6. Altre equazioni parametriche

Consideriamo, per $a\neq 0 \neq b$, l’affinità

\[ (x,y) \mapsto (ax,by). \]

Questa manda la circonferenza con centro nell’origine (di equazione $x^2+y^2=1$, e parametrizzata da $(\cos t, \sin t)$, per $t\in \RR /2\pi \ZZ $) nella curva parametrizzata da

(1)\begin{equation} (a \cos t, b\sin t),\quad t\in \RR /2\pi \ZZ , \end{equation}

la cui equazione è

\[ \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1, \]

che è una ellisse in forma canonica. Quindi la (1) è una parametrizzazione dell’ellisse.

Consideriamo ora la iperbole di equazione $x^2-y^2=1$. Mediante la stessa trasformazione affine viene mandata nella iperbole canonica di equazione

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

Quindi una parametrizzazione dell’iperbole $x^2-y^2=1$ darà una parametrizzazione per l’iperbole generica. Basta osservare che

\[ \cos ^2 t + \sin ^2 t = 1 \implies \dfrac {1}{\cos ^2 t} - \tan ^2 t = 1 \]

per dedurre che $(\dfrac {1}{\cos t}, \tan t)$ è la parametrizzazione di una curva contenuta nell’iperbole $\gamma $ di equazione $x^2-y^2=1$. Ma la funzione $\RR \to \gamma \subset \EE ^2$ così definita è suriettiva? Se così fosse, una parametrizzazione per l’iperbole sarebbe

(2)\begin{equation} (a/\cos t, b \tan t), \quad t \in \RR /2\pi \ZZ \end{equation}

Un’altra parametrizzazione si ha considerando l’intersezione della retta per $(t,t)$ ortogonale all’asse $y=x$, che interseca l’iperbole di equazione $x^2 - y^2=1$ nei punti

\[ \left(t + \dfrac {1}{4t}, t - \dfrac {1}{4t} \right). \]

Ponendo

\[ t=\dfrac {e^ s}{2} \]

(e quindi considerando solo il ramo destro della iperbole), la parametrizzazione diventa

\[ \left(\dfrac {e^ s+e^{-s}}{2} , \dfrac {e^ s-e^{-s}}{2}\right), \]

cioè

\[ (\cosh s, \sinh s) \]

che sono il coseno e seno iperbolici.

(6.1) Nota. L’iperbole equilatera $x^2-y^2=1$ ha eccentricità $\sqrt {2}$, fuoco in $\pm \sqrt {2}$ e direttrici in $x=\pm \sqrt {2}/{2}$. Cosa succede se si considerano due circonferenze, con centri a distanza $\sqrt {2}$, raggi unitari, e si costruisce la curva reciproca dell’una rispetto all’altra?

(6.2) Nota. La parametrizzazione di una parabola (in forma canonica) è $t \mapsto (t,at^2)$ (esercizio 3.15).

(6.3) Esempio. Per $t=t_0$ il vettore tangente a $\gamma $ parametrizzata da $(a\cos t, b\sin t)$ è $(-a\sin t_0, b \cos t_0)$. Il vettore normale è quindi $(b \cos t_0, a \sin t_0)$, e l’equazione della retta tangente è

\[ \begin{aligned} b\cos t_0 (x - a \cos t_0) + a \sin t_0 (y-b\sin t_0) & = 0 \\ x b \cos t_0 - ab \cos ^2 t_0 + y a \sin t_0 - ab \sin ^2 t_0 & = 0\\ x b \cos t_0 + y a \sin t_0 - ab & = 0. \end{aligned} \]

Ponendo $x_0 = a \cos t_0$, $y_0=b \sin t_0$, la retta tangente ha equazione

\[ x \dfrac {b}{a} x_0 + y \dfrac {a}{b} y_0 = ab \iff \dfrac {x_0}{a^2} x +\dfrac {y_0}{b^2} y = 1. \]

Per esercizio, si determini una formula simile per la tangente ad una iperbole 3.25.

Nelle figure

img #40
Figura 3.29: Iperbole (costruzione)

* ,

img #41
Figura 3.30: Ellisse (costruzione)

* ,

img #42
Figura 3.31: Coniche e inversione (costruzione)

* sono indicate alcune costruzioni di coniche.