8. Operatore di forma

Si consideri nel punto $P\in M$ della superficie parametrizzata $M$ un vettore tangente $\vv \in T_ PM$, che sarà vettore tangente di una curva

\[ \gamma (t) = P(u(t),v(t)),\quad \gamma ’(t) = \vv = u’ P_ u + v’ P_ v\, . \]

Il versore $\vN $ normale alla superficie in $P$ è

\[ \vN = \dfrac {P_ u \times P_ v}{\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert }, \]

e dipende dal punto $P$: la derivata di $\vN $ nella direzione $\vv $ è (per definizione) uguale a

(1)\begin{equation} D_{\vv }(\vN ) := \dfrac {d}{dt} \left[ \vN (u(t),v(t)) \right] = u’ \vN _ u + v’ \vN _ v \, . \end{equation}

Dato che $\left\Vert \vN \right\Vert =1$, si ha $\vN _ u \cdot \vN = \vN _ v \cdot \vN = 0$, e dunque per ogni $\vv \in T_ PM$

\[ D_{\vv }(\vN ) \in T_ PM. \]

L’operatore

\[ S_ P \from \, T_ PM \to T_ PM \]

definito da

\[ S_ P(\vv ) = - D_{\vv }(\vN ) \]

è detto operatore di forma. Segue subito da (1) che $S_ P$ è ben definito (cioè non dipende da $\gamma $) e lineare. Cerchiamo i suoi coefficienti nella base canonica:

\[ S_ P = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\, \iff \left\{ \begin{aligned} S_ P(P_ u ) & = a P_ u + b P_ v \\ S_ P(P_ v ) & = c P_ u + d P_ v\, . \end{aligned}\right. \]

Le immagini dei due vettori della base canonica $P_ u$ e $P_ v$ di $T_ PM$ sono per (1)

\[ S_ P(P_ u ) = - \vN _ u , \quad S_ P(P_ v ) = - \vN _ v \, , \]

e quindi, per (4) e (5)

\[ \left\{ \begin{aligned} aP_ u + bP_ v & = - \vN _ u\\ cP_ u + dP_ v & = - \vN _ v\\ \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} a P_ u \cdot P_ u + b P_ v \cdot P_ u & = - \vN _ u \cdot P_ u = e \\ a P_ u \cdot P_ v + b P_ v \cdot P_ v & = - \vN _ u \cdot P_ v = f \\ c P_ u \cdot P_ u + d P_ v \cdot P_ u & = - \vN _ v \cdot P_ u = f \\ c P_ u \cdot P_ v + d P_ v \cdot P_ v & = - \vN _ v \cdot P_ v = g \end{aligned} \right. \]\[ \implies \left\{ \begin{aligned} a E + b F & = e \\ a F + b G & = f \\ cE + dF & = f \\ cF + dG & = g \end{aligned} \right. \iff \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix}\, . \]

Ma allora si tratta della matrice di Weingarten di (5).

(8.1) Proposizione. I coefficienti della matrice dell’operatore di forma $S_ P$ sono i coefficienti della matrice di Weingarten \[ S_ P = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}= \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix} = \dfrac {1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} Ge-Ff & Gf-Fg \\ -Fe+Ef & -Ff+Eg \end{bmatrix} \, , \] e quindi le curvature principali sono gli autovalori dell’operatore di forma, e la curvatura gaussiana è il determinante della matrice dell’operatore di forma (che è il determinante Jacobiano della mappa di Gauss: $P \mapsto \vN (P)$).