Esercizi: foglio 2

(2.1) Determinare quali delle seguenti sono vere: l’elicoide definita mediante la rototraslazione di una semiretta può anche ottenersi ruotando una retta, e viceversa ogni elicoide ottenuto rototraslando una retta si ottiene rototraslando una semiretta.

(2.2) Determinare una parametrizzazione regolare per un cilindro retto (circolare o no).

(2.3) Dimostrare che lo spazio tangente in un punto di una superficie non dipende dalla parametrizzazione: se $U\to \hat U$ è un diffeomorfismo di $U$ in $\hat U$, allora ....

(2.4) Dimostrare la proposizione (2.3) a pagina *: Lo spazio tangente $T_ AS$ è formato da tutti e soli i vettori tangenti di curve lisce del tipo

\[ P(u(t),v(t)), t\in (-\epsilon ,\epsilon ),\quad \text { con $(u(0),v(0)) = (u_0,v_0)$\, . } \]


(2.5) Dimostrare che la metrica indotta dalla prima forma fondamentale è effettivamente una metrica (localmente), supponendo che le curve di lunghezza minima esistano sempre.

(2.6) Dimostrare che il differenziale di una funzione $f\from U \subset \RR ^2 \to \RR $ non dipende dalle coordinate $(u,v)$ in $U$: se $\hat U\subset \RR ^2$ è un altro aperto con coordinate $\hat u, \hat v$ e $\varphi \from U \to \hat U$ un diffeomorfismo, allora per ogni $\vv \in T_ xU$ il valore $df(\vv )$ calcolato nelle coordinate $uv$ è uguale a quello calcolato nelle coordinate $\hat u \hat v$.

(2.7) Calcolare la prima forma fondamentale per gli esempi di superfici elencati in 1..

(2.8) [*] Su una sfera blu di raggio $r$ [dell’ordine di 6371 km], parametrizzata dai due angoli $\varphi \in [-90^\circ ,90^\circ ]$ [latitudine] e $\lambda \in [-180^\circ ,180^\circ ]$ [longitudine] nel modo seguente

\[ \begin{cases} x & = r \cos \varphi \cos \lambda \\ y & = r \cos \varphi \sin \lambda \\ z & = r \sin \varphi \, , \end{cases} \]

si considerino i due punti $A$ e $B$ con $(\varphi _ A,\lambda _ A) = (44^\circ ,9^\circ )$ [di fronte a Genova] e $(\varphi _ B,\lambda _ B) = (40^\circ ,3^\circ )$ [di fronte all’isola di Maiorca]. Sia $O=(0,0,0)$ l’origine di $\EE ^3$ e $N=(0,0,r)$ il polo Nord.

  1. Dimostrare che i vettori $\va $ e $\vb $ ottenuti proiettando (rispettivamente) $\overrightarrow {OA}$ e $\overrightarrow {OB}$ sul piano ortogonale a $\overrightarrow {ON}$ sono

    \[ \begin{aligned} \va & = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {ON} (\overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {OA} )r^{-2} \\ \vb & = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {ON} (\overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {OB} )r^{-2}. \end{aligned} \]

    Mostrare che il prodotto scalare $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB}$ è uguale a

    \[ \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = r^2 \left[ \sin \varphi _ A \sin \varphi _ B + \cos \varphi _ A \cos \varphi _ B \cos (\lambda _ B-\lambda _ A) \right] . \]
  2. Determinare una formula che permetta di calcolare la lunghezza dell’arco della circonferenza tra $A$ e $B$, ottenuto tagliando la sfera per un piano passante per l’origine [distanza ortodromica: approssimativamente 665.73 km].

  3. Consideriamo ora la mappa di Mercatore $f\from (\varphi ,\lambda ) \mapsto (x,y)$, dove

    \[ \left\{ \begin{aligned} x & = \lambda \\ y & = \ln \left( \tan ( 45^\circ + \dfrac {\varphi }{2} ) \right) \end{aligned} \right. \]

    Determinare una parametrizzazione della curva sulla sfera che congiunge i punti $A$ e $B$ e la cui immagine mediante la mappa di Mercatore è un segmento di retta.

  4. Determinare una formula per la lunghezza dell’arco di curva del punto precedente [distanza lossodromica tra $A$ e $B$: approssimativamente 665.87 km].

  5. Se possibile, dedurre qual è l’angolo rispetto ai meridiani che l’arco tiene [la rotta deve tenere] per andare da $A$ a $B$.


(2.9) Trovare un esempio di due superfici con prime forme fondamentali uguali (cioè coefficienti $EFG$ uguali) ma con seconde forme fondamentali diverse. Si pensi ai cilindri e al piano.

(2.10) Delle seguenti superfici, determinare quali punti siano ellittici, parabolici, iperbolici e ombelicali.

  1. Piano.

  2. Cilindro.

  3. Cono.

  4. Sfera.

  5. Elicoide.

  6. Toro.


(2.11) [*] Dimostrare che il piano tangente in un punto ellittico $A$ interseca (localmente) la superficie $M$ nel solo punto $A$, lasciando quindi la superficie $M$ “tutta da una parte”. L’intersezione di $M$ con il piano tangente in un punto iperbolico $B$ invece è costituita da due curve, che si incontrano in $B$, e che hanno per tangenti le due direzioni asintotiche.

(2.12) [*] Classificare il punto $A=(0,0,0)$ (cioè calcolare $\mathbf{I}$ e $\mathbf{II}$, e determinare se è ellittico, parabolico, iperbolico, ombelicale) della superficie di $\EE ^3$ parametrizzata da

\[ P(u,v) = ( u,v, au^2 + bv^2) \]

al variare di $a,b\in \RR $.

