8. Flessi

(8.1) Definizione. Se $C\subset \PP ^2(\CC )$ ha equazione omogenea (di grado $d$) $f(x,y,u)=0$, la curva hessiana di $C$ è la curva descritta dall’equazione

$\det \begin{bmatrix} \dfrac {\partial ^2f}{\partial x^2} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial x \partial y} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial x \partial u} \\ \dfrac {\partial ^2f}{\partial y \partial x} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial y^2} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial y \partial u} \\ \dfrac {\partial ^2f}{\partial u \partial x} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial u \partial y} & \dfrac {\partial ^2f}{\partial u^2} \\ \end{bmatrix} = 0.$

(8.2) Nota. Se $F(x,y,u)$ è omogeneo di grado $n$ e $f(x,y)= F(x,y,1)$, allora

(1)$$\left. \det \begin{bmatrix} \dfrac {n}{n-1} f & f_ x & f_ y \\ f_ x & f_{xx} & f_{xy} \\ f_ y & f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} \right|_{(x,y)} = \dfrac {1}{(n-1)^2} \det \left. \begin{bmatrix} F_{xx} & F_{xy} & F_{xu} \\ F_{yx} & F_{yy} & F_{yu} \\ F_{ux} & F_{uy} & F_{uu} \end{bmatrix} \right|_{(x,y,1)}.$$

Infatti, dato che

$F(x,y,u) = u^ n f(\dfrac {x}{u},\dfrac {y}{u} ),$

abbiamo che

\begin{aligned} F_ x (x,y,u) & = u^{n-1} f_ x (\dfrac {x}{u},\dfrac {y}{u})\\ F_ y (x,y,u) & = u^{n-1} f_ y (\dfrac {x}{u},\dfrac {y}{u})\\ F_{xx}(x,y,u) & = u^{n-2} f_{xx}(\dfrac {x}{u},\dfrac {y}{u} ) \\ F_{yx} = F_{xy}(x,y,u) & = u^{n-2} f_{xy}(\dfrac {x}{u},\dfrac {y}{u} ) \\ F_{yy}(x,y,u) & = u^{n-2} f_{yy}(\dfrac {x}{u},\dfrac {x}{u}) \\ uF_ u & = n F - x F_ x - y F_ y \quad \text {(formula di Eulero (1) )} \\ uF_{xu} & = (n-1) F_ x - x F_{xx} - yF_{xy} \quad \text {(formula di Eulero (1) )} \\ u F_{yu} & = (n-1) F_{y} - x F_{yx} - y F_{yy} \quad \text {(formula di Eulero (1) )} \\ F_ u + u F_{uu} & = n F_ u - x F_{xu} -y F_{yu} \\ \implies u F_{uu} & = (n-1)F_ u - x ( (n-1) F_ x - x F_{xx} - yF_{xy} ) - y ( (n-1) F_{y} - x F_{yx} - y F_{yy} ) \\ & = (n-1) ( F_ u - x F_ x -y F_ y ) + x^2 F_{xx} + 2xy F_{xy} + y^2 F_{yy} \\ \end{aligned}

e quindi valutati in $(x,y,1)$ e $(x,y)$ rispettivamente

\begin{aligned} F_{xx} & = f_{xx} \\ F_{xy} & = f_{xy} \\ F_{yy} & = f_{yy} \\ F_{xu} & = (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} \\ F_{yu} & = (n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} \\ F_{uu} & = (n-1) ( n f - 2 x f_ x - 2 y f_ y ) + x^2 f_{xx} + 2xy f_{xy} + y^2 f_{yy} \end{aligned}

da cui $\det \begin{bmatrix} F_{xx} & F_{xy} & F_{xu} \\ F_{yx} & F_{yy} & F_{yu} \\ F_{ux} & F_{uy} & F_{uu} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} & (n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} \\ (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} & (n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} & F_{uu} \end{bmatrix}$ Aggiungendo alla terza colonna $x$ volte la prima e $y$ volte la seconda si ottiene

$\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & (n-1) f_ x \\ f_{xy} & f_{yy} & (n-1) f_ y \\ (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} & (n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} & C \end{bmatrix}$

dove il coefficiente $C$ è uguale a

\begin{aligned} C= F_{uu} + x( (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} ) + y ((n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} ) \end{aligned}

Aggiungendo alla terza riga $x$ volte la prima riga e $y$ volte la seconda riga si ottiene

$\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & (n-1) f_ x \\ f_{xy} & f_{yy} & (n-1) f_ y \\ (n-1) f_ x & (n-1) f_ y & C’ \end{bmatrix}$

dove

\begin{aligned} C’ & = (n-1) ( x f_ x + y f_ y ) + C \\ & = (n-1) (xf_ x + y f_ y ) + F_{uu} + x( (n-1) f_ x - x f_{xx} - y f_{xy} ) + y ((n-1) f_ y - x f_{yx} - y f_{yy} ) \\ & = F_{uu} + (n-1) (2xf_ x + 2yf_ y) - x^2 f_{xx} - 2xy f_{xy} - y^2 f_{yy} \\ & = (n-1) ( n f - 2 x f_ x - 2 y f_ y ) + x^2 f_{xx} + 2xy f_{xy} + y^2 f_{yy} \\ & + (n-1) (2xf_ x + 2yf_ y) - x^2 f_{xx} - 2xy f_{xy} - y^2 f_{yy} \\ & = n(n-1) f \end{aligned}

e quindi il determinante è uguale a

$\det \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & (n-1) f_ x \\ f_{yx} & f_{yy} & (n-1) f_ y \\ (n-1) f_ x & (n-1) f_ y & n(n-1) f \end{bmatrix} = (n-1)^2 \det \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_ x \\ f_{yx} & f_{yy} & f_ y \\ f_ x & f_ y & \frac{n}{n-1} f \end{bmatrix}$

