10. Geodetiche e superfici a curvatura costante

L’analogo del Teorema (8.3) a pagina * è il seguente Teorema, detto anche il Teorema Fondamentale della Teoria Locale delle Superfici

(10.1) Teorema.

[Bonnet] Esistenza: se $E,F,G,e,f,g$ sono funzioni lisce su un aperto $\Omega \subset \RR ^2$, tali che

  1. $E > 0$, $EG-F^2 > 0$ ($\implies G > 0$);

  2. Definendo le funzioni $\Gamma ^*_{**}$ come in (9.3), le funzioni $E,F,G,e,f,g$ soddisfano le equazioni di Mainardi-Codazzi (9.4) e le equazioni di Gauss (9.5).

Allora per ogni ${\vu }_0\in \Omega $ esiste un intorno aperto $\Omega _0$ tale che ${\vu }_0 \in \Omega _0 \subset \Omega $ e una parametrizzazione regolare liscia $P\from \Omega _0 \to \RR ^3$ i cui coefficienti della prima e seconda forma fondamentale sono esattamente $E,F,G,e,f,g$.

Unicità: se due parametrizzazioni regolari lisce su $\Omega \subset \RR ^2$ hanno i medesimi coefficienti $E,F,G,e,f,g$, allora esse differiscono per una isometria diretta di $\EE ^3\cong \RR ^3$.

(10.2) Nota. [Geodetiche su una superficie] Sia $\gamma (t)$ una curva liscia su una superficie $S\subset \RR ^3$. Se per ogni valore di $t$ la sua curvatura geodetica $\kappa _ g$ (definita nell’equazione (1) a pagina *) è nulla, allora la curva è detta una geodetica. Quindi essa è una geodetica se e soltanto se il suo vettore curvatura (la derivata seconda rispetto al parametro naturale) $\dfrac {d^2\gamma }{ds^2}$ è ortogonale al piano tangente alla superficie. Rispetto ad una parametrizzazione qualsiasi, osserviamo che questo è vero se e soltanto se la sua accelerazione $\gamma ”$ è ortogonale al piano tangente alla superficie, per (3). Un punto in moto sulla superficie, si muove quindi lungo una geodetica (dal momento che non ha accelerazione tangenziale).

Osserviamo che in realtà se $\gamma (t)$ è una geodetica, allora $t$ è un multiplo del parametro naturale per la curva $\gamma $, a meno di una costante additiva. Infatti, dato che $\gamma ”$ è ortogonale al piano tangente alla superficie, sarà ortogonale anche a $\gamma ’$, e quindi

\[ \begin{aligned} \dfrac {d}{dt} \left( \lVert \gamma ’ \rVert ^2 \right) & = \dfrac {d}{dt} \left( \gamma ’ \cdot \gamma ’ \right) \\ & = 2 \gamma ” \cdot \gamma ’ = 0 \end{aligned} \]

Dunque la norma $\lVert \gamma ’\rVert $ è una costante $c$, da cui (a meno di una costante additiva)

\[ s(t) = \int _0^ t \lVert \gamma ’(\tau ) \rVert \, d\tau = ct, \]

e la curva non è solo liscia, ma anche regolare.

Sia $S\subset \RR ^3$ una superficie (regolare), e siano $A,B\in S$ due punti in $S$. In genere esiste sempre almeno una curva $\gamma \from I \to S$ regolare che minimizza la lunghezza, nella famiglia di tutte le curve regolari $P(t)$ tali che $P(0)=A$ e $P(1)=B$, ma non è vero né che tale curva esista sempre né che è unica.

Per vedere che una curva che minimizza la lunghezza non è necessariamente unica basta pensare alle curve che partono dal polo Nord e arrivano al polo Sud, sulla sfera unitaria di $\RR ^3$: se c’è una curva di lunghezza minima, allora tutte le sue immagini ruotate devono avere la medesima lunghezza, e quindi il minimo non può essere unico.

