Esercizi: foglio 1

(1.1) [*] La catenaria è la curva che ha la forma di una catena appesa ai suoi estremi. Alcune considerazioni fisiche mostrano che se $y=y(x)$ è il grafico della curva catenaria, allora esiste $c\in \RR \smallsetminus 0$ tale che

\[ y” = \frac{1}{c} \sqrt { 1 + (y’)^2 }\, . \]

Dedurre che la catenaria ha parametrizzazione $P(t) = (t,c \cosh (t/c) )$ per $c\in \RR $, $c\neq 0$ costante.

(1.2) [*] Un cane è legato ad un guinzaglio lungo $1$, tenuto dal suo patrone $P(t)$. Al tempo $t=0$, il padrone $P(0)$ è nell’origine, mentre il cane è in $(0,1)$, dove sta dissotterrando un osso nascosto. Il padrone $P(t)$ inizia a muoversi lungo l’asse $x$ a velocità $1$, e tira il cane per il guinzaglio. Il cane cerca di tornare a $(0,1)$, per dissotterrare l’osso, ed in ogni momento tiene il guinzaglio teso in modo da indicare la direzione passante per $(0,1)$. La traiettoria del cane si dice trattrice. Mostrare che le seguenti due parametrizzazioni sono entrambe trattrici:

\[ P(\theta ) = (\cos \theta + \ln \tan \frac{\theta }{2} , \sin \theta ), \quad \theta \in [\frac{\pi }{2}, \pi ) \]\[ P(t) = (t - \tanh t, \frac{1}{\cosh t}),\quad t\geq 0\, , \]

dove (richiamiamo) le funzioni iperboliche $\tanh t = \frac{e^ t-e^{-t}}{e^ t+e^{-t}}$ e $\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^ t+e^{-t}}$.

(1.3) Mostrare che la circonferenza che passa per i tre punti $A=O$ (l’origine), $B=(a,b)$ e $C=(c,d)$ non allineati ha centro nel punto $Q$ di coordinate $(x,y)$ date da

\[ Q = \left( 1/2\, {\frac{{a}^{2}d+d{b}^{2}-{c}^{2}b-{d}^{2}b}{ad-cb}}, -1/2\, {\frac{-a{c}^{2}+c{a}^{2}+c{b}^{2}-a{d}^{2}}{ad -cb} } \right) \, . \]

È possibile usare questa formula per determinare se esiste il limite come nella definizione di cerchio osculatore ad una curva per $A$? (Suggerimento: si scriva $P(t)$ come polinomio di Taylor. Allora ponendo $B=P(t)$ e $C=P(s)$ si ottiene che \[ d\left\Vert B\right\Vert ^2 - b \left\Vert C\right\Vert ^2 = \alpha (st^2 - ts^2 ) + \ldots \] dove “$\ldots $” sono termini di grado maggiore di $3$ e $\alpha $ è una costante. Analogamente, visto che $\left\lvert ad-cb\right\rvert = \left\Vert B\times C\right\Vert = \left\lvert \det (B,C)\right\rvert $, \[ ad-bc = \beta (st^2 - ts^2) +\ldots \text {termini di grado maggiore} \] con $\beta \neq 0$ quando …)

(1.4) Mostrare che l’equazione del piano osculatore ad una curva $P(t)$ in $\EE ^3$ è la seguente (se $(x_1,x_2,x_3)$ sono le coordinate di $\EE ^3$)

\[ \det \begin{bmatrix} x_1 - P_1 & x_2 - P_2 & x_3 - P_3 \\ \dot x_1 & \dot x_2 & \dot x_3 \\ \ddot x_1 & \ddot x_2 & \ddot x_3 \end{bmatrix} = 0\, . \]


(1.5) Dimostrare che la distanza tra il piano che passa per i tre punti $A,B,C$ di $\RR ^3$ e un punto $P$ è uguale a

\[ \left\lvert \det ( \overrightarrow {AP} , \overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} )\right\rvert /\left\Vert \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \right\Vert . \]


(1.6) Dimostrare che per ogni $\va $, $\vb $, e $\vc $ in $\RR ^3$ si ha

\[ \va \times (\vb \times \vc ) = (\va \cdot \vc )\vb - (\va \cdot \vb )\vc . \]


(1.7) Dimostrare le seguenti identità vettoriali.

