8. Formule di Frenet (Frenet-Serret)

(8.1) Proposizione. \[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac {d\vt }{ds} & = \kappa \vn \\ \dfrac {d\vn }{ds} & = -\kappa \vt + \tau \vb \\ \dfrac {d\vb }{ds} & = -\tau \vn \end{aligned}\right. \iff \dfrac {d}{ds} \begin{bmatrix} \vt \\ \vn \\ \vb \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vt \\ \vn \\ \vb \end{bmatrix} \]

Dim. Sappiamo che per definizione $\vt ’ = \dfrac {d\vt }{ds} = \kappa \vn $, $\vb ’ = \dfrac {d\vb }{ds} = -\tau \vn $. Non rimane che calcolare $\dfrac {d\vn }{ds}$: \[ \dfrac {d}{ds} \left( \vn \right) = \dfrac {d}{ds} \left( \vb \times \vt \right) = \vb ’ \times \vt + \vb \times \vt ’ = -\tau \vn \times \vt + \kappa \vb \times \vn = -\kappa \vt + \tau \vb \, . \]
QED

Osserviamo ora che

(8.2) Due curve ottenute l’una dall’altra con una isometria di $\EE ^3$ hanno curvatora e torsione uguali.

Dim. Esercizio 1.9 a pagina *.
QED

Vale anche il viceversa, che è chiamato il Teorema Fondamentale della Teoria Locale delle Curve:

(8.3) Teorema. Date due funzioni $\kappa (s) > 0$ e $\tau (s)$ definite su un intervallo di $\RR $, con $\kappa $ e $\tau $ continue e di classe $\mathcal{C}^{k+1}$ e $\mathcal{C}^ k$ rispettivamente, allora esiste una unica (a meno di movimenti rigidi, cioè a meno di isometrie di $\EE ^3$) curva $P(s)$ di classe $\mathcal{C}^{k+3}$ biregolare parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco, con curvatura $\kappa $ e torsione $\tau $.

Quali sono le ipotesi precisamente? Le regolarità $k$, $k+1$ e $k+3$?

Dim. [Non-Dimostrazione] Se $X$ è la matrice con $\vt $, $\vn $ e $\vb $ come colonne $X=(\vt ,\vn ,\vb )$, allora si ha per le formule di Frenet \[ \dfrac {dX}{ds} = \begin{bmatrix} \vt ’ & \vn ’ & \vb ’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vt & \vn & \vb \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & - \kappa & 0 \\ \kappa & 0 & - \tau \\ 0 & \tau & 0 \end{bmatrix}, \] cioè (1)\begin{equation} \dfrac {dX}{ds} = X(s) A(s) \end{equation} con $A$ matrice antisimmetrica data (con coefficienti continui). La (1) è una equazione differenziale. Il problema quindi è: esistono le soluzioni di una equazione differenziale di questo tipo? Se esistono, quante sono? Lasciamo quindi la dimostrazione per il momento in sospeso. Osserviamo per prima cosa che se $X(s)$ è una soluzione di (1) e $L$ è una matrice ortogonale, allora $LX(s)$ è anch’essa una soluzione, e $LX(s)$ è il triedro di Frenet di un’altra curva. Osserviamo anche che se abbiamo il riferimento $X(s)$, possiamo ricostruire la curva integrando: \[ P(s) = Q + \int _0^ s \vt (\tau ) d\tau \, , \] scegliendo arbitrariamente $Q$. Quindi .... esistenza .... unicità....

QED

Dim. [Dimostrazione del teorema (8.3)] Il Teorema di Esistenza e Unicità locale per equazioni differenziali dice che : se $\Omega \subset \RR \times \RR ^ n$ è un aperto, e $F=F(t,\vx ) \from \Omega \to \RR ^ n$ è una funzione continua e di classe $C^1$ in $\vx $ per ogni $t$, allora per ogni $(t_0,\vx _0)\in \Omega $ esiste una soluzione locale $\vx (t)$ al problema ai valori iniziali

\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac {d\vx }{dt} & = F(t,\vx ) \\ \vx (t_0) & = \vx _0 \end{aligned} \right. \]

e questa soluzione è unica.

Il Teorema di Esistenza e Unicità Globale per equazioni lineari ha ipotesi più forti. Indichiamo con $\operatorname {Mat}(n\times n; \RR )$ lo spazio di tutte le matrici $n\times n$ a coefficienti in $\RR $, con la metrica euclidea. Sia $I\subset \RR $ un intervallo (aperto). Se $A(t)\from I \to \operatorname {Mat}(n\times n; \RR )$ è una funzione continua (in $t$), e $\b(t) \from I \to \RR ^ n$ una funzione continua, allora il problema di Cauchy

\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac {d\vx }{dt} & = A(t) \vx + \vb (t) \\ \vx (t_0) & = \vx _0 \end{aligned} \right. \]

ha una e una sola soluzione di classe $\mathcal{C}^{1}$ definita sull’intervallo $I$. Quindi se i coefficienti $A(t)$ e $\vb (t)$ sono di classe $\mathcal{C}^ k$, la soluzione (unica) ha regolarità $\mathcal{C}^{k+1}$.

