7. Curvature principali, curvatura gaussiana e media

Si consideri la funzione $\kappa _ n\from T_ AM \to \RR $ che associa al vettore tangente $\vv \in T_ AM\cong \RR ^2$, tangente la superficie parametrizzata $M$ nel punto $A\in M$, la curvatura normale $\kappa _ n$ di una qualsiasi curva che ha $\vv $ come vettore tangente. Per quanto visto sopra è una funzione definita come

\[ \kappa _ n = \dfrac { \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{II}{\vu }}{\, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }} \]

dove ${\vu }\in \RR ^2\smallsetminus \{ \boldsymbol {0}\} $ è il vettore $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$ non-nullo delle coordinate di $\vv \neq \boldsymbol {0}$ nella base $\dfrac {\partial P}{\partial u}$, $\dfrac {\partial P}{\partial v}$ di $P_ AM$ e tale che per ogni $\lambda \neq 0$ si ha

(1)\begin{equation} \kappa _ n(\lambda {\vu }) = \kappa _ n({\vu })\, . \end{equation}

Consideriamo la composizione $\varphi \from \RR \to \RR $ definita ponendo per ogni $\theta \in \RR $

(2)\begin{equation} \varphi (\theta ) = \kappa _ n( \cos \theta , \sin \theta )~ , \end{equation}

che associa all’angolo $\theta $ la curvatura normale di una curva sulla superficie con tangente $(\cos \theta ) P_ u + (\sin \theta ) P_ v $. Si tratta di una funzione periodica di periodo $\pi $ (cioè per ogni $\theta $ si ha $\varphi (\theta ) = \varphi (\theta + \pi )$), liscia. Avrà quindi certamente almeno un massimo e un minimo, che per la (1) saranno anche massimo e minimo globali della funzione curvatura normale $\kappa _ n$.

(7.1) Definizione. I valori estremali (massimo e minimo) della curvatura normale $\kappa _ n$, cioè di $\varphi $, sono le curvature principali della superficie $S$ nel punto, e si indicano con i simboli $\kappa _1$ e $\kappa _2$. Le direzioni corrispondenti, rappresentate da certi vettori $\ve _ i$ del piano tangente, sono le direzioni principali, o direzioni di curvatura principale. Le direzioni in cui la curvatura normale si annulla $\kappa _ n=0$ sono chiamate le direzioni asintotiche.

(7.2) Se le due curvature principali $\kappa _1$ e $\kappa _2$ non coincidono (cioè se $\kappa _ n$ non è costante), allora esistono esattamente due direzioni principali (che indichiamo con $\ve _1$ e $\ve _2$, a meno di segno) in $T_ AS$, che sono ortogonali \[ \mathbf{I}(\ve _1, \ve _2) = 0\, . \] Altrimenti, tutte le direzioni sono principali.

Dim. È chiaro che se il massimo e il minimo di $\varphi $ coincidono, allora $\varphi $ è una funzione costante, e quindi tutte le direzioni sono principali. In questo caso il punto si chiama ombelicale.

Ricordiamo che per definizione se poniamo ${\vu }(\theta ) = (\cos \theta , \sin \theta )$, allora $\varphi (\theta ) = \kappa _ n({\vu }(\theta ))$. Dato che $\left\Vert {\vu }\right\Vert ^2 = 1 $, ${\vu }$ e ${\vu }’$ sono ortogonali (le derivate si intendono rispetto a $\theta $), e quindi costituiscono una base di $\RR ^2$. È facile vedere che per ogni ${\vu }\neq \boldsymbol {0}$ si ha

(3)\begin{equation} \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \left( \mathbf{II}{\vu }- \kappa _ n({\vu }) \mathbf{I}{\vu }\right) = 0\, . \end{equation}