  1. $(\va \times \vb )\times (\vc \times \vd ) = (\va \times \vb \cdot \vd )\vc - (\va \times \vb \cdot \vc )\vd $;

  2. $\va \times (\vb \times \vc ) + \vb \times (\vc \times \va ) + \vc \times (\va \times \vb )= \boldsymbol {0}$;

  3. $\va \times (\vb \times \vc ) = (\va \times \vb )\times \vc $ se e solo se $\vb \times (\vc \times \va )=\boldsymbol {0}$.


(1.8) (Identità di Lagrange). Mostrare che vale la seguente identità.

\[ \tag {(*)}\begin{aligned} (\va \times \vb )\cdot (\vc \times \vd ) & = (\vb \cdot \vd )(\va \cdot \vc ) -(\vb \cdot \vc )(\va \cdot \vd ) \\ & = \det \begin{bmatrix} \va \cdot \vc & \vb \cdot \vc \\ \va \cdot \vd & \vb \cdot \vd \end{bmatrix}\end{aligned} \]


(1.9) Dimostrare il lemma (8.2): due curve ottenute l’una dall’altra con una isometria di $\EE ^3$ hanno curvatora e torsione uguali.

(1.10) Una cicloide nel piano è la curva tracciata da un punto su una circonferenza di raggio $a > 0$ che ruota senza strisciare su una retta (che supponiamo sia l’asse $x$). Mostrare che una parametrizzazione è

\[ P(t) = a(t-\sin t, 1-\cos t)\, . \]

Calcolarne la curvatura.

(1.11) Mostrare che la curva $P(t) = (\cos ^2 t-\frac{1}{2}, \sin t \cos t, \sin t )$ è una parametrizzazione dell’intersezione del cilindro circolare di raggio $\frac{1}{2}$ con ass l’asse $z$ con la sfera di raggio $1$ e centro in $(-\frac{1}{2},0,0)$ (curva di Viviani).

(1.12) Trovare una parametrizzazione per la seguente curva (folium di Cartesio):

\[ x^3 + y^3 = 3xy\, . \]


(1.13) Sia $C$ la circonferenza di raggio $a > 0$ con centro in $(0,a)$. La retta per l’origine $O$ e per un punto $P=(P_1,P_2)$ della circonferenza interseca la retta di equazione $y=2a$ in un unico punto $Q=(Q_1,Q_2)$. Sia $X$ il punto di coordinate $X=(Q_1,P_2)$. La traccia di $X$ sul piano, quando $P$ si muove sulla circonferenza, è una curva detta la versiera di Agnesi. Si determini una sua parametrizzazione (e una sua equazione cartesiana, se possibile).

(1.14) Determinare una parametrizzazione per l’epicicloide e l’ipocicloide, che sono le curve tracciate da un punto su una circonferenza che ruota senza strisciare su un cerchio, da fuori e da dentro rispettivamente.

(1.15) (spirale logaritmica) Della curva $ P(t) = (e^ t \cos t, e^ t \sin t) $ calcolare l’angolo tra il versore tangente $\vt $ e il vettore posizione $\overrightarrow {OP}$.

(1.16) Siano $A$ e $B$ due punti in $\EE ^2$. Mostrare che il segmento di retta con estremi $A$ e $B$ è la curva regolare più breve tra tutte quelle con estremi $A$ e $B$. (suggerimento: usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

(1.17) Calcolare curvatura, torsione ed equazione del piano osculatore delle curve seguenti (cercare di tracciarne un grafico ???) :

  1. (circonferenza) $P=(R\cos ( t), R\sin (t) )$, con $R > 0$.

  2. (elica circolare) $P=(a\cos t, a \sin t, b t)$, con $a,b > 0$.

  3. (intersezione del cilindro di equazione $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ con la sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2$)

    \[ P(t) = \left( a (1+\cos t), a \sin t, 2a \sin \frac{t}{2} \right) \, . \]
  4. $P(t) = ( t^2 - 1, t(t^2-1))$ .

  5. $P(t) = (t^2,t^3)$ .

