10. Alcune formule (esercizi svolti)

(10.1) Proposizione. Se $f(x) = a_ n \prod _{i=1}^ n(x-\alpha _ i)$ e $g(x) = b_ m \prod _{j=1}^ m(x-\beta _ j)$, allora \[ R(f,g) = a_ n^ m b_ m^ n \prod _{i=1}^ n \prod _{j=1}^ m (\alpha _ i - \beta _ j). \]

Dim. Cominciamo con il supporre che $a_ n=b_ m=1$. Allora

\[ f(x) = \prod _{i=1}^ n(x-\alpha _ i) = \sum _{j=0}^ n a_ j x^ j, \]

dove1

(1)\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_0 & = (-1)^ n \alpha _1\ldots \alpha _ n = (-1)^ n \sum _{1\leq i_1 < \ldots < i_ k\leq n} \alpha _{i_1} \ldots \alpha _{i_ k} \quad \text {con $k=n$} \\ a_1 & = (-1)^{n-1} \sum _{j=1}^ n \prod _{i\neq j} \alpha _ i = (-1)^{n-1} \sum _{1\leq i_1 < \ldots < i_ k\leq n} \alpha _{i_1} \ldots \alpha _{i_ k} \quad \text {con $k=n-1$} \\ \cdots \\ a_ j & = (-1)^{n-j} \sum _{1\leq i_1 < \ldots < i_ k\leq n} \alpha _{i_1} \ldots \alpha _{i_ k} \quad \text {con $k=n-j$} \\ \cdots \\ a_{n-1} & = - \sum _{1\leq i_1\leq n} \alpha _{i_1} \\ a_ n & = 1. \end{aligned}\right. \end{equation}

Lo stesso per $g$. In altre parole, $f$ e $g$ possono essere considerati come elementi di

\[ \KK [x,\alpha _1,\ldots ,\alpha _ n,\beta _1,\ldots ,\beta _ m], \]

e quindi il loro risultante $R$ è un elemento di $ \KK [\alpha _1,\ldots ,\alpha _ n,\beta _1,\ldots ,\beta _ m]$. Consideriamo quindi i due polinomi di $\KK [\alpha _1,\ldots ,\alpha _ n,\beta _1,\ldots ,\beta _ m]$:

\[ R(\alpha _1\ldots \beta _ m), \quad P(\alpha _1\ldots \beta _ m) = \prod _{i=1}^ n \prod _{j=1}^ m (\alpha _ i - \beta _ j). \]

Sappiamo che se esistono $i,j$ tali che $\alpha _ i=\beta _ j=0$, allora $R=0$; in altre parole $R$ si annulla sull’iperpiano $\alpha _ i=\beta _ j$, e quindi $(\alpha _ i-\beta _ j)$ divide $R$ per ogni $i,j$ (vedi proposizione (5.4)). Ora, nella matrice di Sylvester, sostituendo $t\alpha _ i$ a $\alpha _ i$ nelle (1), $a_ j$ si trasforma in $a_ j t^{n-j}$ (e analogamente $b_ j$ si trasforma in $t^{m-j}b_ j$). La matrice di Sylvester diventa quindi

\[ \begin{bmatrix} a_ n & t a_{n-1} & t^2 a_{n-2} & \ldots & t^{n-1} a_1 & t^ n a_0 & \ldots & \\ 0 & a_ n & ta_{n-1} & \ldots & t^{n-2} a_2 & t^{n-1} a_1 & t^ n a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{n-1}a_1 & t^ n a_0 \\ b_ m & t b_{m-1} & t^2 b_{m-2} & \ldots & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 & \ldots & \\ 0 & b_ m & t b_{m-1} & \ldots & t^{m-2} b_2 & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 \\ \end{bmatrix} \]

Ma si tratta della stessa matrice di (1), nella dimostrazione di (5.2). In modo completamente analogo dimostriamo quindi che ($M$, $N$ e $s$ come nella dimostrazione di (5.2))

\[ t^{N+M} R(t\alpha _1,\ldots , t\alpha _ n,t\beta _1,\ldots , t\beta _ m) = t^ s R(\alpha _1,\ldots , \alpha _ n,\beta _1,\ldots , \beta _ m), \]

e quindi $R$ è un polinomio omogeneo nelle $\alpha _ i$, $\beta _ j$ di grado $mn$. Ma allora $R$ e $P$ hanno lo stesso grado, e dato che $P$ divide $R$ differiscono per una costante.

