1. Definizioni

(1.1) Definizione. Siano $r$ e $l$ due rette secanti, distinte e non ortogonali di $\EE ^3$. Un cono circolare retto è la superficie di rotazione (singolare) ottenuta facendo ruotare $l$ attorno a $r$. Il vertice del cono è il punto di intersezione delle due rette. Le immagini ruotate di $l$ sono le generatrici del cono. La retta $r$ è l’asse (di rotazione o di simmetria) del cono. L’angolo $\alpha \in (0,\pi /2)$ tra $r$ e $l$ è la semiapertura del cono.

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Figura 3.1: Cono

(1.2) Definizione. [Conica] Una conica o sezione conica è l’intersezione di un piano con un cono circolare retto.

Sia $\beta $ l’angolo tra il piano e l’asse $r$ del cono (come si misura l’angolo tra un piano e una retta?).

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Figura 3.2: Sezione conica

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Brutta Figura 3.3: Sezione conica

(1.3) Definizione. La conica è detta liscia se il piano non passa per il vertice del cono. Altrimenti è detta degenere o singolare. I tre tipi di sezione conica sono

\[ \begin{cases} \text {\emph{ellisse}\index{ellisse}} & \text {se } \alpha < \beta \\ \text {\emph{parabola}\index{parabola}} & \text {se } \alpha = \beta \\ \text {\emph{iperbole}\index{iperbole}} & \text {se } \alpha > \beta . \end{cases} \]


In tutto quindi ci sono sei tipi di sezione conica.

(1.4) Definizione. [Eccentricità] Il rapporto

\[ e= \dfrac {\cos \beta }{\cos \alpha } \]

è l’eccentricità della conica.

Quindi

\[ \begin{cases} e > 1 & \implies \text {iperbole} \\ e = 1 & \implies \text {parabola} \\ e < 1 & \implies \text {ellisse} \\ e=0 & \implies \text {circonferenza}. \end{cases} \]

(1.5) Nota. Questa definizione di conica è una tra quelle possibili. Vedremo nel seguito un certo numero di definizioni equivalenti.

(1.6) Nota. La parola ellisse deriva dal greco elleipsis ( > ’elleiyis), che deriva da > en (“in”, “dentro”) e le’ipw (“lasciare”,“mancare”); analoga parola è eclisse ( > eklip’hs), formata da > ek (“fuori”) e le’ipw (“lasciare”,“mancare”); ellisse significa dunque letteralmente “mancanza”,“assenza”, “omissione”, o anche “essere minore di” o, in termini moderni, “numero negativo”. La parola iperbole, invece, deriva dal greco < uperbol‘h, formata da < uper (“oltre”) e b’allw (“lanciare”,“porre”); il significato letterale è perciò “attraversare”, “valicare”. Infine la parola parabola deriva dal greco parabol‘h, ed è formata da para (“accanto”, “di fianco”) e b’allw (“lanciare”,“porre”); in generale significa “allegoria” o “paragone”, ma anche “divisione” tra numeri. Il termine è analogo a parallele (par’allhlos: letteralmente “l’uno di fianco all’altro”), paragrafo (in origine “nota a margine”), parassita (“che mangia accanto”, cioè “commensale”; solo in seguito assume connotazione negativa, specie riferito a umani), paradosso (“accanto alla comune opinione”) o, tanto per finire, paranoia (“di fianco alla ragione”). Una possibile interpretazione dei tre termini può essere quella suggerita dalla caratterizzazione delle coniche mediante l’eccentricità (vedremo che data una retta, chiamata direttrice, e un punto non su di essa, chiamato fuoco, il luogo dei punti le cui distanze dalla direttrice e dal fuoco hanno rapporto costante è una conica). Quando l’eccentricità è minore di $1$, si tratta di una ellisse; quando è uguale a $1$ allora è una parabola, e infine quando è maggiore di uno la curva ottenuta è una iperbole. Potrebbe sembrare infatti cha la “mancanza”, l’essere “posto accanto” e l’“aver superato” siano riferiti al valore dell’eccentricità rispetto ad $1$.1

Sia $C$ un cono di semiapertura $\alpha $ e asse $r$.

(1.7) Definizione. Diciamo che una sfera è inscritta nel cono $C$ se ha centro sull’asse del cono ed è tangente al cono (cioè nei punti di contatto tra cono e sfera i piani tangenti coincidono). Per simmetria, i punti di contatto costituiscono una circonferenza.

Consideriamo ora un piano $\pi $ che non passi per il verticie di $C$; sia $\beta $ l’angolo tra $\pi $ e $r$.

