4. Lunghezza d’arco e area

Calcoliamo la lunghezza di una curva $P(u(t),v(t))$ definita su una superficie con parametrizzazione regolare $P\from U \to \EE ^ n$, con $t\in [a, b]$. Se poniamo come sopra ${\vu }(t) = (u(t),v(t))\in U$, la lunghezza è \[ \text {lunghezza} = \int _ a^ b \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert \, dt = \int _ a^ b \left\Vert u’ P_ u + v’ P_ v\right\Vert \, dt = \int _ a^ b \sqrt { \mathbf{I}({\vu }’,{\vu }’) } \, dt = \int _ a^ b \sqrt {E({\vu }(t))(u’(t))^2+ 2F({\vu }(t)) u’(t)v’(t) + G({\vu }(t)) (v’(t))^2 } \, dt\, . \]

(1)\begin{equation} \implies \text {lunghezza} = \int _ a^ b \sqrt {E(u’)^2+ 2F u’v’ + G(v’)^2 } \, dt \, . \end{equation}

I coefficienti $E=E({\vu }),F=F({\vu }),G=G({\vu })$ dipendono ovviamente da ${\vu }$ e quindi da $t$.

È quindi possibile calcolare la lunghezza della curva in modo intrinseco, cioè utilizzando esclusivamente la parametrizzazione ${\vu }(t) = (u(t), v(t))$ e i coefficienti $E,F,G$ (funzioni di ${\vu }\in U$). Anche nel seguito, ogni quantità o attributo che dipende soltanto dai $g_{ij}$ (e le loro derivate, come funzioni dei parametri) sarà detta intrinseca.

(4.1) Nota. Supponiamo che degli esseri bidimensionali1 vivano su una superficie $S\subset \RR ^ n$, senza aver alcuna nozione dello spazio ambiente $\RR ^ n$. Questi esseri si potranno muovere nell due dimensioni di $S$, e avranno a disposizione delle coordinate locali (non uniche!) $(u,v)$, con parametrizzazione $P(u,v) \in S$. Potranno misurare (con una certa approssimazione) le lunghezze delle curve in $S$. Se $A=P(u_0,v_0)\in S$ è un punto fissato, allora la lunghezza della curva $\gamma _\epsilon (t) = P(u_0+t,v_0)$, definita per $t[0,\epsilon ]$ con $\epsilon > 0$ abbastanza piccolo, è uguale a

\[ L(\gamma _\epsilon ) = \int _0^\epsilon \sqrt { E(u_0+t,v_0) } \, dt, \]

e quindi al limite del rapporto incrementale per $\epsilon \to 0$ ottengono il valore

\[ \left.\dfrac {dL}{d\epsilon }\right\rvert _{\epsilon =0} = E(u_0,v_0). \]

Analogamente, calcolando la lunghezza della curva $\hat\gamma _\epsilon (t) = P(u_0,v_0+t)$ per $\epsilon $ abbastanza piccolo ottengono il valore di $G(u_0,v_0)$. Il valore $F_(u_0,v_0)$ può essere calcolato considerando il limite delle lunghezze della curva $P(u_0+t,v_0+t)$,

\[ \begin{aligned} \varphi (\epsilon ) & = \int _0^\epsilon \sqrt { E(u_0+t,v_0+t) + 2F(u_0+t,v_0+t) + G(u_0+t,v_0+t) } \, dt \\ \implies \varphi ’(0) & = \sqrt { E(u_0,v_0) + 2F(u_0,v_0) + G(u_0,v_0) } \\ \implies 2F(u_0,v_0) & = \varphi ’(0)^2 - E(u_0,v_0) - G(u_0,v_0). \end{aligned} \]

Quindi gli omini che vivono nella superficie possono calcolare i coefficienti della prima forma fondamentale, dal momento che sono in grado di misurare le lunghezze delle curve nel loro mondo piatto. Questo è il motivo per cui le grandezze che dipendono solamente dai coefficienti della prima forma fondamentale e dalle loro derivate vengono dette intrinseche.

La prima forma fondamentale consente (a patto che $U$ sia sufficientemente piccolo) di definire una metrica su $U$ (equivalentemente, sulla traccia della parametrizzazione $M\subset \EE ^ n$), che non è la restrizione della metrica di $\EE ^ n$ ma è quella dei cammini più brevi. Cioè, se ${\vu }$ e $\hat{\vu }$ sono due punti in $U$, allora poniamo

\[ d({\vu },\hat{\vu }) = \inf _{\gamma } \left[ \mathrm{lunghezza}(\gamma )\right], \]

dove $\gamma $ varia tra tutte le curve lisce regolari in $U$ che partono da ${\vu }$ e arrivano a $\hat{\vu }$, e la lunghezza della curva è definita come in (1). Per esercizio si provi a dimostrare che questa funzione è ben definita ed effettivamente è una metrica su $U$ (se $U$ è abbastanza piccolo)2.