Inoltre, derivando $\varphi $ si ottiene (considerando che le $\mathbf{I}$ e $\mathbf{II}$ sono bilineari simmetriche e la $\mathbf{I}$ è un prodotto scalare e quindi definita positiva):

\[ \begin{aligned} \dfrac {d\varphi }{d\theta } = 0 & \iff \dfrac {d}{d\theta } \left[ \dfrac { \, {\vphantom {\! {\vu }(\theta )}}^\mathrm {t}\! {\vu }(\theta ) \mathbf{II}{\vu }(\theta )}{\, {\vphantom {\! {\vu }(\theta )}}^\mathrm {t}\! {\vu }(\theta ) \mathbf{I}{\vu }(\theta )} \right] = 0 \\ \iff & \dfrac { \left(\, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{II}{\vu }\right) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }\right) - \left(\, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu }\mathbf{II}{\vu }\right) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{I}{\vu }\right) }{ \left( \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }\right)^2} = 0 \\ \iff & \left(\, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{II}{\vu }\right) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }\right) - \left(\, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu }\mathbf{II}{\vu }\right) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{I}{\vu }\right) = 0 \\ \iff & \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu }\mathbf{I}{\vu }\left[ \left(\, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{II}{\vu }\right) - \kappa _ n({\vu }) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{I}{\vu }\right) \right] = 0\\ \iff & \left(\, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{II}{\vu }\right) - \kappa _ n({\vu }) \left( \, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \mathbf{I}{\vu }\right) = 0 \\ \iff & \, {\vphantom {\! {\vu }’}}^\mathrm {t}\! {\vu }’ \left( \mathbf{II}{\vu }- \kappa _ n({\vu }) \mathbf{I}{\vu }\right) = 0\, . \end{aligned} \]

Quindi il vettore $\mathbf{II}{\vu }- \kappa _ n({\vu }) \mathbf{I}{\vu }$ è ortogonale sia a ${\vu }$ (per la (3)) che a ${\vu }’$, i quali costituiscono una base per $\RR ^2$: deve quindi essere il vettore nullo, cioè

(4)\begin{align} \notag \dfrac {d\varphi }{d\theta } = 0 \iff & \mathbf{II}{\vu }(\theta ) = \kappa _ n({\vu }(\theta )) \mathbf{I}{\vu }(\theta ) \\ \iff & \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }= \kappa _ n {\vu }\, . \end{align}

Definiamo la matrice (nel punto della superficie che stiamo studiando)

(5)\begin{equation} S = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}= \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix} = \dfrac {1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} Ge-Ff & Gf-Fg \\ -Fe+Ef & -Ff+Eg \end{bmatrix} \end{equation}

che talvolta è anche chiamata la matrice di Weingarten. Possiamo quindi dire che

le curvature principali sono autovalori di $S$.

Dato che $S$ ha al massimo due autovalori distinti, nell’ipotesi $\kappa _1\neq \kappa _2$ le due curvature principali sono gli autovalori di $S$. Se $\kappa _1=\kappa _2$, questo ci dice che la curvatura principale è un autovalore (reale) per $S$. Che però non può avere autovalori complessi oltre a $\kappa _1$, e quindi $S$ ha un solo autovalore, e dunque anche in questo caso sono gli autovalori di $S$.

Osserviamo che, in generale,

(6)\begin{align} \notag S {\vu }& = \lambda {\vu }\iff \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }= \lambda {\vu }\iff \mathbf{II}{\vu }= \lambda \mathbf{I}{\vu }\\ \implies & \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu }\mathbf{II}{\vu }= \lambda \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }\iff \lambda = \dfrac { \, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu }\mathbf{II}{\vu }}{\, {\vphantom {\! {\vu }}}^\mathrm {t}\! {\vu } \mathbf{I}{\vu }} \iff \lambda = \kappa _ n\, . \end{align}

Quindi $S$ avrebbe a priori autovalori tutti reali.