(1.8) Proposizione. Per ogni piano $\pi $ le sfere inscritte in $C$ e tangenti a $\pi $ sono \[ \begin{cases} \text {due (nella stessa falda del cono)} & \text {se } \alpha < \beta \\ \text {una} & \text {se } \alpha = \beta \\ \text {due (nelle due falde del cono)} & \text {se } \alpha > \beta . \end{cases} \]

Dim. Consideriamo il piano per $l$ e perpendicolare a $\pi $: la proiezione del cono, dell’asse e di $\pi $ è indicata in figura

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Figura 3.4: circonferenze tangenti nel caso ellittico

*, nel caso ellittico. La circonferenza inscritta nel triangolo $ABC$ ha per centro l’incentro, che è intersezione delle tre bisettrici. La seconda circonferenza ha per centro l’intersezione tra la seconda bisettrice in $B$ e l’asse $r$. Per il caso iperbolico e parabolico, si completino le figure

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Figura 3.5: circonferenze tangenti nel caso iperbolico

* e

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Figura 3.6: circonferenza tangente nel caso parabolico

*.

La rotazione attorno all’asse genera sfere inscritte nel cono (per definizione). Sono tangenti a $\pi $ perché il piano tangente alla sfera avrà per vettore normale un vettore che è parallelo al vettore normale del piano $\pi $.

QED

(1.9) Definizione. I fuochi di una sezione conica sono i punti di contatto tra il piano $\pi $ e le sfere inscritte tangenti a $\pi $. Quindi l’ellisse e l’iperbole hanno due fuochi (che possono coincidere quando …), mentre la parabola un fuoco. La distanza di un punto dal fuoco è la distanza focale.

(1.10) Nota. La costruzione delle sfere inscritte tangenti sopra indicata permette di “costruire” le posizioni dei fuochi (con riga e compasso).

(1.11) Proposizione. Se $F_1$ e $F_2$ sono i fuochi di un’ellisse, allora al variare del punto $P$ sull’ellisse la somma delle distanze focali $ PF_1 + PF_2 $ è costante.

Dim. Si consideri la posizione di $P$, $F_1$ e $F_2$ come in figura
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Figura 3.7: Costruzione di Dandelin per l’ellisse
*. Le circonferenze $S_1$ e $S_2$ sono i punti di contatto delle sfere tangenti con il cono, e $R_1$ e $R_2$ i punti di $S_1$ e $S_2$ che stanno sulla generatrice (del cono) passante per $P$. Ora, per $i=1,2$ si ha che $\overrightarrow {PF}_ i$ e $\overrightarrow {PR}_ i$ sono entrambi tangenti alla $i$-esima sfera, e quindi hanno la stessa lunghezza. Ma allora $PF_ i = PR_ i$, e quindi \[ PF_1 + PF_2 = PR_1 + PR_2 = R_1R_2, \] che non dipende da $P$.
QED

(1.12) Proposizione. Se $F_1$ e $F_2$ sono i fuochi di una iperbole, allora al variare del punto $P$ sull’iperbole il modulo della differenza tra le distanze focali $ |PF_1 - PF_2| $ è costante.

Dim. Si considerino come prima le circonferenze $S_ i$ e i corrispondenti punti $R_ i\in S_ i$ (cfr. figura
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Figura 3.8: Costruzione di Dandelin per l’iperbole
*) allineati con il vertice del cono e con $P$. Ora, per $i=1,2$ si ha che $\overrightarrow {PF}_ i$ e $\overrightarrow {PR}_ i$ sono entrambi tangenti alla $i$-esima sfera, e quindi hanno la stessa lunghezza, cioè $PF_ i = PR_ i$. Quindi \[ |PF_1 - PF_2| = |PR_1 - PR_2| = R_1R_2, \] che non dipende da $P$.
QED

Siano $\pi $ e $C$ un piano e un cono circolare retto, e $\alpha $ e $\beta $ gli angoli definiti sopra. Per ogni sfera inscritta in $C$ e tangente a $\pi $ (cioè per ogni fuoco $F$ della conica) esiste un (unico) piano contenente la circonferenza di contatto tra la sfera e il cono. L’intersezione di questo piano con $\pi $ esiste, se non sono paralleli o coincidenti, ed è una retta.

(1.13) Definizione. [Direttrice] Tale retta è la direttrice associata al fuoco $F$.

Il piano e $\pi $ sono paralleli se e soltanto se $\pi $ è ortogonale all’asse di $C$, cioè se e soltanto se la conica è una circonferenza (che quindi è l’unica a non avere direttrici).

(1.14) Proposizione. Sia $\gamma $ una conica con eccentricità $ > 0$. Se $F$ è il fuoco e $d$ è la direttrice corrispondente, allora per ogni $P\in \gamma $ si ha $Pd > 0$ e risulta \[ \dfrac {PF}{Pd} = e, \] dove $Pd$ indica la distanza tra $P$ e $d$.

