7. Torsione

Ora consideriamo il triedro di Frenet muoversi in funzione del parametro naturale $s$ sulla curva $P(s)$. Derivando le (1) rispetto a $s$ otteniamo:

\[ \begin{aligned} \dfrac {d\vt }{ds} \cdot \vt & = \dfrac {d\vn }{ds} \cdot \vn = \dfrac {d\vb }{ds} \cdot \vb = 0 \\ \dfrac {d\vt }{ds} \cdot \vn + \vt \cdot \dfrac {d\vn }{ds} & = \dfrac {d\vt }{ds} \cdot \vb + \vt \cdot \dfrac {d\vb }{ds} = \dfrac {d\vn }{ds} \cdot \vb + \vn \cdot \dfrac {d\vb }{ds} = 0\, . \end{aligned} \]

Sostituendo $\kappa \vn = \dfrac {d\vt }{ds}$ nelle equazioni in cui compare con $\vb $, otteniamo (dato che $\vn \cdot \vb = 0$)

\[ \begin{aligned} \kappa \vn \cdot \vb + \vt \cdot \dfrac {d\vb }{ds} & = 0 \implies \vt \cdot \dfrac {d\vb }{ds} & = 0 \\ \end{aligned} \]

Ma anche $\dfrac {d\vb }{ds}$ e $\vb $ sono ortogonali, per quanto visto poco sopra, e dunque esiste $\tau \in \RR $ tale che

(1)\begin{equation} \dfrac {d\vb }{ds} = - \tau \vn \, . \end{equation}

(7.1) Definizione. La torsione di una curva biregolare $P(s)$ è il valore $\tau $ della formula (1). Se $P(t)$ è una curva di classe $C^ k$ (con $k\geq 3$) biregolare, allora la torsione è una funzione di classe $C^{k-3}$ in $s$.

(7.2) Se $P(s)$ è una curva biregolare parametrizzata rispetto ad un parametro naturale $s$, allora la torsione $\tau $ si esprime con la formula \[ \tau = \dfrac { P’ \times P” \cdot P”’}{\kappa ^2}\, . \] Rispetto ad un parametro arbitrario $t$ la torsione è uguale a \[ \tau = \dfrac { \dot P \times \ddot P \cdot \dddot P}{\left\Vert \dot P \times \ddot P\right\Vert ^2} \, . \]

Dim. Per definizione si ha che

\[ \begin{aligned} \dfrac {d\vb }{ds} & = - \tau \vn \implies \tau =- \dfrac {d\vb }{ds} \cdot \vn \\ \tau & = - \vn \cdot \dfrac {d}{ds} \left( \vt \times \vn \right) \\ & = -\vn \cdot \left[ \dfrac {d\vt }{ds} \times \vn + \vt \times \dfrac {d\vn }{ds} \right] \\ & = - \vn \cdot \vt \times \dfrac {d\vn }{ds}\, , \end{aligned} \]

e quindi, visto anche che $P”=\dfrac {d^2P}{ds^2}=\boldsymbol {\kappa }$ e $\left\Vert P”\right\Vert = \kappa $,

\[ \begin{aligned} \vn & = \dfrac {\boldsymbol {\kappa }}{\kappa } = \dfrac {P”}{\left\Vert P”\right\Vert }, \\ \implies \tau & = - \dfrac {P”}{\left\Vert P”\right\Vert } \cdot P’ \times \dfrac {d}{ds}\left[ \dfrac {P”}{\left\Vert P”\right\Vert } \right] \\ & = -\dfrac {P”}{\left\Vert P”\right\Vert } \cdot P’ \times \dfrac {P”’ \left\Vert P”\right\Vert - P” \dfrac {d\left\Vert P”\right\Vert }{ds} }{\left\Vert P”\right\Vert ^2} \\ & = - \dfrac {P” \cdot P’ \times P”’}{\left\Vert P”\right\Vert ^2} = \dfrac {P’\times P” \cdot P”’}{\kappa ^2} \, . \end{aligned} \]

Ora, rispetto ad un parametro qualsiasi $t$ si ha per (3)

\[ P” = \boldsymbol {\kappa }= {\left[ \ddot P - \dfrac {\dot P \cdot \ddot P}{ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 } \dot P \right]} { \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-2}} = \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 \ddot P - (\dot P \cdot \ddot P )\dot P \right] \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-4} \, , \]

mentre per (2)

\[ \kappa ^2 = \dfrac { \left\Vert \dot P\times \ddot P\right\Vert ^2} {\left\Vert \dot P\right\Vert ^6 } \, . \]