Ora, il coefficiente di $\alpha _1^ m \ldots \alpha _ n^ m$ in $P(\alpha _1,\ldots ,\beta _ m)$ è $1$:

\[ P = \prod _{i=1}^ n \prod _{j=1}^ m (\alpha _ i - \beta _ j ) = \prod _{i=1}^ n \left( \alpha _ i^ m + \ldots \right). \]

Nel determinante della matrice di Sylvester, il termine $a_ n^ m b_0^ n$ compare con coefficiente $1$ (sono tutti gli $n+m$ termini della diagonale moltiplicati tra loro), e quindi il termine $a_0^ m b_ m^ n$ compare con coefficiente $(-1)^{mn}$ ($mn$ è il numero di scambi che occorrono per scambiare $f$ con $g$ nella matrice). Se calcoliamo il coefficiente del monomio $\alpha _1^ m \ldots \alpha _ n^ m$ in $R(\alpha _1 \ldots \beta _ m)$, questo sarà ottenuto, per la prima di (1), sostituendo $(-1)^ n \alpha _1\ldots \alpha _ n$ in $a_0^ mb_ m^ n$, cioè

\[ (-1)^{nm} \left[ (-1)^ n \alpha _1\ldots \alpha _ n \right]^ m = (-1)^{2nm} \alpha _1^ m \ldots \alpha _ n^ m = \alpha _1^ m \ldots \alpha _ n^ m, \]

cioè anche il coefficiente di $\alpha _1^ m \ldots \alpha _ n^ m$ in $R$ è uguale a uno. Quindi $R=P$. Il caso $a_ n\neq 1$, $b_ m\neq 1$ è lasciato per esercizio (cfr. esercizio 4.18).

QED

(10.2) Corollario. \[ R(f,g) = a_ n^ m \prod _{i=1}^ n g(\alpha _ i) = b_ m^ n \prod _{j=1}^ m f(\beta _ j ) \]

(10.3) Proposizione. Se $f(x) = a_ n \prod _{i=1}^ n (x-\alpha _ i)$, allora il suo discriminante è uguale a \[ \Delta (f) = a_ n^{2n-2} \prod _{{i,j=1,\ i\neq j} }^ n (\alpha _ i - \alpha _ j), \]

Dim. Per il corollario (10.2) \[ R(f,f’) = a_ n^{n-1} \prod _{i=1}^{n} f’(\alpha _ i). \] Ma \[ \begin{aligned} f’ & = \dfrac {\partial }{\partial x} \left[ a_ n \prod _{j=1}^ n (x-\alpha _ j) \right] \\ & = a_ n \dfrac {\partial }{\partial x} [ (x-\alpha _ i) ] \prod _{{j\neq i,\ j=1}}^ n (x-\alpha _ j) + a_ n (x-\alpha _ i) \dfrac {\partial }{\partial x} [ \prod _{{j=1,\ j\neq i}}^ n (x-\alpha _ j) ] \\ \implies f’(\alpha _ i) & = a_ n \prod _{{j=1,\ j\neq i}}^ n (\alpha _ i -\alpha _ j) \end{aligned} \] \[ \implies R(f,f’) = a_ n^{n-1} a_ n^{n} \prod _{j\neq i } (\alpha _ i-\alpha _ j) \implies a_ n \Delta (f) = a_ n^{2n-1 } \prod _{{i,j=1,\ i\neq j} }^ n (\alpha _ i - \alpha _ j). \]
QED


Footnotes

  1. I polinomi che compaiono nella (1) si chiamano polinomi simmetrici elementari nelle variabili $\alpha _ i$, e sono in genere indicati con i simboli $\sigma _ k$, $s_ k$ oppure $e_ k$.