Ad ogni buon conto, se $\kappa _1\neq \kappa _2$, esistono due autovettori ${\vu }_1$ e ${\vu }_2$ di $S$, che soddisfano le uguaglianze:

\[ \begin{aligned} \mathbf{II}{\vu }_1 & = \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_1 ,\quad \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_1 = \kappa _1 {\vu }_1 \\ \mathbf{II}{\vu }_2 & = \kappa _2 \mathbf{II}{\vu }_2 ,\quad \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_2 = \kappa _2 {\vu }_2 \\ \implies & \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 = \, {\vphantom {\! (\kappa _1 {\vu }_1)}}^\mathrm {t}\! (\kappa _1 {\vu }_1) \mathbf{I}{\vu }_2 = \, {\vphantom {\! (\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_1)}}^\mathrm {t}\! (\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_1) \mathbf{I}{\vu }_2 = \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \, {\vphantom {\! \mathbf{II}}}^\mathrm {t}\! \mathbf{II} \, {\vphantom {\! \mathbf{I}}}^\mathrm {t}\! \mathbf{I}^{-1} \mathbf{I}{\vu }_2 = \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{II}{\vu }_2 & & \text {($\mathbf{I}$ simmetrica)} \\ & \kappa _2 \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_1 = \, {\vphantom {\! (\kappa _2 {\vu }_2)}}^\mathrm {t}\! (\kappa _2 {\vu }_2) \mathbf{I}{\vu }_1 = \, {\vphantom {\! (\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_2)}}^\mathrm {t}\! (\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}{\vu }_2) \mathbf{I}{\vu }_1 = \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \, {\vphantom {\! \mathbf{II}}}^\mathrm {t}\! \mathbf{II} \, {\vphantom {\! \mathbf{I}}}^\mathrm {t}\! \mathbf{I}^{-1} \mathbf{I}{\vu }_1 = \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{II}{\vu }_1 & & \text {($\mathbf{I}$ simmetrica)} \\ \implies & \kappa _2 \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_1 - \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 = \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{II}{\vu }_1 - \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{II}{\vu }_2 = 0 & & \text {($\mathbf{II}$ simmetrica)} \\ \implies & (\kappa _2-\kappa _1) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 = 0& & \text {($\mathbf{I}$ simmetrica)} \\ \implies & \mathbf{I}({\vu }_1,{\vu }_2) = 0.& & \text {($\kappa _1\neq \kappa _2$)} \end{aligned} \]

A questi due vettori ${\vu }_ i$ corrisponderanno quindi due vettori $\ve _1$, $\ve _2$ ortogonali, nel piano tangente (moltiplicandoli per $P_ u$ e $P_ v$), e questo conclude la dimostrazione.

QED

(7.3) Nota. [Punti ombelicali] In un punto di una superficie, quindi, ci sono due direzioni di curvatura principale ortogonali, quando le curvature principali $\kappa _1$ e $\kappa _2$ sono distinte. Per i punti ombelicali, cioè quando le due curvature coincidono, tutti i vettori sono di curvatura principale, stando alla definizione (7.1). Non è detto però, a priori, che l’operatore $\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}$ sia un multiplo scalare dell’identità (cioè che abbia autospazio di dimensione $2$). Per dimostrarlo, supponiamo che $\kappa _1=\kappa _2$; certamente esiste un autovettore ${\vu }_1\neq \boldsymbol {0}$ di $S=\mathbf{I}^{-1}\mathbf{II}$ (cioè $\mathbf{II}{\vu }_1 = \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_1$), esiste certamente un vettore ${\vu }_2\neq \boldsymbol {0}$ tale che

\[ \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2{\mathbf{I}} {\vu }_1 = 0\, , \]

cioè ${\vu }_2$ è non-nullo e ortogonale a ${\vu }_1$ rispetto al prodotto scalare $\mathbf{I}$. Ma allora (le due forme fondamentali sono simmetriche)

\[ \begin{aligned} \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 (\mathbf{II}{\vu }_2 - \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_2) & = \, {\vphantom {\! (\mathbf{II}{\vu }_1)}}^\mathrm {t}\! (\mathbf{II}{\vu }_1){\vu }_2 - \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 \\ & = \, {\vphantom {\! (\kappa _1\mathbf{I}{\vu }_1)}}^\mathrm {t}\! (\kappa _1\mathbf{I}{\vu }_1){\vu }_2 - \kappa _1 0 \\ & = \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 = 0\, ; \\ \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 (\mathbf{II}{\vu }_2 - \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_2) & = \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{II}{\vu }_2 - \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 \\ & = \left( \dfrac {\, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{II}{\vu }_2}{\, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 } - \kappa _1 \right) \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 = 0 & & \text {(dato che $\forall {\vu },\, \kappa _ n({\vu })\equiv \kappa _1$).} \end{aligned} \]