Per vedere che una curva che minimizza la lunghezza non esiste necessariamente, basta considerare la superficie piana $z=0$, cui si toglie l’origine $(0,0,0)$. Allora la curva di lunghezza minima che parte da $(1,0,0)$ e arriva a $(-1,0,0)$ non esiste (dovrebbe essere un segmento che passa l’origine, ma l’origine è stata cancellata).

Dal punto di vista astratto, si ha la seguente situazione. Sia $X$ lo spazio di tutte le curve regolari $\gamma (t)$ tali che $\gamma (0) =A$ e $\gamma (1)=B$, e $\mathcal{L}$ la funzione (che qui si chiama funzionale perché definita su un dominio che è a sua volta uno spazio di funzioni)

\[ \mathcal{L}(\gamma ) = \int _0^1 \left\lVert \dfrac {d\gamma }{dt} \right\rVert \, dt. \]

Vorremmo mostrare che la funzione $\mathcal{L} \from X \to \RR $ ammette minimo. Se fosse una funzione continua su un compatto, avremmo concluso. Ma purtroppo occorrerebbe prima dare una topologia a $X$, verificare che $L$ è una funzione continua, e mille altre difficoltà, per cui è meglio rimandare questo problema a corsi più avanzati.

Per il momento citiamo solamente il seguente teorema.

(10.3) Teorema. Per ogni $A,B\in S$, se $\gamma $ è una curva che minimizza il funzionale di lunghezza $\mathcal{L}$ con il vincolo $\gamma (0)=A$ e $\gamma (1)=B$, allora $\gamma $ è una geodetica di $S$.

Dim. [Pseudo-Dimostrazione] Una prima osservazione è che se la curva minimizza il funzionale di lunghezza con i vincoli $\gamma (0)=A$ e $\gamma (1)=B$, allora per ogni $a,b\in (0,1)$ con $a < b$ la curva $\hat\gamma $ definita da $\hat\gamma (t) = \gamma ( tb+(1-t)a )$ minimizza il funzionale di lunghezza con vincoli $\hat\gamma (0)=\gamma (a)$ e $\hat\gamma (1) = \gamma (b)$.

Possiamo quindi supporre senza perdere in generalità che esista una carta locale $P(u,v)$ tale che $\gamma (t) = P(t,0)$, definita in un opportuno aperto $\Omega \subset \RR ^2$. Ora, dato che il vettore curvatura è sempre ortogonale alla tangente, la curvatura di $\gamma $ in $0$ sarà ortogonale a $\gamma ’ = P_ u$ in $0$.

Consideriamo ora una funzione liscia arbitraria $\varphi \from I \to \RR $ tale che $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ e tale che per ogni $\epsilon \in [-1,1]$ si abbia $(t,\epsilon \varphi (t))\in \Omega $. Per ogni $\epsilon \in [-1,1]$ quindi esiste la lunghezza $L(\epsilon )$ della curva $\gamma _\epsilon (t) = P(t,\epsilon \varphi (t))$, e se è vero che $\gamma =\gamma _0$ è un minimo per la lunghezza, allora $0$ deve essere punto minimo per la funzione $L(\epsilon )$, e quindi $\dfrac {dL}{d\epsilon }(0) = 0 $. Tenuto conto che $\gamma ’_0 = P_ u(t,0)$ e

\[ \begin{aligned} \gamma ’_\epsilon (t) & = \dfrac {d\gamma _\epsilon }{dt} = P_ u(t,\epsilon \varphi (t)) + \epsilon \varphi ’(t) P_ v(t,\epsilon \varphi (t))\, \\ \implies \left. \dfrac {d \gamma _\epsilon ’}{d\epsilon } \right\rvert _{\epsilon =0} & = P_{uv} \varphi + \varphi ’ P_ v \end{aligned} \]