Nel nostro caso osserviamo che la matrice $X(s) = [\vt ,\vn ,\vb ]$ può essere pensata come un vettore $\vx \in \RR ^9$, e quindi le formule di Frenet si possono riscrivere come equazione differenziale lineare in $\vx \in \RR ^9$

\[ \left\{ \begin{aligned} \dfrac {d\vt _1}{ds} & = & & & +\kappa \vn _1 \\ \dfrac {d\vt _2}{ds} & = & & & & +\kappa \vn _2 \\ \dfrac {d\vt _3}{ds} & = & & & & & +\kappa \vn _3 \\ \dfrac {d\vn _1}{ds} & = -\kappa \vt _1 & & & & & & + \tau \vb _1 \\ \dfrac {d\vn _2}{ds} & = & -\kappa \vt _2 & & & & & & + \tau \vb _2 \\ \dfrac {d\vn _3}{ds} & = & & -\kappa \vt _3 & & & & & & + \tau \vb _3 \\ \dfrac {d\vb _1}{ds} & = & & & - \tau \vn _1 \\ \dfrac {d\vb _2}{ds} & = & & & & - \tau \vn _2 \\ \dfrac {d\vb _3}{ds} & = & & & & & - \tau \vn _3 \\ \end{aligned} \right. \]

e quindi come

\[ \dfrac {d\vx }{ds}(s) = \tilde A(s) \vx (s) \]

con $\tilde A(s)$ uguale alla matrice antisimmetrica

\[ \tilde A(s) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & +\kappa & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & +\kappa & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & +\kappa & 0 & 0 & 0 \\ -\kappa & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & + \tau & 0 & 0 \\ 0 & -\kappa & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & + \tau & 0 \\ 0 & 0 & -\kappa & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & + \tau \\ 0 & 0 & 0 & - \tau & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \tau & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \tau & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}~ . \]

Quindi è possibile usare il Teorema di Esistenza e Unicità (locale e globale) per equazioni differenziali lineari.

Ora, il problema è che $X(s) \in SO(3)$, mentre $\vx \in \RR ^9$ a priori potrebbe non corrispondere ad una matrice ortogonale speciale. Il fatto fondamentale è che se il dato iniziale $\vx _0$ del problema di Cauchy corrisponde ad una matrice in $SO(3)$, allora sarà lo stesso per ogni $x(s)$ della soluzione (che esiste ed è unica). Infatti, consideriamo la funzione $\varphi (s) = X \, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X$. Per l’equazione differenziale (1) vista sopra e la formula di derivazione di prodotti, si ha

\[ \dfrac {d\varphi }{ds} = \dfrac {d{X}}{ds} \, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X + X \dfrac {d\, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X}{ds} = XA \, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X + X \, {\vphantom {\! (X A)}}^\mathrm {t}\! (X A) = X A \, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X + X \, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A \, {\vphantom {\! X}}^\mathrm {t}\! X = 0 \]

dato che $\, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A = A$ ($A$ è antisimmetrica). Quindi $\varphi (s)$ è costante. Ora, se $X(0)$ è una matrice in $SO(3)$, allora $\varphi (0) = I_3$, e quindi per ogni $s$ si ha che la matrice della soluzione $X(s) \in O(3)$. Dato che il determinante è una funzione continua e, si ha che $\det (X(s)) \in \{ -1,1\} $, dovrà anch’essa essere una funzione costante di $s$, e quindi se il dato iniziale è in $SO(3)$ anche $X(s)\in SO(3)$ per ogni $s$.

Ora, consideriamo per $Q\in \RR ^3$ l’integrale $P(s) = \int _0^ s \vt (\sigma ) d\sigma $. Dato che $\dfrac {dP}{ds} = \vt $, e $\vt ^2=1$, certamente il parametro $s$ è la lunghezza d’arco per $P(s)$. Derivando due volte si ha che per le formule di Frenet (che devono essere soddisfatte)

\[ \dfrac {d^2P}{ds^2} = \dfrac {d\vt }{ds} = \kappa \vn , \]

cioè la curvatura della $P(s)$ è proprio la funzione $\kappa (s)$ assegnata. Analogamente, il vettore binormale di $P(s)$ soddisfa l’equazione $\dfrac {d\vb }{ds} = -\tau \vn $, e quindi la torsione della curva $P(s)$ è la funzione $\tau (s)$ assegnata.

