3. Equazioni cartesiane

Se $\gamma $ è una parabola, possiamo supporre, a meno di rototraslazioni, che il fuoco abbia coordinate $(0,a)$ e la direttrice abbia equazione $y=-a$. La distanza di un punto $P$ di coordinate $(x,y)$ dalla direttrice è quindi $|y+a|$, mentre la sua distanza dal fuoco è $\sqrt {x^2 + (y-a)^2}$. Quindi $P$ è un punto della parabola se e solo se

\[ \begin{aligned} (y+a)^2 & = x^2 + (y-a)^2 \\ y^2 + 2ya + a^2 & = x^2 + y^2 -2ay + a^2 \\ 4ya & = x^2 \\ y & = \dfrac {x^2}{4a}. \end{aligned} \]

Se $\gamma $ è una ellisse o una iperbole, allora con una rototraslazione possiamo supporre che il fuoco abbia coordinate $ F = (c,0) $ e la direttrice corrispondente sia ortogonale all’asse delle $x$, con equazione $x=c+d$, con $d > 0$. L’equazione della conica di eccentricità $e$ si scrive quindi come

\[ \begin{aligned} (x-c)^2 + y^2 = e^2 ( x-c-d)^2. \end{aligned} \]

Il termine di primo grado in $x$ scompare se $c = (c+d)e^2$, cioè se

\[ c = \dfrac {d e^2}{1-e^2}. \]

Possiamo quindi supporre che quest’ultima identità sia soddisfatta ($c$ era arbitrario), per cui l’equazione di $\gamma $ risulta

\[ \begin{aligned} x^2 + c^2 + y^2& = e^2 x^2 + e^2(c+d)^2 \\ (1-e^2)x^2 + y^2 & = e^2(c+d)^2 - c^2 \\ (1-e^2)x^2 + y^2 & = [ e(c+d) -c][ e(c+d)+c ] \\ & = [ c(e-1)+ed ][ c(e+1) +ed ] \\ & = [ \dfrac {d e^2}{1-e^2} (e-1) + ed ] [ \dfrac {d e^2}{1-e^2} (e+1) + ed ] \\ & = \dfrac { [ -de^2 +ed +e^2d ][ de^2 +ed - e^2d ] }{ 1-e^2 } \\ (1-e^2)x^2 + y^2 & = \dfrac {e^2d^2}{1-e^2}. \end{aligned} \]

Le intersezioni con l’asse delle ascisse sono quindi

\[ x = \pm \dfrac {ed}{1-e^2}. \]

Se definiamo

\[ a = \dfrac {ed}{1-e^2}, \]

abbiamo che i due vertici sono $(a,0)$ e $(-a,0)$ ($a$ è positivo se $e < 1$, negativo se $e > 1$). In queste coordinate la conica è simmetrica rispetto alle riflessioni $x \mapsto -x$ e $y\mapsto -y$, per cui i due fuochi hanno coordinate $ (c,0), (-c,0) $ con

\[ c = \dfrac {d e^2}{1-e^2} = ae. \]

Dato che

\[ c+d = \dfrac {e^2d}{1-e^2} + d = \dfrac {d}{1-e^2} = \dfrac {a}{e}, \]

le direttrici hanno equazioni

\[ x = \pm \dfrac {a}{e}. \]

Concludendo, l’equazione della conica si semplifica in

\[ (1-e^2)x^2 + y^2 = a^2(1-e^2), \]

cioè

\[ \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{a^2(1-e^2)} = 1. \]

Se $e < 1$ (ellisse), si pone $b^2=a^2(1-e^2)$ e si ottiene la forma canonica dell’equazione:

\[ \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

L’eccentricità soddisfa

\[ e^2 = \dfrac {a^2-b^2}{a^2} \implies c^2 = a^2 e^2 = a^2 -b^2. \]

Se ne deduce anche che $a^2\geq b^2$.

Se $e > 1$ (iperbole), si pone $b^2 = -a^2(1-e^2)$ da cui la forma canonica

\[ \dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1. \]

L’eccentricità soddisfa

\[ e^2 = \dfrac {a^2+b^2}{a^2} \implies c^2 = a^2 e^2 = a^2 + b^2. \]

Il punto medio dei due fuochi, in queste coordinate l’origine (per $e \neq 1$) è il centro della conica. Si vede facilmente che la conica è simmetrica rispetto alla riflessione in $O$.

(3.1) Nota. In una ellisse di semiasse $a > 0$ la somma delle distanze dai fuochi è uguale a $a+c + a-c = 2a$. In una iperbole con semiasse $a > 0$ la differenza delle distanze dai fuochi è anch’essa $2a$.

 

Parabola

Ellisse

Iperbole

Equazione

$y=ax^2$

$\dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1$, $a^2\geq b^2$

$\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2} = 1$

Eccentricità

$e=1$

$e^2 = \dfrac {a^2 - b^2}{a^2} < 1$

$e^2= \dfrac {a^2+b^2}{a^2} > 1$

Fuochi

$(0,\dfrac {1}{4a})$

$(\pm c,0)$,
con $c^2 = a^2 e^2 = a^2 - b^2$

$(\pm c,0)$,
con $c^2 = a^2e^2 = a^2 + b^2$

Direttrici

$y=-\dfrac {1}{4a}$

$x=\pm \dfrac {a}{e}$

$x=\pm \dfrac {a}{e}$

Tabella arabic{chapter}..1: Coniche in forma canonica