si ha [4] \begin{align*} \left.\dfrac {dL}{d\epsilon }\right\rvert _{\epsilon =0} & = \left. \dfrac {dL}{d\epsilon } \left( \int _0^1 \left\Vert \gamma ’_\epsilon (t) \right\Vert \, dt \right)\right\rvert _{\epsilon =0} \\ & = \int _0^1 \dfrac {d}{d\epsilon } \left. \left(\left\Vert \gamma ’_\epsilon (t) \right\Vert \right) \right\rvert _{\epsilon =0} \, dt \\ & = \int _0^1 \dfrac {d}{d\epsilon } \left. \left( \gamma ’_\epsilon \cdot \gamma ’_\epsilon \right) ^{1/2} \right\rvert _{\epsilon =0} \, dt \\ & = \int _0^1 \frac{1}{2} \left\Vert \gamma ’_0\right\Vert ^{-1} \left( 2 \left. \dfrac {d \gamma _\epsilon ’}{d\epsilon } \right\rvert _{\epsilon =0} \cdot \gamma ’_0 \right) \, dt \\ & = \int _0^1 \left\Vert \gamma ’_0\right\Vert ^{-1} \left( (P_{uv} \varphi + \varphi ’ P_ v) \cdot P_ u \right) \, dt \\ & = \int _0^1 \dfrac { P_{uv} \cdot P_ u }{ \left\Vert P_ u\right\Vert } \varphi \, dt + \int _0^1 \dfrac { P_{v} \cdot P_ u }{ \left\Vert P_ u\right\Vert } \varphi ’ \, dt \\ & = \int _0^1 \dfrac { P_{uv} \cdot P_ u }{ \left\Vert P_ u\right\Vert } \varphi \, dt + \left. \left( \dfrac { P_{v}(t,0) \cdot P_ u(t,0) }{ \left\Vert P_ u(t,0)\right\Vert } \varphi (t) \right) \right\rvert _0^1 - \int _0^1 \dfrac {d}{dt}\left(\dfrac { P_{v} \cdot P_ u }{ \left\Vert P_ u\right\Vert } \right) \varphi \, dt \\ & = \int _0^1 \dfrac { P_{uv} \cdot P_ u }{ \left\Vert P_ u\right\Vert } \varphi \, dt - \int _0^1 \left(\dfrac {d}{dt}\left( \dfrac {P_ u}{\left\Vert P_ u\right\Vert }\right) \cdot P_ v + \dfrac {P_ u}{\left\Vert P_ u\right\Vert } \cdot P_{uv} \right)\varphi \, dt \\ & = - \int _0^1 \left(\dfrac {d}{dt}\left( \dfrac {P_ u}{\left\Vert P_ u\right\Vert }\right) \cdot P_ v \right)\varphi \, dt\, , \\ \end{align*} da cui segue che il vettore curvatura della curva $\gamma _0$ è ortogonale a $P_ v$.

Quindi per ogni $t$ si ha che $\gamma ”(t)$ è ortogonale a $P_ u$ e $P_ v$, da cui la curvatura geodetica è sempre nulla, cioè la curva $\gamma $ è una geodetica.

QED

(10.4) Teorema.[Equazioni delle geodetiche] Un arco di curva $\gamma (t)=P(u(t),v(t))$ su una superficie $S$ è una geodetica se e soltanto se (1)\begin{equation} \begin{aligned} \dfrac {d}{dt}\left( E \dfrac {du}{dt} + F \dfrac {dv}{dt} \right) & = \dfrac {1}{2} \left( E_ u (\dfrac {du}{dt})^2 + 2 F_ u \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} + G_ u (\dfrac {dv}{dt})^2 \right) \\ \dfrac {d}{dt}\left( F \dfrac {du}{dt} + G \dfrac {dv}{dt} \right) & = \dfrac {1}{2} \left( E_ v (\dfrac {du}{dt})^2 + 2 F_ v \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} + G_ v (\dfrac {dv}{dt})^2 \right)~ . \end{aligned} \end{equation} (2)\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \dfrac {d^2u}{dt^2} + \Gamma ^ u_{uu} (\frac{du}{dt})^2 + 2 \Gamma ^ u_{uv} \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + \Gamma ^ u_{vv} ( \frac{dv}{dt})^2 & = 0 \\ \dfrac {d^2v}{dt^2} + \Gamma ^ v_{uu} (\frac{du}{dt})^2 + 2 \Gamma ^ v_{uv} \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + \Gamma ^ v_{vv} ( \frac{dv}{dt})^2 & = 0 ~ . \end{aligned}\right. \end{equation}

