1. Il “concetto” di curva

Cominciamo dalle curve meno curve: le rette. Ma già si complica un po’: possono essere in $\AA ^2(\KK )$ (piano affine su campo $\KK $), nel piano euclideo $\EE ^2$ (che di qui in avanti potremo anche decidere di indicare con $\RR ^2$, come gli analisti), o anche in $\PP ^2(\KK )$ (retta proiettiva nel piano proiettivo). Inoltre possono essere definite sia come sottoinsiemi formati da tutti i punti del piano che soddisfano una proprietà (cioè una equazione, o una condizione geometria – come per esempio essere il luogo di punti equidistanti da due punti distinti), ma anche nella forma parametrica.

Cioè, una retta in $\EE ^2$ ha equazione parametrica

\[ P = A + t\vv \iff \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix} \iff \left\{ \begin{aligned} x & = a + t v \\ y & = b + t w \, . \end{aligned} \right. \]

Ma anche come luogo di punti:

\[ \left\{ P \in \EE ^2 : P - A \in \langle \vv \rangle \right\} = \left\{ P \in \EE ^2 : L(P - A) = \boldsymbol {0}\right\} \]

per una opportuna funzione lineare $L\from \RR ^2 \to \RR $, che possiamo rappresentare con un vettore riga $[\alpha ,\beta ]$, che ha per nucleo $\langle \vv \rangle $. In altre parole l’equazione cartesiana della retta si ricostruisce ponendo $\alpha = w$, $\beta = -v$, cioè

\[ \begin{aligned} L(P-A) & = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-a \\ y-b \end{bmatrix} = \alpha (x-a) + \beta (y-b) = 0 \\ & \iff \alpha x + \beta y - a\alpha - b \beta = 0 \iff \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \end{aligned} \]

con $\gamma = -a\alpha - b \beta $.

In generale, una curva può essere vista dal punto di vista “dinamico” o “cinematico” come un punto che si muove nel piano in funzione di un parametro $t$ (inteso come parametro “tempo”)

\[ P(t) . \]

Altrimenti, l’interpretazione “statica” o “geometrica” è quella di luogo di punti, di sottoinsieme del piano, come nel caso di un’equazione, o di una generica proprietà (esempio: l’insieme di tutti i punti che distano una quantità fissata da un punto fissato, detto centro), come per esempio

\[ F(x,y)=0 \]

per una certa funzione $F\from \RR ^2 \to \RR $.

Il grafico di una funzione $f\from \RR \to \RR $ è un po’ una via di mezzo tra una curva parametrica e un luogo di punti:

\[ \Gamma (f) = \{ (x,y) \in \RR ^2 : y=f(x) \} = \{ (t,f(t)) \in \RR ^2: x\in \RR \} . \]

L’equazione cartesiana sarebbe $y=f(x)$, mentre quella parametrica

\[ \left\{ \begin{aligned} x & = t \\ y & = f(t) . \end{aligned}\right. \]

Nel corso vedremo alcuni tipi di curve: piane, nello spazio, differenziali, algebriche, continue.

Richiamiamo ora i concetti di:

  1. componenti $x(t),y(t)$ di una curva parametrica $P(t) = (x(t),y(t))$ .

  2. funzione $f\from I \to \RR $ di classe $C^ k$ ($I$ intervallo aperto di $\RR $): se le derivate di $f$ fino all’ordine $k$ esistono e sono continue.

  3. funzione $C^\infty $: se è $C^ k$ per ogni $k$.

  4. diffeomorfismo $h \from I \to J$ di classe $C^ k$ con $k\geq 1$, dove $I\subset \RR \supset J$ per $I,J$ intervalli aperti, è una funzione biunivoca di classe $C^ k$ con inversa $C^ k$.

(1.1) Definizione. Una curva parametrizzata (piana se $n=2$), o anche una parametrizzazione, di classe $C^ k$, con $k\in \NN $, in $\RR ^ n$ ($n\geq 2$), è una applicazione

\[ \gamma \from I \to \RR ^ n \]

di classe $C^ k$ definita su un intervallo aperto $I\subset \RR $. L’immagine $\gamma (I)$ è il sostegno o traccia di $\gamma $.

(1.2) Definizione. Due curve $\gamma \from I \to \RR ^ n$ e $\bar\gamma \from \bar I \to \RR ^ n$ di classe $C^ k$ sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo $h \from I \to \bar I$ di classe $C^ k$ (chiamata riparametrizzazione di $\gamma $, o cambiamento di parametro) tale che $ \gamma = \bar\gamma \circ h $, cioè se si sostituisce $\bar t = h (t)$, si ottiene

\[ \bar\gamma ( h( t) ) = \gamma ( t). \]


Una curva è quindi una classe di equivalenza di curve parametrizzate ...

Problema: qual è la classe di regolarità minima delle curve che prenderemo in considerazione? Non $C^0$, non $C^1$, ma $C^ k$ per $k$ grande abbastanza.

(1.3) Esempio. Ellisse: una equazione e due parametrizzazioni.

\[ \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2} = 1 \]\[ P(t) = ( a \cos (t), b \sin (t) ), \]

oppure la parametrizzazione razionale ... Il punto $(a,0)$ appartiene certamente all’ellisse (con $a > 0$). La retta con coefficiente angolare $m$ passante per $(a,0)$ ha equazione (parametrica)

\[ (x,y)(t) = (a+t,mt), \]

e interseca l’ellisse per $t=0$ e per $t$ soluzione di

\[ \dfrac { (a+t)^2}{a^2} + \dfrac {m^2t^2}{b^2} = 1 \iff (\dfrac {1}{a^2} + \dfrac {m^2}{b^2})t =- \dfrac {2}{a}. \]

A tale valore di $t$ corrisponde il punto

\[ (x,y) = \left(a + \dfrac { -\dfrac {2}{a} }{\dfrac {1}{a^2} + \dfrac {m^2}{b^2}}, \dfrac { -\dfrac {2m}{a} }{\dfrac {1}{a^2} + \dfrac {m^2}{b^2}} \right), \]

ed una parametrizzazione plausibile sarà perciò

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{a(m^2a^2 - b^2)}{m^2a^2 + b^2} \\ \frac{-2mab^2}{m^2a^2 + b^2} \end{bmatrix}~ . \]


Esercizi: parabola, cuspide (parabola di Neil?)