6. Triedro fondamentale (riferimento di Frenet)

(6.1) Definizione. [binormale $\vb $] Sia $P(t)$ una curva biregolare di classe $C^ k$ in $\RR ^3$. Il versore binormale $\vb $ è il prodotto vettoriale del versore tangente e del versore normale principale

\[ \vb = \vt \times \vn . \]

La funzione $\vb (t)$ è di classe $C^{k-2}$. La terna $\{ \vt ,\vn ,\vb \} $ è detta triedro fondamentale oppure riferimento di Frenet associato alla curva.

I tre vettori $\vt $, $\vn $ e $\vb $ costituiscono un sistema ortonormale:

(1)\begin{equation} \begin{aligned} \left\Vert \vt \right\Vert ^2 & = \left\Vert \vn \right\Vert ^2 = \left\Vert \vb \right\Vert ^2 = 1 \\ \vt \cdot \vn & = \vt \cdot \vb = \vn \cdot \vb = 0 \\ \end{aligned}\end{equation}

Vedremo poi come varia il sistema di riferimento di Frenet con $s$.

(6.2) La binormale di una curva $P(t)$ biregolare in $\RR ^3$ si ottiene dalla formula \[ \vb = \dfrac {P’(t) \times P”(t)}{\left\Vert P’(t)\times P”(t)\right\Vert } \, . \] La curvatura si calcola con la formula (2)\begin{equation} \kappa = \dfrac { \left\Vert P’\times P”\right\Vert } {\left\Vert P’\right\Vert ^3 } \, . \end{equation}

Dim. Sappiamo che $\vt $ e $\vn $ sono uguali a (derivando rispetto a $t$ non necessariamente naturale – cfr. (3)) \[ \begin{aligned} \vt & = \dfrac { P’ }{ \left\Vert P’ \right\Vert } \\ \vn & = \dfrac {\boldsymbol {\kappa }}{\left\Vert \boldsymbol {\kappa }\right\Vert  } = \dfrac {1}{\kappa } {\left[ P” - \dfrac {P’ \cdot P”}{ \left\Vert P’\right\Vert ^2 } P’ \right] } \left\Vert P’\right\Vert ^{-2} \end{aligned} \] per cui \[ \begin{aligned} \kappa \vb & = \kappa \vt \times \vn = \dfrac { P’ }{ \left\Vert P’ \right\Vert } \times {\left[ P” - \dfrac {P’ \cdot P”}{ \left\Vert P’\right\Vert ^2 } P’ \right] } \left\Vert P’\right\Vert ^{-2} \\ & = \dfrac {P’ \times P”}{\left\Vert P’\right\Vert ^3}. \end{aligned} \] Quindi \[ \vb = \dfrac {P’\times P”}{\kappa \left\Vert P’\right\Vert ^3 }\, \] e dato che $\vb = 1$ (per l’identità di Lagrange), si ha la tesi. La equazione (2) segue anche dall’identità di Lagrange applicata alla (3.14).
QED