Dim. La curva è una geodetica se e soltanto se $\dfrac {d^2\gamma }{dt^2}$ è ortogonale a $P_ u$ e $P_ v$ per ogni $t$, e dato che $\dfrac {d\gamma }{dt} = \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v$, questo è vero se e soltanto se

\[ \dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v \right) \cdot P_ u = 0 = \dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v \right) \cdot P_ v ~ . \]

Dal momento che $E_ u =2 P_ u \cdot P_{uu}$, $G_ u = 2 P_ v \cdot P_{uv}$ e $F_ u = P_{uu} \cdot P_ v + P_ u \cdot P_{uv}$, si ha \begin{align*} 0=\dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v \right) \cdot P_ u & = \dfrac {d}{dt} \left( (\dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v) \cdot P_ u \right) - \left( \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v \right) \cdot \dfrac {d P_ u}{dt} \\ & = \dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {du}{dt} E + \dfrac {dv}{dt} F \right) - \left( \dfrac {du}{dt} P_ u + \dfrac {dv}{dt} P_ v \right) \cdot \left( \dfrac {du}{dt} P_{uu} + \dfrac {dv}{dt} P_{uv} \right) \\ \implies \dfrac {d}{dt} \left( \dfrac {du}{dt} E + \dfrac {dv}{dt} F \right) & = (P_ u \cdot P_{uu}) (\dfrac {du}{dt})^2 + (P_ u \cdot P_{uv} + P_ v \cdot P_{uu} ) (\dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} ) + (P_ v \cdot P_{uv} ) ( \dfrac {dv}{dt})^2 \\ & = \dfrac {E_ u}{2} (\dfrac {du}{dt})^2 + F_ u (\dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} ) + \dfrac {G_ u}{2} ( \dfrac {dv}{dt})^2~ . \end{align*} Questa è la prima delle due equazioni (1). Per la seconda, si procede in modo analogo con $v$ al posto di $u$.

Ora mostriamo come dalle (1) seguono le (2). Dato che \[ \begin{aligned} \dfrac {d}{dt} \left( E \dfrac {du}{dt} + F \dfrac {dv}{dt} \right) & = \left( E_ u \dfrac {du}{dt} + E_ v \dfrac {dv}{dt} \right) \dfrac {du}{dt} + E \dfrac {d^2u}{dt^2} + \left( F_ u \dfrac {du}{dt} + F_ v \dfrac {dv}{dt} \right) \dfrac {dv}{dt} + F \dfrac {d^2v}{dt^2} \\ \implies E \dfrac {d^2u}{dt^2} + F \dfrac {d^2v}{dt^2} & = \dfrac {-E_ u}{2} (\dfrac {du}{dt})^2 + (F_ u-E_ v-F_ u) \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} + (\dfrac {G_ u}{2}-F_ v) (\dfrac {dv}{dt})^2 \\ \dfrac {d}{dt} \left( F \dfrac {du}{dt} + G \dfrac {dv}{dt} \right) & = \left( F_ u \dfrac {du}{dt} + F_ v \dfrac {dv}{dt} \right) \dfrac {du}{dt} + F \dfrac {d^2u}{dt^2} + \left( G_ u \dfrac {du}{dt} + G_ v \dfrac {dv}{dt} \right) \dfrac {dv}{dt} + G \dfrac {d^2v}{dt^2} \\ \implies F \dfrac {d^2u}{dt^2} + G \dfrac {d^2v}{dt^2} & = (\dfrac {E_ v}{2}-F_ u) (\dfrac {du}{dt})^2 + (F_ v-F_ v-G_ u) \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} - \dfrac {G_ v}{2} (\dfrac {dv}{dt})^2 \\ \implies \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{d^2u}{dt^2} \\ \frac{d^2v}{dt^2} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} \frac{-E_ u}{2} \\ \frac{E_ v}{2}-F_ u \end{bmatrix} (\dfrac {du}{dt})^2 + \begin{bmatrix} -E_ v \\ -G_ u \end{bmatrix} \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} + \begin{bmatrix} \frac{G_ u}{2} - F_ v \\ -\frac{G_ v}{2} \end{bmatrix} (\dfrac {dv}{dt})^2~ . \end{aligned} \] Ma ricordando le equazioni (9.3) dei simboli di Christoffel, le equazioni possono essere riscritte come

