2. Superfici

(Cfr.)1

Richiamiamo alcuni concetti per funzioni di due variabili $(u,v)\in \RR ^2$: una funzione $f=f(u,v)$ con $f \from U \subset \RR ^2 \to \RR ^ n$, dove $U\subset \RR ^2$ è un aperto, e $n\geq 1$, è di classe $C^ k$ se $f$ è continua e ha derivate parziali $\dfrac {\partial f}{\partial u}$, $\dfrac {\partial f}{\partial v}$, …, $\dfrac {\partial ^ kf}{\partial ^ iu \partial ^ jv}$ continue per ogni $i,j\geq 0$ con $0\leq i+j \leq k$. Supporremo in genere le nostre funzioni di classe $C^\infty $, cioè $C^ k$ per ogni $k$. Ricordiamo che se $f\from U\subset \RR ^2 \to \RR $ è una funzione di classe $C^2$, allora vale il seguente Teorema: $\dfrac {\partial ^2f}{\partial u \partial v} = \dfrac {\partial ^2f}{\partial u \partial v} $. Lo stesso vale per funzioni a valori in $\RR ^ n$ (dato che la proprietà vale per ogni componente della funzione).

Se $f(u,v)$ è una funzione (scalare o vettoriale), useremo anche la notazione

\[ f_ u = \dfrac {\partial f}{\partial u}, \quad f_ v = \dfrac {\partial f}{\partial v}\, . \]


Footnotes

  1. Cfr: M. Abate, F. Tovena Curve e Superfici, Springer 2006.