5. Curvature normali, curvature geodetiche

Consideriamo una superficie $S$ con parametrizzazione regolare $P(u,v)=P\from U\subset \RR ^2 \to \EE ^3$, e una curva $\gamma (s)$ contenuta in $S$, cioè

\[ \gamma (s) = P ( u(s), v(s) ), \]

dove $s$ è il parametro naturale. Se $\vt $ è il vettore tangente a $\gamma $, allora per definizione $\vt $ appartiene allo spazio tangente $T_ P S$, e quindi è ortogonale al vettore normale alla superficie (1)

\[ \vt \cdot \vN = 0 \]

(dove s’intende che questi vettori sono valutati per un certo valore fissato di $s$). Ora, ricordiamo che anche il vettore curvatura $\boldsymbol {\kappa }$ di (1) è ortogonale al vettore tangente $\vt $ (ha la direzione della normale principale $\vn $ del triedro di Frenet). In ogni caso si può decomporre in modo unico come

(1)\begin{equation} \dfrac {d \vt }{ds} = \boldsymbol {\kappa }= \kappa _ n \vN + \boldsymbol {\kappa }_ g \end{equation}

dove $\boldsymbol {\kappa }_ g$ è la componente di $\boldsymbol {\kappa }$ tangente alla superficie (chiamato vettore di curvatura geodetica, o vettore di curvatura tangenziale), mentre $\kappa _ n \vN $ è la componente di $\boldsymbol {\kappa }$ ortogonale alla superficie, chiamato vettore di curvatura normale. Entrambi ovviamente dipendono dalla curva $\gamma (s)$, e dal valore di $s$.

(5.1) La curvatura normale $\kappa _ n$ dipende solo dal versore tangente alla curva $\gamma $ e non dalla curva $\gamma $, cioè tutte le curve in $S$ con lo stesso versore tangente in $A\in S$ hanno la medesima curvatura normale in $A$.

Dim. Basta calcolare $\kappa _ n$, tenendo conto del fatto che la curvatura geodetica è tangenziale, cioè $\boldsymbol {\kappa }_ g \cdot \vN =0$:

(2)\begin{equation} \dfrac {d \vt }{ds} \cdot \vN = \boldsymbol {\kappa }\cdot \vN = \kappa _ n. \end{equation}

Ora, lungo la curva si ha sempre $\vN (s) \cdot \vt (s) = 0$, da cui, derivando in $s$, si ottiene

\[ 0 = \dfrac {d \vN }{ds} \cdot \vt + \vN \cdot \dfrac {d \vt }{ds} \implies \kappa _ n = - \vt \cdot \dfrac {d\vN }{ds} = - \dfrac { dP}{ds} \cdot \dfrac {d\vN }{ds}\, . \]

Cerchiamo ora di dare un senso alla seguente serie di pseudo-uguaglianze:

(3)\begin{equation} \begin{aligned} \kappa _ n & = - \dfrac { dP}{ds} \cdot \dfrac {d\vN }{ds} = - \dfrac {dP \cdot d\vN }{ ds^2} \\ & =- \dfrac { (P_ u \cdot \vN _ u)\, du^2 + (P_ u \cdot \vN _ v + P_ v \cdot \vN _ u)\, du \, dv + (P_ v \cdot \vN _ v) \, dv^2 }{ ds^2} \\ & = \dfrac {e \, du^2 + 2f \, du\, dv + g\, dv^2}{E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2}\, . \end{aligned}\end{equation}

con

(4)\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} e & := -P_ u \cdot \vN _ u = P_{uu} \cdot \vN \\ 2f & := - P_ u \cdot \vN _ v - P_ v \cdot \vN _ u = 2 P_{uv} \cdot \vN \\ g & := -P_ v \cdot \vN _ v = P_{vv} \cdot \vN \, . \end{aligned}\right. \end{equation}

Nella definizione dei tre coefficienti $e,f,g$, le uguaglianze a destra seguono derivando in $u,v$ le due identità

\[ \begin{aligned} P_ u \cdot \vN & = 0 & \implies & \dfrac {\partial }{\partial u}( P_ u ) \cdot \vN + P_ u \cdot \dfrac {\partial }{\partial u} (\vN ) = 0,\quad \dfrac {\partial }{\partial v}( P_ u ) \cdot \vN + P_ u \cdot \dfrac {\partial }{\partial v} (\vN ) = 0\, ; \\ P_ v \cdot \vN & = 0 & \implies & \dfrac {\partial }{\partial v}( P_ v ) \cdot \vN + P_ v \cdot \dfrac {\partial }{\partial v} (\vN ) = 0,\quad \dfrac {\partial }{\partial u}( P_ v ) \cdot \vN + P_ v \cdot \dfrac {\partial }{\partial u} (\vN ) = 0\, . \end{aligned} \]

Dalle equazioni precedenti segue anche che

(5)\begin{equation} P_ u \cdot \vN _ v = - P_{uv} \cdot \vN = -P_{vu} \cdot \vN = P_ v \cdot \vN _ u = - f \end{equation}

Se fosse tutto vero, dovrebbe essere che quindi la curvatura normale si esprime come rapporto di due forme (cioè funzioni bilineari nei vettori tangenti), e quindi dipende dal solo vettore tangente di $\gamma $, e non da altri aspetti della curva $\gamma $.