Siccome ${\vu }_1$ e ${\vu }_2$ costituiscono una base, si ha che

\[ \mathbf{II}{\vu }_2 - \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_2 = \boldsymbol {0}, \]

cioè anche ${\vu }_2$ è autovettore di $\mathbf{I}^{-1}\mathbf{II}$, che quindi soddisfa l’uguaglianza

\[ \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}= \begin{bmatrix} \kappa _1 & 0 \\ 0 & \kappa _1 \end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix} = \kappa _1 \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\, . \]


(7.4) Teorema.[Eulero] Sia $\ve _1$ una direzione di curvatura principale per la superficie $M$ nel punto $A\in M$, e $\kappa _1$ la curvatura principale corrispondente (che esiste sempre per (7.3)). La curvatura normale $\kappa _ n$ nella direzione $\vv \in T_ AM$ è uguale a \[ \kappa _ n = \kappa _1 \cos ^2\theta + \kappa _2 \sin ^2 \theta , \] dove $\theta $ è l’angolo tra $\vv $ e $\ve _1$.

Dim. Per quanto visto prima, esistono certamente $\ve _1$ e $ \ve _2$ due vettori di direzione principale in $T_ AM$, che sono ortonormali. Ad essi corrispondono due vettori ${\vu }_1$ e ${\vu }_2$ tali che \[ \begin{aligned} \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 & = 0 \\ \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_1 & = 1 \\ \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 & = 1 \\ \mathbf{II}{\vu }_1 & = \kappa _1 \mathbf{I}{\vu }_1 \\ \mathbf{II}{\vu }_2 & = \kappa _2 \mathbf{I}{\vu }_2 \end{aligned} \] Ora, ruotando il sistema di riferimento nello spazio dei parametri ($U\subset \RR ^2$) in modo tale che ${\vu }_1$ e $\ve _2$ siano elementi della base (eventualmente cambiando gli indici), possiamo supporre che \[ \begin{aligned} \dfrac {\partial }{\partial u} & = {\vu }_1 \\ \dfrac {\partial }{\partial v} & = {\vu }_2\, . \end{aligned} \] e quindi la funzione $\varphi (\theta )$ cercata diventa \[ \begin{aligned} \varphi (\theta ) & = \dfrac { \, {\vphantom {\! (\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2)}}^\mathrm {t}\! (\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2) \mathbf{II}(\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2)}{\, {\vphantom {\! (\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2)}}^\mathrm {t}\! (\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2) \mathbf{I}(\cos \theta {\vu }_1 + \sin \theta {\vu }_2) } \\ & = \dfrac {(\cos ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{II}{\vu }_1 + (2 \sin \theta \cos \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{II}{\vu }_2 + (\sin ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{II}{\vu }_2 }{(\cos ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_1 + (2 \sin \theta \cos \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 + (\sin ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 } \\ & = \dfrac {(\cos ^2 \theta ) \kappa _1 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_1 + (2 \sin \theta \cos \theta ) \kappa _2 \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 + (\sin ^2 \theta ) \kappa _2 \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 }{(\cos ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_1 + (2 \sin \theta \cos \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_1}}^\mathrm {t}\! {\vu }_1 \mathbf{I}{\vu }_2 + (\sin ^2 \theta ) \, {\vphantom {\! {\vu }_2}}^\mathrm {t}\! {\vu }_2 \mathbf{I}{\vu }_2 } \\ & = \kappa _1 \cos ^2 \theta + \kappa _2 \sin ^2\theta \, . \end{aligned} \]
QED

(7.5) Definizione. La curvatura Gaussiana, o anche semplicemente curvatura, della superficie $S$ in un suo punto è il prodotto delle due curvature principali $K = \kappa _1 \kappa _2$.

(7.6) Definizione. La curvatura media della superficie $S$ è la media delle due curvature principali $H=\dfrac {\kappa _1+\kappa _2}{2}$.