(2.13) [*] Studiare il punto $A=(0,0,0)$ della superficie in $\EE ^3$ parametrizzata da

\[ P(u,v) = (u,v,u^3-3uv^2), \]

(superficie di equazione cartesiana $z=x^3 - 3xy^2$). Il punto in questione è una sella di scimmia (monkey saddle).

(2.14) [*] Calcolare i coefficienti della prima e seconda forma fondamentale per una superficie di rotazione.

(2.15) Calcolare prima e seconda forma fondamentale per la parametrizzazione di Mercatore della sfera:

\[ P(u,v) = ( \frac{\cos v}{\cosh u}, \frac{\sin v}{\cosh u}, \tanh u )\, . \]


(2.16) [*] Calcolare la curvatura gaussiana di una sfera, e mostrare che è costante. Calcolare la curvatura gaussiana di un piano, e mostrare che è costante. Dedurre che una sfera non è localmente isometrica ad un piano (cfr. (7.12) a pag. *).

(2.17) Si dimostrino le uguaglianze ($P_ u$)-2, ($P_ v$)-2, ($\vN $)-2 a pag. *.

(2.18) [*] Completare la dimostrazione della Proposizione (9.5).

(2.19) [*] Pseudosfera di Beltrami: calcolare prima e seconda forma fondamentale, curvature principali e curvatura gaussiana della superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare una trattrice (cfr. esercizio 1.2 a pag. *) attorno al suo asintoto.

(2.20) Dimostrare che una superficie rigata ha curvatura gaussiana non positiva: $K\leq 0$.

(2.21) Sia $\kappa _ n(\theta ) = \varphi (\theta )$ come in (2). Mostrare che la curvatura media $H$ soddisfa

\[ H = \int _0^{2\pi } \kappa _ n(\theta ) \, d\theta . \]


(2.22) [*] Una superficie $S\subset \EE ^3$ si dice minima se ha curvatura media nulla. Mostrare che non ci sono superfici minime compatte. (Suggerimento: una superficie compatta di $\EE ^3$ ha certamente un punto a distanza massima dall’origine $R=\left\Vert P-O\right\Vert $. Per l’esercizio 1.23, il raggio di curvatura in $P$ di una curva contenuta in $S$ non può essere più grande di $R$, e quindi la curvatura normale in $P$ deve essere più grande di...)

(2.23) Si parametrizzi la superficie $S$ di $\EE ^3$ di equazione $z=x^2 - y^2$.

  1. Determinare l’equazione del piano tangente ad un punto generico di $S$.

  2. Determinare la prima e seconda forma di $S$.

  3. Si calcoli la curvatura della curva su $S$ di equazioni $x=t, y=t^2, z=t^2 - t^4$.

  4. Determinare le curvature principali di $S$ in $O=(0,0,0)$.

  5. Calcolare la curvatura gaussiana di $S$ in $A=(1,1,0)$.


(2.24) Calcolare la prima e seconda forma fondamentale dell’iperbole a due falde di equazione

\[ x^2 + y^2 - \dfrac {z^2}{4} = -1, \]

dopo averne trovato una opportuna parametrizzazione.

(2.25) Sia $S$ la superficie di $\EE ^3$ parametrizzata da

\[ P(u,v) = (u + v , \dfrac {u^2}{2} + uv ,\dfrac {u^3}{3} + u^2 v ). \]

Determinare se la parametrizzazione è regolare e calcolare la prima e seconda forma fondamentale di $S$ nei punti in cui è regolare.

(2.26) Sia $S$ l’insieme di tutti i punti di $\EE ^3$ con distanza $1$ dalla retta passante per i punti $(0,0,0)$ e $(1,1,1)$. Determinarne una parametrizzazione regolare di $S$ e dimostrare che $S$ è una superficie regolare. Poi calcolare la prima e seconda forma fondamentale di $S$.

(2.27) [*] Si consideri un punto $A(\theta )$ sulla circonferenza di raggio $a > 0$ di $\EE ^3$ nel piano $z=-b$, con $b > 0$,

\[ A(\theta ) = (a \cos \theta , a\sin \theta ,-b )\, , \]

e il punto $B(\theta )$ che ruota (sfasato di offset $\delta $) sulla circonferenza parallela, sul piano $z=b$,

\[ B(\theta ) = (a \cos (\theta + \delta ), a \sin (\theta +\delta ), b )\, . \]

Al variare di $\theta $, i segmenti che hanno per estremi $A$ e $B$ descrivono una superficie in $\EE ^3$, come si vede in figura

img #10
Figura 2.9: La superficie dell’esercizio 2.27: iperboloide di rotazione (ad una falda))

* . L’enorme torre di raffreddamento contenuta nell’edificio della Pirelli di Bicocca (figura

img #11
Figura 2.10: Headquarters di Pirelli in Bicocca: si intravede la torre di raffreddamento da 46 metri (iperboloide), protetta da 1600 mq di vetrata

* a pag. *) ne è un esempio concreto1.

Mostrare che è regolare, e che le coordinate dei suoi punti soddisfano l’equazione

\[ 2b^2 (x^2 + y^2) - a^2(1-\cos \delta ) z^2 = a^2b^2(1+\cos \delta )\, . \]

Dimostrare poi che si tratta di una superficie di rotazione (iperboloide iperbolico: la rotazione di una iperbole).

Footnotes

  1. Cosa si nasconda al suo interno non è dato sapere, al momento.