QED

Per l’unicità della soluzione del problema di Cauchy si ha immediatamente il seguente Corollario.

(8.4) Corollario. Se $P(s)$ è una curva biregolare in $\EE ^3$ con curvatura costante e torsione nulla, allora è un arco di circonferenza.

(8.5) Esempio. [Curve a curvatura e torsione costanti] Sia $P(s)$ una curva con curvatura $\kappa $ e torsione $\tau $ costanti (non nulle). Osserviamo che se $\lambda > 0$ è una costante, allora la curvatura e torsione della curva $\lambda P(s)$ (che è omotetica a $P(s)$) sono uguali a $\kappa /\lambda $ e $\tau /\lambda $ rispettivamente. Quindi a meno di omotetie (riscalamenti) possiamo sempre supporre che $\kappa ^2 + \lambda ^2 = 1$.

La matrice dei coefficienti $A(s)$ è costante, ed una soluzione del problema di Cauchy (1) con dato iniziale $I_3$ è la funzione esponenziale

\[ e^{tA} = \sum _{n\geq 0} \dfrac {t^ nA^ n}{n!}. \]

Osserviamo che la matrice $A$ ha polinomio caratteristico

\[ \det (A-\lambda I_3) = \det \begin{bmatrix} -\lambda & -\kappa & 0 \\ \kappa & -\lambda & -\tau \\ 0 & \tau & -\lambda \end{bmatrix} = -\lambda (\lambda ^2 +\kappa ^2 + \tau ^2) = -\lambda (\lambda ^2+1). \]

Un autovettore corrispondente all’autovalore $0$ è $\vv = (\tau ,0,\kappa )$, che ha norma $1$. Nello spazio ortogonale a $\vv $ la matrice $A$ è una rotazione di $\pi /2$ (corrispondente al fattore $\lambda ^2+1$). Inoltre $\vv $, $\vj =(0,1,0)$ e $\vv \times \vj = (-\kappa ,0,\tau )$ costituiscono una base ortonormale di $\RR ^3$. Cerchiamo di diagonalizzare $A$: sia $S$ la matrice

\[ S = \begin{bmatrix} \tau & 0 & -\kappa \\ 0 & 1 & 0 \\ \kappa & 0 & \tau \end{bmatrix}~ . \]

Allora $S^{-1} = \, {\vphantom {\! S}}^\mathrm {t}\! S$ e

\[ S^{-1} A S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = B~ . \]

Ora, sostituendo $A=SBS^{-1}$ nello sviluppo in serie otteniamo

\[ \begin{aligned} e^{tA} & = \sum _{n=0}^\infty \dfrac {t^ n A^ n}{n!} = \sum _{n=0}^\infty S \dfrac {t^ n B^ n}{n!} S^{-1} \\ & = S\left( \sum _{n=0}^\infty \dfrac { t^ n B^ n}{n!} \right) S^{-1} = S e^{tB} S^{-1}~ . \end{aligned} \]

Osserviamo ora che $B^ n$ può assumere solo quattro valori, per $n > 0$:

\[ B^1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B^2= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad B^3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}~ . \]

Più precisamente:

\[ B^ n = \begin{cases} I_3 & \text {se $n=0$} \\ B^1 & \text { se $n=1 \mod 4$} \\ B^2 & \text { se $n=2 \mod 4$} \\ B^3=-B^1 & \text { se $n=3 \mod 4$} \\ B^4=-B^2 & \text { se $n=0 \mod 4$ e $n > 0$.} \end{cases} \]

Quindi si avrà $B^{2k+1} = (-1)^ k B^1$ per $k\geq 0$ e $B^{2k} = (-1)^ k B^4$ per $k > 0$ e

\[ \begin{aligned} e^{tB} = \sum _{n=0}^\infty \dfrac {t^ nB^ n}{n!} & = B^0 + \sum _{{n=1,\ n=2k+1}}^\infty \dfrac { t^ n B^ n}{n!} + \sum _{{n=2,\ n=2k}}^\infty \dfrac {t^ nB^ n}{n!} \\ & = I_3 + \sum _{k=0}^\infty \dfrac {t^{2k+1} B^{2k+1} }{(2k+1)!} + \sum _{k=1}^\infty \dfrac {t^{2k} B^{2k}}{(2k)!} \\ & = I_3 + \sum _{k=0}^\infty \dfrac {(-1)^ k t^{2k+1}}{(2k+1)!} B^1 + \sum _{k=1}^\infty \dfrac {(-1)^ k t^{2k}}{(2k)!} B^4 \\ & = I_3 + B^1 \sin t + B^4 (\cos t - 1) \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sin t \\ 0 & \sin t & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t-1 & 0 \\ 0 & 0 & \cos t -1 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{bmatrix}\end{aligned} \]

dato che $\cos t = \sum _{h=0}^\infty (-1)^ h \frac{t^{2h}}{(2h)!} $ e che $\sin t = \sum _{h=0}^\infty (-1)^ h \frac{t^{2h+1}}{(2h+1)!}$.