Dim. Dopo aver guardato un attimo le figure

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Figura 3.9: Costruzione di Dandelin per la direttrice

* e

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Figura 3.10: Costruzione di Dandelin per la direttrice (Hilbert Cohn-Vossen)

*, ci rendiamo conto che è meglio ragionare sulle proiezioni ortogonali. Cominciamo con la proiezione ortogonale lungo la direzione della direttrice, come in figura

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Figura 3.11: Proiezione ortogonale di una sezione conica lungo la direzione della direttrice

*. La direttrice è contenuta sia nel piano $\pi $ della conica sia nel piano contenente la circonferenza di contatto tra la sfera inscritta tangente e $\pi $, per cui le proiezioni di questi due piani saranno rette. Dato che l’asse $r$ è ortogonale al piano della circonferenza, il triangolo $PZT$ è rettangolo in $Z$, e l’angolo in $P$ è $\beta $. Inoltre la distanza di $P$ da $d$ è uguale alla lunghezza del segmento $PT$. Ora, ruotiamo un po’ la figura in modo tale che l’immagine proiettata di $P$ sia sul “bordo” dell’ombra del cono, cioè proiettiamo lungo la direzione ortogonale a $r$ e tangente al cono in $P$, come in figura

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Figura 3.12: Proiezione ortogonale del cono lungo la direzione ortogonale all’asse e tangente al cono in $P$

* in cui il piano $\pi $ non viene disegnato. La distanza di $P$ da $Z$ è la stessa in entrambe le figure, poiché $\overrightarrow {PZ}$ è parallelo a $r$. La proiezione della sfera, del cono e del piano contenente i punti di contatto sono le medesime, e il fuoco viene proiettato all’interno della circonferenza. Il punto in cui la generatrice passante per $P$ è tangente alla sfera è indicato con $R$. I segmenti $PR$ e $PF$ hanno la medesima lunghezza, dato che sono entrambi tangenti alla sfera, e nel triangolo $PRZ$, rettangolo in $Z$, l’angolo in $P$ è uguale a $\alpha $.

Quindi si ha:

\[ \begin{aligned} PR \cos \alpha & = PZ \\ PT \cos \beta & = PZ \\ Pd & = PT \\ PF& = PR \\ \implies \dfrac {PF}{Pd} & = \dfrac {PR}{PT} \\ & = \dfrac {\cos \beta }{\cos \alpha } = e. \\ \end{aligned} \]
QED

(1.15) Corollario. In una parabola la distanza di un punto dal fuoco e la distanza del punto dalla direttrice della parabola sono uguali.

Dim. L’eccentricità di una parabola è $e=1$.
QED

(1.16) Proposizione. La retta per i due fuochi di una ellisse (con eccentricità non nulla) o una iperbole è ortogonale alle direttrici.

Dim. Il piano che contiene l’asse del cono e che è anche perpendicolare al piano $\pi $ della conica contiene certamente i centri delle sfere inscritte tangenti, ed è il piano utilizzato per la costruzione di queste in (1.8). Le sfere sono dunque tangenti a $\pi $ in punti di questo piano, cioè la retta cercata è l’intersezione di questo piano con $\pi $. Per quanto abbiamo visto sopra, la direttrice è ortogonale a questa retta.
QED

(1.17) Definizione. L’asse maggiore (per l’ellisse) o asse trasverso (per l’iperbole) di una conica con due fuochi distinti è la retta per questi due fuochi. Esso interseca la conica nei due suoi vertici.

(1.18) Definizione. L’asse di una parabola è la retta ortogonale alla direttrice e passante per il fuoco.

Finora abbiamo definito le coniche come intersezioni di un piano con un cono circolare retto, e abbiamo visto che i punti delle coniche soddisfano alcune proprietà ((1.11), (1.12), (1.14)). Queste proprietà come vedremo tra poco sono caratterizzanti, nel senso che i luoghi dei punti che le soddisfano sono a loro volta coniche (cioè un punto sta sulla conica se e soltanto se soddisfa quella proprietà). Occorrerebbe dimostrarlo, però. Per completare la dimostrazione occorrerebbe per esempio mostrare che se un punto soddisfa la condizione (1.11), allora…La dimostrazione potrebbe essere diretta e costruttuva, oppure seguire un po’ il percorso che stiamo per seguire, cioè introdurre le equazioni (algebriche). Lasciamo quindi le dimostrazioni delle seguenti proposizioni per esercizio.

(1.19) Proposizione. Fissati due punti $F_1$ e $F_2$ (non necessariamente distinti) e un numero $c > |F_2-F_1|$, il luogo di tutti i punti $P$ di $\EE ^2$ tali che \[ PF_1 + PF_2 = c \] è una ellisse con fuochi $F_1$ e $F_2$.

(1.20) Proposizione. Fissati due punti $F_1$ e $F_2$ distinti e un numero $c > |F_2-F_1|$, il luogo di tutti i punti $P$ di $\EE ^2$ tali che \[ |PF_1 - PF_2| = c \] è una iperbole con fuochi $F_1$ e $F_2$.

(1.21) Proposizione. Fissato un punto $F$ e una retta (la direttrice) $d$ in $\EE ^2$, tale che $F\not\in d$, per ogni $e > 0$ il luogo di tutti i punti $P\in \EE ^2$ tali che \[ PF = e \cdot Pd \] è una ellisse se $e < 1$, una parabola se $e=1$ e una iperbole se $e > 1$.

¿Le coniche sono curve nel senso di “curva” dato all’inizio del corso?

Daremo la risposta nella proposizione (2.1).


Footnotes

  1. Una curiosità: forse non tutti sanno che la parola “parola” deriva proprio da “parabola”, attraverso il termine latinizzato “parabola” deformato poi in “paravola”,“parab’la” e “paraula”, da cui finalmente parola, parlare o parlamento.