(4.2) Siano $S\subset \RR ^ n$ e $\hat S \subset \RR ^{\hat n}$ due superfici. Una funzione $f\from S \to \hat S$ è una isometria locale (cioè induce isometrie in opportuni intorni di ogni punto) se e solo se conserva la prima forma fondamentale.

Dim. ??? Cosa vuol dire conservare la prima forma fondamentale ???
QED

Dopo aver brevemente affrontato l’argomento delle lunghezze, passiamo ad affrontare ancor più brevemente l’argomento delle aree.

(4.3) In $\RR ^3$ vale l’uguaglianza \[ \det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} = \left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert ^2\, . \]

Dim. Si ha, ricordando che $\vN $ è il versore ortogonale a $P_ u$ e $P_ v$ \[ \vN = \dfrac {P_ u \times P_ v}{\left\Vert P_ u\times P_ v\right\Vert  }, \] che \[ \det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} P_ u \cdot P_ u & P_ u \cdot P_ v \\ P_ v \cdot P_ u & P_ v \cdot P_ v \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} P_ u \cdot P_ u & P_ u \cdot P_ v & 0 \\ P_ v \cdot P_ u & P_ v \cdot P_ v & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \det \left( \begin{bmatrix} P_ u & P_ v & \vN \end{bmatrix}^ t \quad \begin{bmatrix} P_ u & P_ v & \vN \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} P_ u & P_ v & \vN \end{bmatrix}^ t \right) \det \left( \quad \begin{bmatrix} P_ u & P_ v & \vN \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} P_ u & P_ v & \vN \end{bmatrix} \right)^2 = \left( P_ u \times P_ v \cdot \vN \right)^2 = \left( P_ u \times P_ v \cdot \left( \dfrac {P_ u \times P_ v}{\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert } \right) \right)^2 = \left( \dfrac {\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert ^2}{\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert } \right)^2 = \left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert ^2\, . \]
QED
Deduciamo per prima cosa che $EG-F^2 > 0$ (ma lo si poteva dedurre dal fatto che il prodotto scalare è definito positivo e non degenere). Inoltre la radice quadrata $\sqrt {EG-F^2}$ del determinante di $\mathbf{I}_ P$ non è altro che l’area del parallelogramma formato dai due vettori tangenti $P_ u$ e $P_ v$, visto che $\sqrt {EG-F^2}=\left\Vert P_ u\times P_ v\right\Vert $, e che quest’ultimo è il volume di un parallelepipedo che ha per base $P_ u$ e $P_ v$ e per altezza $\vN $ (che ha lunghezza $1$). Sragionando con gli infinitesimi $du$ e $dv$ possiamo più o meno giustificare la formula per l’area di un pezzo di superficie $M$ parametrizzata da $P\from U \to \EE ^3$ (o meglio, definire l’area in questo modo): (2)\begin{equation} \text {area} = \int _ U \left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert \, du\, dv = \int _ U \sqrt {EG-F^2}\, du \, dv\, . \end{equation}

Come abbiamo visto nell’esempio (1.6), per la parametrizzazione standard della porzione di grafico di una funzione $f$ si ha

\[ P_ u \times P_ v = -f_ u \vi - f_ v \vj + \vk \]

e quindi l’area è l’integrale

\[ \int _ D \sqrt { f_ u^2 + f_ v^2 + 1}\, du\, dv = \int _ D \sqrt { \left\Vert \nabla f\right\Vert ^2 + 1 }\, du \, dv \, , \]

dove ricordiamo che $\nabla f = \begin{bmatrix} f_ u \\ f_ v \end{bmatrix}$ è il vettore gradiente della funzione $f$, che è il “trasposto” della forma differenziale $df$ (cosa vuol dire?).

(4.4) Nota. La vera definizione di lunghezza di una curva e di area di una superficie però è sensibilmente diversa da questa (controllare su un libro serio di analisi).

(4.5) Nota. Se $f\from U\subset \RR ^2 \to \RR $ è una funzione liscia, allora il differenziale $df$ di $f$ è definito come

(3)\begin{equation} df = \dfrac {\partial f}{\partial u} \, du + \dfrac {\partial f}{\partial v} \, dv, \end{equation}

e per ogni ${\vu }\in U$ fissato è un operatore lineare $\RR ^2 \to \RR $ (definito sui vettori tangenti di $T_{{\vu }} U$, cioè $\RR ^2$). Ma cosa sono $du$ e $dv$? Visto che $u$ e $v$ sono anch’esse funzioni $U\to \RR $, sostituendo nella (3) otteniamo $du = du$ e $dv = dv$, e quindi la notazione è consistente ma occorre definire i valori di $du$ e $dv$ sui vettori di $T_{{\vu }} U$. Se indichiamo con $\dfrac {\partial }{\partial u}$ e $\dfrac {\partial }{\partial v}$ (è vero, stiamo usando questi simboli sia per denotare le derivate parziali che per denotare i vettori tangenti a $U$ nel punto ${\vu }$: si dovrebbe capire dal contesto quale significato ha il simbolo) i due vettori $\ve _1$, $\ve _2$ della base canonica di $T_{{\vu }}\RR ^2$, possiamo porre semplicemente (per ogni ${\vu }$)

\[ \begin{aligned} du \left( \alpha \dfrac {\partial }{\partial u} + \beta \dfrac {\partial }{\partial v} \right) & = \alpha \\ dv \left( \alpha \dfrac {\partial }{\partial u} + \beta \dfrac {\partial }{\partial v} \right) & = \beta \, , \end{aligned} \]

cioè

\[ \begin{aligned} du \dfrac {\partial }{\partial u} & = 1, & & du \dfrac {\partial }{\partial v} & = 0 \\ dv \dfrac {\partial }{\partial u} & = 0, & & dv \dfrac {\partial }{\partial v} & = 1\, . \end{aligned} \]