(7.7) Nota. Per quanto visto nella dimostrazione di (7.2), le curvature principali sono le radici del polinomio caratteristico della matrice $\mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}$, e quindi anche del polinomio

(7)\begin{equation} \det ( \mathbf{II}- t \mathbf{I}) = (EG - F^2)t^2 - (eG +Eg - 2fF)t + eg - f^2\, . \end{equation}

Questo polinomio può quindi avere una sola radice reale (punto ombelicale), oppure due radici distinte reali (punti ellittici, parabolici, iperbolici).

(7.8) Teorema. La curvatura gaussiana di una superficie soddisfa l’equazione \[ K = \dfrac {\det \mathbf{II}}{\det \mathbf{I}} = \dfrac {eg -f^2}{EG-F^2}\, . \] La curvatura media $H$ soddisfa \[ H = \dfrac {eG -2fF + gE}{2(EG-F^2)}, \quad H^2 \geq K\, . \]

Dim. Per (7) le due curvature sono le radici del polinomio monico \[ t^2 - \dfrac {eG - 2fF+gE}{EG-F^2} t + \dfrac {eg - f^2}{EG-F^2} \] per cui \[ \begin{aligned} K & = \kappa _1\kappa _2 = \dfrac {eg-f^2}{EG-F^2} \\ 2 H & = \kappa _1 + \kappa _2 = \dfrac {eG - 2fF+gE}{EG-F^2} \\ \end{aligned} \] Ora, \[ \begin{aligned} 4(H^2 - K) & = 4(\dfrac {\kappa _1+\kappa _2}{2} )^2 - 4 \kappa _1\kappa _2 \\ & = \kappa _1^2 + \kappa _2^2 + 2\kappa _1\kappa _2 - 4 \kappa _1 \kappa _2 \\ & = \kappa _1^2 + \kappa _2 - 2\kappa _1\kappa _2 = (\kappa _1-\kappa _2)^2\geq 0 \, , \end{aligned} \] per cui $H^2 \geq K$.
QED

(7.9) Nota. I punti di una superficie si possono quindi classificare come segue:

Punti ellittici: : Le curvature principali sono diverse da $0$ e hanno lo stesso segno $\iff K > 0 \iff eg-f^2 > 0$.

Punti parabolici: : Una delle curvature principali è nulla $\iff K=0 \iff eg-f^2=0$.

Punti iperbolici: : Le curvature principali non sono nulle e hanno segni diversi $\iff K < 0 \iff eg-f^2 < 0$.

Punto ombelicale: : Punto in cui le due curvature principali coincidono (quindi può essere ellittico ($\kappa _1=\kappa _2\neq 0$) o planare ($\kappa _1=\kappa _2=0$)).


(7.10) Teorema.[Teorema Egregium] La curvatura gaussiana $K$ è determinata dalla sola prima forma fondamentale, cioè $K$ si può calcolare in funzione di $E$, $F$, $G$ e le loro derivate (parziali) prime e seconde. Cioè, è una quantità intrinseca della superficie.

Dim. La dimostrazione verrà svolta in 9..
QED

(7.11) Corollario. Se due superfici sono localmente isometriche, allora le curvature gaussiane in punti corrispondenti sono uguali.

Dim. Se sono localmente isometriche, allora le due prime forme fondamentali nei punti corrispondenti sono uguali: allora anche le curvature gaussiane sono uguali, per (7.10).
QED

(7.12) Nota. Questo teorema ha importanti conseguenze per la cartografia, tra le altre: si può dedurre che una sfera non è localmente isometrica ad un piano (cfr. esercizio 2.16). Quindi non è possibile avere una mappa “fedele”, nemmeno localmente, della sfera terrestre. Mappe che conservano gli angoli (come la proiezione stereografica oppure la proiezione di Mercatore) ce ne sono, ma non mappe che conservano le distanze. L’utilità di una tale mappa sarebbe che per trovare i cammino più breve basterebbe usare una riga: invece per le mappe del tipo Mercatore occorre procedere in modi più complicati.