5. Il prodotto vettoriale

Siano $\va ,\vb \in \RR ^ n$ due vettori.

\[ \begin{aligned} \left\Vert \va \right\Vert ^2 \left\Vert \vb \right\Vert ^2 - (\va \cdot \vb )^2 & = \left( \sum _{i=1}^ n a_ i^2 \right) \left( \sum _{j=1}^ n b_ j^2 \right) - \left( \sum _{i=1}^ n a_ i b_ i \right)^2 \\ & = \left( \sum _{i=1}^ n a_ i^2 \right) \left( \sum _{j=1}^ n b_ j^2 \right) - \left( \sum _{i=1}^ n a_ i b_ i \right) \left( \sum _{j=1}^ n a_ j b_ j \right) \\ & = \sum _{i,j=1}^ n a_ i^2 b_ j^2 - \sum _{i,j=1}^ n a_ ib_ ia_ jb_ j \\ & = \sum _{i=j} a_ i^2 b_ j^2 - \sum _{i=j} a_ ib_ ia_ jb_ j + \sum _{i\neq j } a_ i^2 b_ j^2 - \sum _{i\neq j } a_ ib_ ia_ jb_ j \\ & = \sum _{i\neq j } a_ i^2 b_ j^2 - \sum _{i\neq j } a_ ib_ ia_ jb_ j \\ & = \sum _{i < j} \left( a_ i^2 b_ j^2 + a_ j^2 b_ i^2 \right) - \sum _{i < j} \left(a_ ib_ i a_ j b_ j + a_ j b_ j a_ i b_ i \right) \\ & = \sum _{i < j} \left( a_ i^2 b_ j^2 + a_ j^2 b_ i^2 - 2a_ ib_ ja_ jb_ i \right) \\ & = \sum _{i < j} \left( a_ i b_ j- a_ j b_ i \right)^2 \geq 0 \, . \end{aligned} \]

Abbiamo quindi dimostrato la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

(1)\begin{equation} \left\Vert \va \right\Vert ^2 \left\Vert \vb \right\Vert ^2 - (\va \cdot \vb )^2 = \sum _{i < j} \left( a_ i b_ j- a_ j b_ i \right)^2 \geq 0 \end{equation}

Inoltre la somma trovata è nulla se e soltanto se i due vettori $\va $ e $\vb $ sono linearmente dipendenti, dato che $\va $ e $\vb $ sono linearmente dipendenti se e soltanto se per ogni $i < j$ i determinanti

\[ a_ ib_ j - a_ j b_ i = \det \begin{bmatrix} a_ i & b_ i \\ a_ j & b_ j \end{bmatrix} \]

sono nulli.

Vogliamo definire un prodotto $\RR ^3 \times \RR ^3 \to \RR ^3$, indicato con $\va \times \vb $ che soddisfi le seguenti proprietà.

Non è difficile mostrare che  5.+5.+5. sono equivalenti a  5.+5.+5..

Se $\vi $,$\vj $ e $\vk $ indicano i tre vettori della base canonica di $\RR ^3$, le permutazioni che danno luogo a terne destrorse sono

\[ (\vi ,\vj ,\vk ), (\vj ,\vk ,\vi ), (\vk ,\vi ,\vj ), \]

e quindi aggiungiamo l’assioma

da cui seguono naturalmente le identità $\vj \times \vi = - \vi \times \vj = - \vk $, $\vk \times \vj = - \vj \times \vk = - \vi $, $\vi \times \vk = - \vk \times \vi = - \vj $.

(5.1) Siano $\va =(a_1,a_2,a_3)$ e $\vb =(b_1,b_2,b_3)$ due vettori. Allora vale la formula \[ \va \times \vb = \det \begin{bmatrix} \vi & \vj & \vk \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} \vi & a_1 & b_1 \\ \vj & a_2 & b_2 \\ \vk & a_3 & b_3 \end{bmatrix}. \]

Dim. \[ \begin{aligned} \va \times \vb & = \va \times (b_1\vi + b_2 \vj + b_3 \vk ) \\ & = b_1 \va \times \vi + b_2 \va \times \vj + b_3\va \times \vk \\ & = b_1 ( a_1\vi + a_2 \vj + a_3 \vk ) \times \vi + b_2 ( a_1\vi + a_2 \vj + a_3 \vk ) \times \vj + b_3 ( a_1\vi + a_2 \vj + a_3 \vk ) \times \vk \\ & = b_1 a_2 \vj \times \vi + b_1a_3 \vk \times \vi + b_2a_1 \vi \times \vj + b_2a_3 \vk \times \vj + b_3a_1 \vi \times \vk + b_3a_2 \vj \times \vk \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 ) \vj \times \vk + (a_3b_1 -a_1b_3) \vk \times \vi + (a_1b_2 -a_2b_1 )\vi \times \vj \\ & = \vi \det \left(\begin{bmatrix} a_2 \\ a_3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\right) - \vj \det \left(\begin{bmatrix} a_1 \\ a_3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} b_1 \\ b_3 \end{bmatrix}\right) + \vk \det \left(\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\right). \end{aligned} \]
QED

(5.2) Proposizione. Siano $\va $, $\vb $ e $\vc $ vettori qualsiasi di dimensione $3$.

  1. (prodotto misto/triplo) $(\va \times \vb ) \cdot \vc = \det (\va ,\vb ,\vc )$.

  2. $(\va \times \vb ) \cdot \vc = (\vb \times \vc ) \cdot \va = (\vc \times \va ) \cdot \vb $.

  3. $\va \times \vb $ è ortogonale a $\va $ e a $\vb $.

  4. (identità di Lagrange) $\left\Vert \va \times \vb \right\Vert ^2 = \left\Vert \va \right\Vert ^2 \left\Vert \vb \right\Vert ^2 - ( \va \cdot \vb )^2$.


Dim. La prima segue facilmente da (5.1), o dalle proprietà caratterizzanti il determinante (cioè l’unicità di una funzione multilineare alternante tale che ... ? ). La seconda segue dalle proprietà del determinante e dalla prima, e la terza dal fatto che il determinante di una matrice con due colonne uguali è zero. Anche l’identità di Lagrange segue da (1) e dall’espressione (5.1).
QED