\[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} \frac{d^2u}{dt^2} \\ \frac{d^2v}{dt^2} \end{bmatrix}& = - \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uu} \\ \Gamma ^ v_{uu} \end{bmatrix} (\dfrac {du}{dt})^2 - 2 \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uv} \\ \Gamma ^ v_{uv} \end{bmatrix} \dfrac {du}{dt} \dfrac {dv}{dt} - \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{vv} \\ \Gamma ^ v_{vv} \end{bmatrix} (\dfrac {dv}{dt})^2 ~ , \end{aligned} \]

e questo conclude la dimostrazione.

QED

(10.5) [mappa esponenziale] Sia $p\in S$ un punto, e $T_ pS$ il piano tangente. Allora esiste $\epsilon > 0$ tale che per ogni vettore $\vv \in T_ pS$ tale che $\left\Vert \vv \right\Vert < \epsilon $, esiste una curva geodetica $\gamma _{\vv }(t)$ definita in $[0,1]$ tale che $\gamma (0) = p$ e $\dfrac {d\gamma }{dt}(0) = \vv $. La mappa $B_\epsilon (\boldsymbol {0}) \subset T_ pS \to S$ definita da \[ \exp _ p(\vv ) = \gamma _{\vv }(1) \] è un diffeomorfismo di $B_\epsilon (\boldsymbol {0})$ sulla sua immagine, e manda i raggi per l’origine di $B_\epsilon (\boldsymbol {0})$ in geodetiche per $p$ in $S$.

Dim. La dimostrazione del lemma non è difficle: è solo una paziente applicazione dei teoremi di esistenza e unicità per soluzioni di ODE, e teoremi di invertibilità di funzioni regolari. Si può trovare in molti testi di geometria differenziale o analisi.
QED

(10.6) Teorema.[Minding] Se $S$ e $S’$ sono due superfici regolari con la stessa curvatura costante, allora per ogni punto $p\in S$ e ogni punto $p’\in S’$ esistono degli intorni $U\ni p$ e $U’\ni p’$ e una isometria $U\cong U’$.

Dim. [Cenno di dimostrazione] Con la mappa esponenziale, è possibile definire delle coordinate particolari, analoghe alle coordinate polari: le coordinate polari geodetiche (che sono di fatto le coordinate polari di $T_ pS$): $(r,\vartheta ) \mapsto \vv \mapsto \exp _ p(\vv )$, cioè consideriamo la carta (con singolarità nell’origine, però)

\[ (r,\vartheta ) \mapsto \exp _ p(r\cos \vartheta ,r\sin \vartheta ). \]

Le $r$-curve $\gamma (r) = \exp _ p(r\cos \vartheta ,r\sin \vartheta )$ sono geodetiche e sono parametrizzate con il parametro naturale (perché sono le geodetiche $\gamma _{\vv }(t)$ con $\left\Vert \vv \right\Vert = 1$), e quindi per ogni $(r,\vartheta )$ si ha

\[ E=E(r,\vartheta ) = P_ r(r,\vartheta ) \cdot P_ r(r,\vartheta ) = 1~ . \]