Abbiamo quindi definito il differenziale (ma dipende dal sistema di coordinate? Si svolga l’esercizio 2.6 a pag. *). Talvolta viene identificato con il vettore gradiente. Un’altra definizione è però la seguente: il vettore gradiente di $f$ è quel vettore $\nabla {f}$ tale che per ogni vettore $\vv \in T_{{\vu }} U$

\[ \nabla {f} \cdot \vv = df (\vv ), \]

cioè, nel nostro contesto, il trasposto del vettore riga $df$. Vettori covarianti e controvarianti?

(4.6) Nota. Nella nota (4.5) abbiamo dato un senso alla notazione $du$, $dv$ (differenziali, forme differenziali di primo grado). Usando più o meno la stessa notazione, è possibile quindi definire la prima forma fondamentale come

(4)\begin{equation} \mathrm{I} = ds ^2 = E\, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2, \end{equation}

a patto di capire cosa sono i prodotti delle forme lineari $du$ e $dv$. L’idea è la seguente: le forme di secondo grado (valutate in un punto ${\vu }\in U$) sono forme bilineari su $V = T_{{\vu }} U$, quindi sono funzioni del tipo $b\from V\times V \to \RR $, denotate con $b({\vu },\vv )$. Il modo più semplice è rappresentarle in forma matriciale, nella base $\dfrac {\partial }{\partial u}$, $\dfrac {\partial }{\partial v}$:

\[ \begin{aligned} du^2 & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\\ 2 du\, dv & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\\ dv^2 & = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{aligned} \]

In questo modo anche l’equazione (4) ha un senso preciso.

(4.7) Nota. Sia $P=P(u,v) \from \Omega \subset \RR ^2 \to S$ una parametrizzazione di un pezzo di una superficie $S$ di $\RR ^ n$, con coordinate locali $u,v$. La prima forma fondamentale (4), scritta nelle coordinate $u,v$, è uguale a $E\, du^2 + 2F du\, dv + G\, dv^2$, dove $E,F,G$ sono funzioni scalari di $(u,v)$. Supponiamo di avere un’altra carta locale, $\hat P \from \hat\Omega \subset \RR ^2 \to S$, con coordinate locali che indichiamo con $\hat u$, $\hat v$. La prima forma fondamentale si scrive ancora come $\hat E\, d\hat u^2 + 2\hat F d\hat u\, d\hat v + \hat G\, d\hat v^2$, per certe funzioni $\hat E$, $\hat F$ e $\hat G$, funzioni scalari di $(\hat u, \hat v)$.

La prima forma fondamentale è, intrinsecamente, una forma bilineare definita positiva e non degenere definita sui piani tangenti $T_ xS$. Perciò essa non dipende né dalla scelta di una base sul piano $T_ xS$, né dalla scelta delle coordinate locali. I suoi coefficienti invece dipendono dalla scelta delle coordinate locali, e di conseguenza anche dai vettori della base di $T_ xS$ (che sono le derivate parziali $P_ u$ e $P_ v$). Restringendo in modo oppurtuno le carte $P$ e $\hat P$ indicate sopra, possiamo supporre che esista un diffeomorfismo $F\from \Omega \to \hat\Omega $, tale che $(\hat u, \hat v) = F(u,v)$.

Come sono le componenti $E,F,G$ e $\hat E,\hat F, \hat G$? C’entra qualcosa il differenziale di $F$ (o la matrice Jacobiana)?


Footnotes

  1. Il primo a immaginare tali esseri fu E.A. Abbott (1838–1926), nella sua novella satirica “Flatland: A Romance of Many Dimensions” (1884). In “The planiverse: Computer contact with a two-dimensional world” (1984, seconda edizione riveduta nel 2000 per Springer), A.K. Dewdney ha provato a immaginare per intero le leggi fisiche e la tecnologia del mondo bidimensionale. Si veda il capitolo 1 “The wonders of a planiverse” del libro “The last recreations” di Martin Gardner (1997, Springer), oppure l’articolo di Dewdney “The Planiverse Project: Then and Now”, The Mathematical Intelligencer n. 22, 2000.
  2. Si provi per un tempo ragionevole a dimostrare l’esistenza di curve di lunghezza minima: in realtà è un problema molto difficile, che non è sensato cercare di risolvere con metodi elementari…