Possiamo quindi scrivere finalmente

\[ \begin{aligned} e^{tA} = S e^{tB} S^{-1} = \begin{bmatrix} \tau & 0 & -\kappa \\ 0 & 1 & 0 \\ \kappa & 0 & \tau \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \tau & 0 & \kappa \\ 0 & 1 & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \end{bmatrix} ~ .\\ \end{aligned} \]

In realtà ci conviene mantenere il sistema di riferimento di $S$: se $X=(\vt ,\vn ,\vb )$ è il triedro per la curva $P(t)$, si ha che $QX = (Q\vt , Q\vn , Q\vb )$ è il triedro per la curva (isometrica) $QP(t)$, per ogni $Q\in SO(3)$. Il versore tangente per la curva $P$ è uguale a

\[ \vt = X \vi , \]

dove $\vi =(1,0,0)$ (vettore colonna), e quindi il versore tangente per la curva $QP$ è

\[ Q \vt = Q X \vi = Q S e^{tB} S^{-1} \vi . \]

Se poniamo $Q=S^{-1}=\, {\vphantom {\! S}}^\mathrm {t}\! S$, si ottiene

\[ \begin{aligned} Q\vt = e^{tB} \, {\vphantom {\! S}}^\mathrm {t}\! S \vi & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \tau & 0 & \kappa \\ 0 & 1 & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \tau \\ 0 \\ -\kappa \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tau \\ \kappa \sin t \\ -\kappa \cos t \end{bmatrix}\end{aligned} \]

Integrando (con una traslazione in $s$), otteniamo l’espressione analitica di una curva biregolare con curvatura $\kappa $ e torsione $\tau $:

\[ \tilde P(s) = \begin{bmatrix} \tau s \\ \kappa \cos s \\ \kappa \sin s \end{bmatrix} \]

Per ottenere una curva con curvatura $\kappa $ e torsione $\tau $ non necessariamente con $\kappa ^2+\tau ^2=1$, basta porre

\[ \bar\kappa = \dfrac {\kappa }{\sqrt {\kappa ^2+\tau ^2}}, \quad \bar\tau = \dfrac {\tau }{\sqrt {\kappa ^2+\tau ^2}}: \]

la curva di componenti

\[ ( \bar\tau s, \bar\kappa \cos s, \bar\kappa \sin s) \]

ha curvatura $\bar\kappa $ e torsione $\bar\tau $. La curva riscalata

\[ (\lambda \bar\tau s, \lambda \bar\kappa \cos s, \lambda \bar\kappa \sin s) \]

ha curvatura $\bar\kappa /\lambda $ e torsiona $\bar\tau /\lambda $. Ponendo $\lambda = (\kappa ^2+\tau ^2)^{-1/2}$, si ha la curva cercata:

\[ P(s) = \left( \frac{\tau }{\kappa ^2+\tau ^2} s , \frac{\kappa }{\kappa ^2+\tau ^2} \cos s , \frac{\kappa }{\kappa ^2+\tau ^2} \sin s \right) \]


(8.6) Esempio. [Elica] Un modo diverso per risolvere il problema precedente è il seguente: consideriamo $a > 0$ e $b\in \RR $. La curva

\[ P(s) = ( a \cos t, a \sin t , b t ) \]

è biregolare e ha curvatura e torsione uguali a (esercizio)

\[ \kappa = \dfrac {a}{a^2+b^2},\quad \tau = \dfrac {b}{a^2+b^2}. \]

Questo sistema si può risolvere in $a$ e $b$, e per il teorema fondamentale dimostrato sopra esistono soltanto queste curve con curvatura e torsione costanti.

(8.7) Nota. Le formule di Frenet-Serret si possono generalizzare anche in dimensione $n$, con le formule di Frenet-Serret-Jordan. In $\EE ^ n$ ci sono $n-1$ funzioni (chiamate curvature generalizzate) $\chi _1$, …, $\chi _{n-1}$ tali che un opportuno riferimento ortonormale $\{ \ve _1,\ldots , \ve _ n\} $ (ottenuto mediante ortogonalizzazione di Gram-Schmidt dei vettori derivate $P’$, $P”$, …) che si muove lungo la curva soddisfa l’equazione

\[ \begin{bmatrix} \ve ’_1 \\ \ve ’_2 \\ \vdots \\ \ve ’_ n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \chi _1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\chi _1 & 0 & \chi _2 & \cdots & 0 \\ 0 & - \chi _2 & 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \chi _{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & -\chi _{n-1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ve _1 \\ \ve _2 \\ \vdots \\ \ve _ n \end{bmatrix} \]