e $P_{rr}\cdot P_\vartheta = 0$. Deduciamo quindi

\[ F_ r = \dfrac {\partial }{\partial r}\left( P_ r \cdot P_\vartheta \right) = P_{rr} \cdot P_\vartheta + P_ r \cdot P_{r\vartheta } = 0 + P_ r \cdot P_{r\vartheta }= \dfrac {E_\vartheta }{2} = 0, \]

cioè $F$ non dipende da $r$. Ma $F(0,\vartheta ) = P_ r(0,\vartheta ) \cdot P_\vartheta (0,\vartheta ) =0$, dato che $P_\vartheta (0,\vartheta )=0$ per ogni $\vartheta $ ($P(0,\vartheta )$ è costante), e quindi $F=0$ per ogni $(r,\vartheta )$.

In altre parole, i coefficienti della prima forma fondamentale in queste coordinate locali (con $r$ piccolo) soddisfano le equazioni $E=1$, $F=0$. Osserviamo poi che $G=P_\vartheta \cdot P_\vartheta > 0$ per $r > 0$, e quindi per ogni $(r,\vartheta )$ con $r$ piccolo esiste $\sqrt {G} = \left\Vert P_\vartheta \right\Vert $.

Per quanto visto prima, $P(0,\vartheta )=p$ è costante, e quindi $\sqrt {G}(0,\vartheta ) = 0$.

I simboli di Christoffel, per (9.3), sono

\[ \left\{ \begin{aligned} \begin{bmatrix} \Gamma ^ r_{rr} \\ \Gamma ^\vartheta _{rr} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \Gamma ^ r_{r\vartheta } \\ \Gamma ^\vartheta _{r\vartheta } \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} G_ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{G_ r}{2G} \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \Gamma ^ r_{\vartheta \vartheta } \\ \Gamma ^\vartheta _{\vartheta \vartheta } \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} - \frac{1}{2} G_ r \\ \frac{1}{2} G_\vartheta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{G_ r}{2G} \\ \frac{G_\vartheta }{2G} \end{bmatrix} ~ . \end{aligned}\right. \]

Per la prima delle equazioni di (9.5) si ha quindi

\[ \begin{aligned} K & = - \dfrac {\partial }{\partial r} \left( \frac{G_ r}{2G} \right) - \left(\frac{G_ r}{2G} \right)^2 \\ & = - \dfrac { 2G G_{rr}-2G_ r^2 }{4 G^2 } - \dfrac {G_ r^2}{4G^2} = \dfrac {- 2G G_{rr} + G_ r^2}{4G^2} \\ \implies \dfrac {\partial ^2}{\partial r^2} \left( \sqrt {G} \right) & = \dfrac {\partial }{\partial r}\left( \frac{1}{2} G^{-1/2} G_ r \right) \\ & = \dfrac {1}{2} (-\dfrac {1}{2} G^{-3/2} G_ r^2 + G^{-1/2} G_{rr}) \\ & = \sqrt {G} \dfrac {-G_ r^2 + 2G G_{rr} }{4G^2} \\ & = - K \sqrt {G} ~ , \end{aligned} \]

da cui segue che per ogni $\vartheta _0$ fissato la funzione $g(r) = \sqrt {G}(r,\vartheta _0)$ (in coordinate polari geodetiche) soddisfa l’equazione differenziale (lineare a coefficienti costanti)

\[ \dfrac {\partial ^2}{\partial r^2} ( g ) + K g = 0~ . \]

La funzione $g(r)$ soddisfa i dati iniziali $g(0) = \sqrt {G(0,\vartheta )} = 0$, e a priori non è necessariamente differenziabile in $0$. Per definizione, $\left\Vert P_\vartheta \right\Vert = g$. Per calcolare il limite della sua derivata $g’(r) $ per $r\to 0$ occorre un ragionamento un po’ articolato.