Occorre quindi calcolare un po’ meglio $\kappa _ n$ (indicando $u’=\dfrac {du}{ds}$ e $v’=\dfrac {dv}{ds}$ e definendo $e,f,g$ come sopra):

\[ \begin{aligned} \kappa _ n & = \dfrac {dP}{ds} \cdot \dfrac {d\vN }{ds} \\ & = \left( P_ u u’ + P_ v v’ \right) \cdot \left( \vN _ u u’ + \vN _ v v’ \right) \\ & = (P_ u\cdot \vN _ u) (u’)^2 + (P_ u \cdot \vN _ v + P_ v \cdot \vN _ u) (u’v’) + (P_ v \cdot \vN _ v)(v’)^2 \\ & = e (u’)^2 + 2f (u’v’) + g (v’)^2 \end{aligned} \]

Equivalentemente, ripartiamo dalla (2) (gli apici sono derivate in $ds$)

\[ \begin{aligned} \dfrac {d^2P}{ds^2} & = \dfrac {d}{ds} \left( P_ u u’ + P_ v v’ \right) \\ & = (P_{uu} u’ + P_{uv} v’)u’ + P_ u u” + (P_{vv} v’ + P_{vu} u’)v’ + P_ v v” \\ & = P_{uu} u’ u’ + (P_{uv} + P_{vu}) u’ v’ + P_{vv} v’ v’ + P_ u u” + P_ v v” \\ \implies \boldsymbol {\kappa }\cdot \vN & = (P_{uu} \cdot \vN ) u’ u’ + 2(P_{uv} \cdot \vN ) u’ v’ + (P_{vv}\cdot \vN ) v’ v’ + (P_ u\cdot \vN )u’ +(P_ v\cdot \vN )v’ \, \\ & = e\, u’ u’ + 2f\, u’ v’ + g\, v’ v’ \\ & = \begin{bmatrix} u’ & v’ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e & f \\ f & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u’ \\ v’ \end{bmatrix}\end{aligned} \]

dove $e,f,g$ sono definiti nella (4). Segue che la curvatura normale $\kappa _ n$ è funzione del solo vettore tangente (con parametrizzazione naturale). Osserviamo poi che dato che la parametrizzazione è naturale si ottiene, ponendo ${\vu }’ = (u’,v’)$

\[ \mathbf{I}({\vu }’,{\vu }’) = P’ \cdot P’ = 1\, . \]

Se la parametrizzazione non è quella naturale, si avrà quindi per definizione

\[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 = \mathbf{I}(\dot{\vu }, \dot{\vu }) \]

e quindi, dato che ${\vu }’ = \dfrac {\dot{\vu }}{\left\Vert \dot P\right\Vert }$

\[ \begin{aligned} \kappa _ n & = {e\, u’ u’ + 2f\, u’ v’ + g\, v’ v’ } \\ & = \dfrac {e\, \dot u \dot u + 2f\, \dot u \dot v + g\, \dot v \dot v }{\left\Vert \dot P\right\Vert ^2} \\ & = \dfrac {e\, \dot u^2 + 2f\, \dot u \dot v + g\, \dot v^2 }{ E \dot u^2 + 2F \dot u \dot v + G \dot v^2} \\ \end{aligned} \]

che è la versione un po’ più rigorosa della (3).

QED

(5.2) Nota. La curvatura normale in un punto di una superficie è quindi una funzione del vettore tangente $\vv = \dot P$, e non dipende da $\left\Vert \vv \right\Vert $ ma dalla sola giacitura di $\vv $; tutte le curve che condividono la direzione (giacitura) di $\vv $ hanno quindi la medesima curvatura normale. Tra queste, scegliamo quella che si ottiene intersecando il piano che contiene la normale alla superficie1 nel punto e il vettore tangente $\vv $: è una curva piana, il cui vettore curvatura sarà ortogonale a $\vv $ e quindi parallelo al versore $\vN $ normale alla superficie: la sua curvatura sarà la curvatura normale di tutte le curve con tangente parallela a $\vv $.


Footnotes

  1. Dimostrare che questa è una curva non è difficile, se la curva è parametrizzata. Infatti, se $P(u,v)$ è una parametrizzazione in un intorno di un punto $P(0,0)$, allora nelle coordinate $(u,v)$ l’intersezione tra il piano e la superficie si scrive come una equazione $(P(u,v)-P(0,0)) \cdot \vv =0$ dove $\vv $ è il vettore normale al piano, che è equivalente ad una equazione del tipo $\alpha x(u,v) + \beta y(u,v) + \gamma z(u,v) +\delta = 0$ per certi coefficienti $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $ reali. Quindi per il Teorema della Funzione Implicita (in $u,v$)...