  6. $P(t) = ( t, t^2, t^3) $ .

  7. $P(t) = (t, \dfrac {1+t}{t}, \dfrac {1-t^2}{t} )$ .

  8. $P(t) = (t , f(t), g(t) )$ .

  9. $P(t) = ( a( t-\sin t), a(1-\cos t), b t )$ .

  10. $P(t) = ( a(3u-t^3), 3at^2, a(3t+t^3)$ ($\kappa ^2 =\tau ^2$) .


(1.18) Mostrare che la curva piana $P(t) = (t, t \sin \frac{1}{t})$, definita sull’intervallo $(0,1)$, ha lunghezza non finita. Si estende con continuità all’intervallo $[0,1]$?

(1.19) Si progetti un veicolo con ruote quadrate, che mantenga il centro di massa alla stessa altezza, sfruttando un opportuno profilo di binari posti sulla strada.

img #1


(1.20) Si scriva lo sviluppo di Taylor di $P(s)$ in funzione del parametro naturale, nella base di Frenet $\vt ,\vn ,\vb $, mostrando che

\[ P(s) = \left(s - \dfrac {\kappa (0)^2}{6} s^3 + \ldots \right)\vt (0) + \left(\dfrac {\kappa (0)}{2} s^2 + \dfrac {\kappa ’(0)}{6} s^3 + \ldots \right) \vn (0) + \left( \dfrac {\kappa (0)\tau (0)}{6} s^3 +\ldots \right) \vb (0)\, . \]

Si deduca che le equazioni delle proiezioni della curva sui tre piani coordinati sono approssimate dalle

\[ \begin{aligned} y& =\dfrac {\kappa }{2} x^2 & & \text {(sul \emph{piano osculatore} $\vt ,\vn $)} \\ z & = \dfrac {\kappa \tau }{6} x^3 & & \text {(sul piano $\vt ,\vb $, detto \emph{piano rettificante})}\\ z^2 & = \dfrac {2}{9} \tau ^2 R y^3 & & \text {(sul piano $\vn ,\vb $, detto \emph{piano normale})} \end{aligned} \]


(1.21) Mostrare che se tutti i piani osculatori di una curva passano per uno stesso punto oppure hanno la stessa giacitura, allora la curva è piana.

(1.22) Mostrare che il luogo di tutti i centri dei cerchi osculatori di una curva biregolare è una curva.

(1.23) Supponiamo che $P(s)$ sia una curva in $\EE ^3$ tale che in un intorno di $0\in \RR $ si ha $\left\Vert P(s)-O\right\Vert \leq R $, con $R=\left\Vert P(0)-O\right\Vert $. Mostrare che il raggio di curvatura di $P(s)$ in $0$ è al massimo $R$. (Sia $\varphi (s) = \left\Vert P(s)\right\Vert ^2$; allora $\varphi (0)=R^2$, $\implies \varphi (s) \leq R^2$, $\varphi ”(s) = \ldots $)

(1.24) Si consideri la curva parametrica $\gamma $ in $\EE ^3$ definita da

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) & = \cosh t \cos t \\ y(t) & = 2 \cosh t \sin t \\ z(t) & = \sinh t. \end{aligned} \right. \]
  1. Riconoscere che $\gamma $ giace su una quadrica $S$ di $\EE ^3$ e determinare la equazione di $S$.

  2. Determinare il piano osculatore di $\gamma $ in un punto qualsiasi su $\gamma $.

  3. Calcolare la curvatura e la torsione di $\gamma $ per $t=0$.


(1.25) Sia $P(t)$ la curva1 in $\EE ^3$ parametrizzata da

\[ P(t) = ( \cos ^2 t - \frac{1}{2}, \sin t \cos t, \sin t). \]

Determinare i punti singolari di $\gamma $, la curvatura e la torsione come funzioni di $t$. Mostrare che la curva è contenuta in una sfera $S$ e in un cilindro $C$ circolare retto con asse l’asse $z$ (e quindi è contenuta nell’intersezione della sfera e del cilindro). Calcolare quindi prima e seconda forma fondamentale di $C$ e $S$.


Footnotes

  1. Curva di Viviani (1692), da Vincenzo Viviani (1622–1703).