La curva radiale $\gamma (r)$ è una geodetica parametrizzata con il parametro d’arco: per ogni $r$ il vettore $\gamma ’(r)=P_ r$ è tangente a $S$ in $\gamma (r)$, cioè $\gamma ’(r)\in T_{\gamma (r)}S$. Il vettore binormale $\vb (r)$ di $\gamma $ sarà anch’esso un vettore tangente a $S$ in $\gamma (r)$, dato che $\gamma $ è geodetica e quindi il vettore curvatura è normale alla superficie, e quindi $P_\vartheta = \pm g \vb $. Eventualmente cambiando $\vb $ in $-\vb $ possiamo supporre che $P_\vartheta = g \vb $. Derivando rispetto a $r$ si ottiene

\[ P_{\vartheta r} = g’ \vb + g \vb ’ = g’ \vb - g \tau \vn , \]

dove $\tau $ e $\vn $ sono la torsione e il versore normale della curva $\gamma $. Quindi (dato che $g(0)=0$)

\[ \lim _{r\to 0} g’(r) \vb (r) = \lim _{r\to 0} P_{\vartheta r}(r,\vartheta _0) \]

Osserviamo però che $\vv (\vartheta ) = P_ r(0,\vartheta )$ è, per ogni $\vartheta $, un vettore di norma $1$ nello spazio tangente ad $S$ nel centro $p$ (è il vettore unitario che punta nella direzione radiale), e quindi

\[ \dfrac {d\vv }{d\vartheta } \in T_ pS, \quad \dfrac {d\vv }{d\vartheta } \cdot \vv = 0~ . \]

Ma allora, per $\vartheta =\vartheta _0$ si ha $\vv (\vartheta ) = \gamma ’(0)$, e quindi il vettore $\vv ’(\vartheta _0) = P_{r\vartheta }(0,\vartheta _0)$ è tangente a $S$ in $p$, unitario, e ortogonale a $\gamma ’(0)$, e quindi è uguale a $\pm \vb $. Da $P_{r\vartheta } = P_{\vartheta r}$ segue che

\[ \lim _{r\to 0} g’(r) \vb (r) = P_{r\vartheta }(0,\vartheta _0) = \vv ’(\vartheta _0) = \pm \vb , \]

e dunque il limite può essere $\pm 1$. Essendo $g(r) > 0$ per $r > 0$ e $g(0)=0$, non può essere $- 1$, cioè

\[ \lim _{r\to 0} g’(r) = 1. \]

Quindi $g(r)$ è soluzione del problema ai valori iniziali $y” + Ky=0$, $y(0)=0$, $y’(0)=1$.

Osserviamo per prima cosa che questo significa che $g$ non dipende dalla scelta di $\vartheta _0$, se $K$ è costante. E la dimostrazione è conclusa, dal momento che abbiamo dedotto che i coefficienti della prima forma fondamentale dipendono soltanto dal valore (costante) $K$.

QED

Il seguente corollario finalmente permette una classificazione (locale) delle superfici a curvatura costante. A parte la sfera (curvatura positiva) e il piano (curvatura nulla), le superfici a curvatura costante negativa sono localmente isometriche ai piani iperbolici. Per maggiori informazioni sul piano iperbolico, si cerchino su google il Beltrami–Klein model, il Poincaré disk model, il Poincaré half-plane model, il Hyperboloid model (o modello di Minkowski o di Lorentz). La geometria (in cui le rette sono geodetiche) del piano iperbolico è una geometria non-euclidea dal momento che il quinto postulato di Euclide non è soddisfatto. Per esempio, il disco di Poincaré è il disco unitario in $\RR ^2$, con la metrica data da

\[ ds^2 = \dfrac {dx^2 + dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}. \]

L’elemento di area sarà quindi

\[ dA = \dfrac {dx \, dy}{(1-x^2-y^2)^2}. \]

All’avvicinarsi al bordo, quindi, le lunghezze e le aree degli elementi del piano tendono all’infinito. Le geodetiche sono archi di circonferenze ortogonali al bordo del disco (perché? Non è semplice rispondere a questa domanda).

(10.7) Corollario. Le uniche superfici a curvatura costante sono localmente isometriche a sfere, piani e piani iperbolici.