4. Riflessioni e rette tangenti a coniche

Il percorso più breve che parte da un punto $A$, arriva ad un punto $B$ (del piano $\EE ^2$), e passa per una retta $l$ fissata si ottiene considerando il percorso più breve (geodetica) che parte da $A$ e arriva all’immagine riflessa $B’$ di $B$, cioè il segmento $AB’$, come in figura

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Figura 3.13: Principio di riflessione

*. Per costruzione $l$ risulta la bisettrice dell’angolo $BHB’$.

Lo stesso principio si applica alle curve, considerando che la riflessione in un punto di una curva si comporta come la riflessione lungo la retta tangente alla curva nel punto.

(4.1) Nota. Non è difficile dimostrare che una retta del piano può intersecare una conica in 0, 1 o 2 punti (basta considerare le equazioni canoniche delle coniche), e per la proprietà della tangente (limite di secanti), la retta tangente ad una conica ha una e una sola intersezione con la stessa. Attenzione che ci sono anche altre rette con una sola intersezione con la conica che non sono però tangenti (rette parallele agli asintoti, rette parallele all’asse di una parabola). La dimostrazione è facile (esercizio 3.12). Le rette con una sola intersezione che non sono tangenti “attraversano” tutte la conica, cioè passano da una parte all’altra della curva. Le tangenti invece rimangono dalla stessa parte.

(4.2) Proposizione. Sia $\gamma $ una ellisse con fuochi $F_ i$, $i=1,2$. La tangente in $P\in \gamma $ a $\gamma $ ha per giacitura la bisettrice dei due vettori $\overrightarrow {F_1P}$, $\overrightarrow {PF}$.

Dim. Sia $c=F1P + F_2P$ (non dipende da $P$). Sia $l$ la retta per $P$ che ha per giacitura la bisettrice dei due vettori $\overrightarrow {F_1P}$, $\overrightarrow {PF}$. Per il principio di riflessione, se $Q\in l$, allora $F_1Q + F_2Q > F_1P+F_2P = c$, e quindi $Q\not\in \gamma $. Quindi $P$ è l’unico punto di intersezione tra $l$ e $\gamma $, e quindi $l$ è tangente a $\gamma $ in $P$.
QED

(4.3) Proposizione. Se $\gamma $ è una iperbole e $F_ i$, $i=1,2$ sono i suoi fuochi, allora la tangente in $P\in \gamma $ a $\gamma $ è la bisettrice di $\overrightarrow {PF_1}$ e $\overrightarrow {PF_2}$.

Dim. Sia $2a=|PF_1 - PF_2|$, e $l$ la retta per $P\in \gamma $ a $\gamma $ la cui giacitura è la bisettrice di $\overrightarrow {PF_1}$ e $\overrightarrow {PF_2}$. L’immagine $F_2’$ di $F_2$ riflessa lungo $l$ giace su $PF$, e risulta $PF_2=PF_2’$, per cui $2a=F_1F_2’$. Ora, se $Q\neq P$ è un punto qualsiasi su $l$, per simmetria si ha $QF_2=QF_2’$, quindi $|QF_1 - QF_2|=|QF_1 - QF_2’|$, e per la disuguaglianza triangolare $|QF_1 - QF_2’| < F_1F_2’ = 2a$, quindi $Q$ non può essere sull’iperbole e dunque $l$ interseca $\gamma $ in un solo punto, $P$.

Consideriamo la funzione $f(Q) = QF_1 - QF_2$. Per quanto abbiamo visto sopra, $f(Q) \in \pm 2a$ se e soltanto se $P\in \gamma $, e inoltre $|f(Q)| < 2a$ per ogni $Q\neq P$, $Q\in l$. Se $l$ fosse parallela a uno degli asintoti, però, dovrebbe attraversare $\gamma $ e quindi dovrebbe esistere $Q\in l$ tale che $|f(Q)| > 2a$, per cui $l$ non può che essere la tangente. 1

QED

(4.4) Proposizione. Sia $\gamma $ una parabola, $d$ la direttrice e $F$ il fuoco. Se $P\in \gamma $, sia $P’$ la proiezione ortogonale di $P$ su $d$. Allora la retta $l$ passante per $P\in \gamma $ che è bisettrice dei vettori $\overrightarrow {PF}$ e $\overrightarrow {PP’}$ è tangente a $\gamma $ in $P$.

Dim. Per definizione di parabola ($e=1$), si ha $PP’ = PF$, quindi l’immagine riflessa di $F$ lungo la retta $l$ è uguale a $P’$. Se $Q$ è un altro punto su $l$, allora la sua distsanza da $d$ sarà certamente minore strettamente della distanza da $P’$, cioè $Qd < QF$, dato che $Qd < QP’ = QF$, e quindi $Q$ non può essere sulla parabola. Come prima, la funzione $f(Q) = QF - Qd$ è continua, vale $0$ sulla parabola, e cambia di segno se $l$ fosse paralella all’asse della parabola. Ma dato che $f(Q) \geq 0$ per ogni $Q$ (per quanto abbiamo visto prima), la retta $l$ è tangente a $\gamma $ in $P$. 2
QED

(4.5) Nota. Per le applicazioni di questi principi di riflessione si vedano le figure

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Figura 3.14: Specchio parabolico o antenna parabolica

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img #26
Figura 3.15: Specchio iperbolico

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img #27
Figura 3.16: Unione di uno specchio parabolico con uno specchio iperbolico

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img #28
Figura 3.17: La lampada del dentista: uno specchio ellittico

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Footnotes

  1. Questa dimostrazione è rigorosa?
  2. Questa dimostrazione è rigorosa?