3. Prima forma fondamentale

Sia $P\from U \subset \RR ^2 \to M\subset \EE ^ n$ una parametrizzazione regolare di un pezzo di superficie $M\subset S$. Sia $A=P(u_0,v_0)\in M$ un punto. Allora sul piano tangente $T_ AM\subset \RR ^ n$ è definito il prodotto scalare di $\EE ^ n$, per restrizione. Questa è una forma bilineare, chiamata prima forma fondamentale, e indicata con

\[ \mathbf{I}_ A(\vv ,\vw ) = \mathbf{I}(\vv ,\vw ) = \vv \cdot \vw , \quad \forall \vv , \vw \in T_ AM. \]

Fino a qui non abbiamo usato la parametrizzazione, ma solo lo spazio tangente. Consideriamo il fatto che lo spazio tangente è generato dalle derivate parziali $P_ u$ e $P_ v$ (che costituiscono una base): allora in questa base la prima forma fondamentale si scrive come

\[ \left\{ \begin{aligned} \vv & = v_1 P_ u + v_2 P_ v \\ \vw & = w_1 P_ u + w_2 P_ v \end{aligned}\right. \]\[ \begin{aligned} \implies \mathbf{I}(\vv ,\vw ) & = \mathbf{I}( v_1 P_ u + v_2 P_ v , w_1 P_ u + w_2 P_ v ) \\ & = \mathbf{I}( v_1 P_ u , w_1 P_ u ) + \mathbf{I}( v_1 P_ u , w_2 P_ v ) + \mathbf{I}( v_2 P_ v , w_1 P_ u ) + \mathbf{I}( v_2 P_ v , w_2 P_ v ) \\ & = E v_1 w_1 + F (v_1w_2+w_1v_2) + v_2 w_2 G \\ & = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}\, , \end{aligned} \]

dove si è posto

\[ \begin{aligned} E& = P_ u \cdot P_ u \\ F & = P_ u \cdot P_ v \\ G & = P_ v \cdot P_ v\, . \end{aligned} \]

Naturale che i coefficienti $E,F,G$ dipendano dalla parametrizzazione scelta, mentre la forma in sé no (dato che lo spazio tangente non dipende dalla parametrizzazione). I coefficienti $E,F,G$ sono anche indicati con i simboli $g_{ij}$, con $i,j=1,2$:

\[ \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\, . \]

La norma di un vettore si può scrivere quindi come

\[ \left\Vert \vv \right\Vert ^2 = \left\Vert v_1 P_ u + v_2 P_ v\right\Vert ^2 = E v_1^2 + 2F v_1v_2 + G v_2^2. \]

Più propriamente, dovremmo considerare la prima forma fondamentale come sì definita su $T_ AM$, ma nelle coordinate ottenute scegliendo la base. Quindi, dovrebbe essere

\[ \mathbf{I}({\vu }_1,{\vu }_2)\quad {\vu }_ i \in \RR ^2 \, . \]

Useremo entrambe le notazioni, e dovremo capire dal contesto se l’argomento è un vettore di $T_ AM$ o se l’argomento sono le sue coordinate nella base canonica di $T_ AU$.

(3.1) Esempio. La prima forma fondamentale per la sfera, come nell’esempio (1.10) di *

\[ \begin{cases} x & = r \cos \varphi \cos \lambda \\ y & = r \cos \varphi \sin \lambda \\ z & = r \sin \varphi \, , \end{cases} \]

si calcola da

\[ P_\varphi = r \begin{bmatrix} -\sin \varphi \cos \lambda \\ -\sin \varphi \sin \lambda \\ \cos \varphi \end{bmatrix}, \quad P_\lambda = r \begin{bmatrix} -\cos \varphi \sin \lambda \\ \cos \varphi \cos \lambda \\ 0 \end{bmatrix}\, \]\[ \implies \left\{ \begin{aligned} E & = P_\varphi \cdot P_\varphi = r^2 \\ F & = P_\varphi \cdot P_\lambda = 0 \\ G & = P_\lambda \cdot P_\lambda = r^2 \cos ^2\varphi \end{aligned}\right.\, , \]

e quindi in notazione differenziale

\[ ds^2 = r^2(d\varphi ^2 + \cos ^2\varphi \, d\lambda ^2)\, . \]