y,x)$.

Scelta una base $\{ \ve _1,\ve _2, \ldots , \ve _ n\} $ su $V$ (cioè un isomorfismo $V\cong \KK ^ n$, con $n=\dim V$), alla forma bilineare $\varphi $ è associata una matrice simmetrica $A=(a_{ij})$ definita da

\[ a_{ij} = \varphi (\ve _ i, \ve _ j) = a_{ji}. \]

(9.1) Definizione. Se $\varphi $ è una forma bilineare simmetrica su $V$, la funzione

\[ \Phi \from V \to \KK \]

definita da $\Phi (\vv ) = \varphi (\vv ,\vv )$ è la forma quadratica associata a $\varphi $. La matrice associata a $\varphi $ è la matrice associata a $\Phi $.

(9.2) Se $\Phi $ è una forma quadratica su $V$, allora

  1. $\forall \lambda \in \KK $, $\forall \vv \in V$, $\Phi (\lambda \vv ) = \lambda ^2 \Phi (\vv )$.

  2. $\Phi (\boldsymbol {0}) = 0$.

  3. Se la caratteristica di $\KK $ non è $2$, allora

    \[ \varphi (\vv ,\vw ) = \dfrac {1}{2}\left( \Phi (\vv +\vw ) - \Phi (\vv ) - \Phi (\vw ) \right). \]

(9.3) Definizione. Due vettori $\vx ,\vy \in V$ sono coniugati rispetto ad una forma bilineare simmetrica $\varphi $ (risp. forma quadratica associata $\Phi $) se $\varphi (\vx ,\vy ) = 0$. Due insiemi $A,B\subset V$ sono coniugati se $\forall \vx \in A$, $\forall \vy \in B$, $\varphi (\vx ,\vy )=0$.

(9.4) Definizione. Il nucleo $\ker \varphi $ di una forma bilineare/quadratica è il sottospazio coniugato di tutto $V$.

(9.5) Proposizione. Si ha che $\ker \varphi \neq \{ \boldsymbol {0}\} $ se e soltanto se la matrice associata ha determinante $0$.

(9.6) Definizione. Se $\Phi \from V \to \KK $ è una forma quadratica, allora l’insieme

\[ Q = \{ x\in \PP (V) : \Phi (x) = 0 \} \subset \PP (V) \]

è la (iper)quadrica in $\PP (V)$ associata a $\Phi $.

(9.7) Definizione. Due punti $x,y\in \PP (V)$ sono coniugati rispetto ad una (iper)quadrica $Q\subset \PP (V)$ se e soltanto se $\varphi (x,y)=0$.

(9.8) Definizione. La varietà polare di un sottoinsieme $B\subset \PP (V)$ è l’insieme di tutti i punti di $\PP (V)$ coniugati a tutti i punti di $B$.

(9.9) Definizione. I punti singolari di $Q$ sono i punti coniugati di ogni punto di $\PP (V)$. Se esistono punti singolari di $Q$, la quadrica si dice degenere. I punti non singolari si dicono punti ordinari.

(9.10) Proposizione. Se $P\in \PP (V)$ non è un punto singolare, allora la sua varietà polare è un iperpiano in $\PP (V)$ (l’iperpiano polare di $P$).

Se la quadrica non è degenere, la costruzione che ad ogni punto associa il suo iperpiano polare è una corrispondenza biunivoca tra punti di $\PP (V)$ e iperpiani di $\PP (V)$, chiamata polarità.

(9.11) Proposizione. Un punto appartiene alla sua polare se e soltanto se è un punto della (iper)quadrica.

(9.12) Definizione. L’iperpiano tangente alla (iper)quadrica $Q$ nel punto $P\in Q$ è la polare di $P$.