Derivando in $\dfrac {d}{ds}$ l’espressione di $\boldsymbol {\kappa }$ e cambiando la derivata in $dt$ si ottiene

\[ P”’ = \dfrac {d}{ds} \boldsymbol {\kappa }= \dfrac {dt}{ds} \dfrac {d\boldsymbol {\kappa }}{dt} = \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-1} \dfrac {d\boldsymbol {\kappa }}{dt} \]

dove

\[ \begin{aligned} \dfrac {d\boldsymbol {\kappa }}{dt} & = \dfrac {d}{dt} \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 \ddot P - (\dot P \cdot \ddot P )\dot P \right] \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-4} + \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 \ddot P - (\dot P \cdot \ddot P )\dot P \right] \dfrac {d}{dt} \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-4} \right] \\ & = \left[ (2 \dot P \cdot \ddot P) \ddot P + \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 \dddot P - (\left\Vert \ddot P\right\Vert ^2 + \dot P \cdot \dddot P) \dot P - (\dot P \cdot \ddot P) \ddot P \right] \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-4} + \\ & + \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^2 \ddot P - (\dot P \cdot \ddot P )\dot P \right] \left( -4 \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-6} (\dot P \cdot \ddot P) \right) \end{aligned} \]

Quindi (tenuto conto che nell’espressione per $P”’$ non contano i coefficienti di $P’$ e $P”$,

\[ \begin{aligned} P’\times P” \cdot P”’ & = \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-1} \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-1} \dot P \right] \times \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-2} \ddot P \right] \cdot \left[ \left\Vert \dot P\right\Vert ^{-2} \dddot P \right] \\ & = \dfrac {\dot P \times \ddot P \cdot \dddot P}{\left\Vert \dot P\right\Vert ^6 }\, , \end{aligned} \]

da cui possiamo dedurre relativamente facilmente che

\[ \begin{aligned} \tau & = \dfrac {P’ \times P” \cdot P”’}{\kappa ^2} = \dfrac { \dfrac {\dot P \times \ddot P \cdot \dddot P}{\left\Vert \dot P\right\Vert ^6 } }{ \dfrac { \left\Vert \dot P\times \ddot P\right\Vert ^2} {\left\Vert \dot P\right\Vert ^6 } } \\ & = \dfrac {\dot P \times \ddot P \cdot \dddot P }{\left\Vert \dot P\times \ddot P\right\Vert ^2 } \, . \end{aligned} \]
QED

(7.3) Esempio. Circonferenza, ellisse, elica cilindrica (circolare), curve piane ...

In particolare, sia $P(t) = (t,t^3)$. Allora

\[ \begin{aligned} P’ & = (1,3t^2) \implies \left\Vert P’\right\Vert ^2 = 1 + 9 t^4 \\ P” & = (0,6t), \end{aligned} \]

dove $\dfrac {dP}{dt} = P’$ e $\dfrac {d^2P}{dt^2} = P”$. Allora per la (2) si ha

\[ \kappa = \dfrac {\left\Vert P’ \times P”\right\Vert }{\left\Vert P’\right\Vert ^3} = \dfrac { 6 \left\lvert t\right\rvert }{(1+9t^2)^{3/2}}, \]

dal momento che

\[ P’ \times P” = \det \begin{bmatrix} \vi & \vj & \vk \\ 1 & 3t^2 & 0 \\ 0 & 6t & 0 \end{bmatrix} = 6 t \vk . \implies \left\Vert P’\times P”\right\Vert = 6 \left\lvert t\right\rvert . \]

Osserviamo che la curvatura si annulla per $t=0$, e che il vettore curvatura cambia di “verso” nel passare da $t$ negativo a $t$ positivo (si tratta di un flesso). Osserviamo infine che in un certo senso la torsione è definita ovunque (è zero!), anche quando la curvatura è nulla (per $t=0$), nonostante non sia definio il vettore normale per $t=0$ (per come lo abbiamo definito). Si potrebbe estendere la definizione in modo che questi casi non siano esclusi, semplicemente scegliendo un analogo $\hat\vn $ tale che $\vt $ e $\hat\vn $ siano un riferimento con la stessa orientazione di $\vi $ e $\vj $.

(7.4) Proposizione. Una curva biregolare1 $P(t)$ in $\EE ^3$ è piana (cioè è contenuta in un piano) se e soltanto se la sua torsione $\tau $ è identicamente nulla.

Dim. Se la curva è piana, allora sia $P’$ che $P”$ sono vettori della giacitura del piano, e dunque il vettore binormale $\vb $ è costante: segue che la sua derivata è nulla, e quindi che $\tau =0$.

Viceversa, se per ogni $s$ si ha $\tau (s)=0$, allora, (considerando la derivata rispetto a $s$) si ha che $\vb (s)$ è costante. Sia $\vb _0 = \vb (0)$ il versore costante. Consideriamo ora il punto $A=P(0)$. La funzione

\[ f(P) = (P-A) \cdot \vb _0 = P \cdot \vb _0 - A \cdot \vb _0 \]

è lineare affine in $P$, e quindi di classe $C^ k$ in $s$, se $P(s)$ è $C^ k$. Deriviamo rispetto a $s$:

\[ \dfrac {d}{ds} \left( (P(s)-A) \cdot \vb _0 \right) = P’(s) \cdot \vb _0 = \vt (s) \cdot \vb _0 = \vt (s) \cdot \vb (s) = 0\, . \]

Quindi $f(P(s))$ è costante, e visto che $f(P(0)) = 0$ si ha che per ogni $s$ vale l’equazione $(P(s)-A)\cdot \vb _0 \equiv 0$, cioè la curva è contenuta nel piano di equazione $f(P)=0$.

QED


Footnotes

  1. Di classe $C^ k$, con $k\geq 2$.