Per concludere basta quindi osservare che

$\det \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_ x \\ f_{yx} & f_{yy} & f_ y \\ f_ x & f_ y & \frac{n}{n-1} f \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} f_ x & f_ y & \frac{n}{n-1} f \\ f_{xx} & f_{xy} & f_ x \\ f_{yx} & f_{yy} & f_ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{n}{n-1} f & f_ x & f_ y \\ f_ x & f_{xx} & f_{xy} \\ f_ y & f_{yx} & f_{yy} \\ \end{bmatrix}$

(8.3) Proposizione. I flessi di $C\subset \PP ^2(\CC )$ sono le intersezioni non-singolari di $C$ con la sua curva hessiana.

Dim. Sia $f$ il polinomio di $C$, di grado $n$, $A\in C$ un punto ordinario (non singolare) e $B\neq A$ un altro punto. Allora, se $[x_0:x_1:x_2]$ sono le coordinate di $\PP ^2(\CC )$, $A=[A_0:A_1:A_2]$, $B=[B_0:B_1:B_2]$, lo sviluppo in serie di $g$ è $g(s,t) = f(sA+tB) = f(A)s^ n + \sum _{i=0}^2 \dfrac {\partial f}{\partial x_ i}(A) B_ i s^{n-1} t + \dfrac {1}{2} \sum _{i,j=1}^2 \dfrac {\partial ^2 f}{ \partial x_ i \partial x_ j} (A) B_ i B_ j s^{n-2}t^2 + \ldots$ e $A$ è un punto di flesso se e soltanto se l’intersezione in $A$ (cioè $[s:t] = [1:0]$) della retta tangente $r$ (di equazione $\sum _{i=0}^2 \dfrac {\partial f}{\partial x_ i}(A) x_ i = 0$) con $C$ ha molteplicità almeno $3$, cioè se $\sum _{i=0}^2 \dfrac {\partial f}{\partial x_ i}(A) B_ i = 0 \implies \sum _{i,j=1}^2 \dfrac {\partial ^2 f}{ \partial x_ i \partial x_ j} (A) B_ i B_ j = 0.$ Ma questo succede se e soltanto se $r$, che ha equazione $\sum _{i=0}^2 \dfrac {\partial f}{\partial x_ i}(A) x_ i = 0$ è una componente della conica $Q$ di equazione $\sum _{i,j=1}^2 \dfrac {\partial ^2 f}{ \partial x_ i \partial x_ j} (A) x_ i x_ j = 0,$ grazie alla proposizione (2.1). Quindi se $A$ è un flesso, allora $Q$ è riducibile, e quindi per (1.9) il determinante della matrice hessiana è zero. Viceversa, supponiamo che $A$ sia un punto non singolare di $C$ che giace sulla hessiana. Allora, sempre per (1.9) la conica $Q$ è riducibile; inoltre $A$ appartiene a $Q$, dato che (per la omogeneità di $f$ e delle sue derivate, formula (1)) $\sum _{i,j=0}^2 \dfrac {\partial ^2 f}{ \partial x_ i \partial x_ j} (A) A_ i A_ j = n(n-1) f(A).$ La tangente di $Q$ per $A$ è la sua polare, che ha equazione $\sum _{i,j=0}^2 \dfrac {\partial ^2 f}{ \partial x_ i \partial x_ j} (A) A_ i x_ j = 0,$ che, ancora per la formula di Eulero (1), è $(n-1) \sum _{j=0}^2 \dfrac {\partial f}{\partial x_ j}(A) x_ j = 0.$ Ma dato che $Q$ è riducibile, contiene le sue tangenti, e quindi la retta $r$ è una componente di $Q$, cioè $A$ è un punto di flesso.
QED

(8.4) Nota. Per l’equazione (1), i flessi in coordinate affini $(x,y)$ soddisfano l’equazione

$\det \begin{bmatrix} 0 & f_ x & f_ y \\ f_ x & f_{xx} & f_{xy} \\ f_ y & f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = 0.$

(8.5) Corollario. Una curva in $\PP ^2(\CC )$ di grado $d$ priva di punti multipli ha $3d(d-2)$ flessi (contati con la loro molteplicità). Una cubica ha $9$ flessi.

Dim. Il determinante è una funzione omogenea di grado $3$ nei coefficienti della matrice hessiana, che sono a loro volta polinomi omogenei di grado $d-2$. Quindi per il Teorema di Bézout la curva (di grado $d$) e la curva hessiana (di grado $3(d-2)$) hanno $3d(d-2)$ punti di intersezione, contati ognuno con la propria molteplicità.
QED

(8.6) Esempio. A meno di un cambio di coordinate, ogni cubica non singolare $C\subset \PP ^2(\CC )$ può essere scritta nella forma affine normale (di Legendre)

$y^2 = x(x-1)(x-\lambda )$

con $\lambda \in \CC$, $\lambda \neq 0, \lambda \neq 1$, oppure

$y^2 = x^3 -px + q$

con $4p^3 -27q^2 \neq 0$.

Infatti, per (8.5), la cubica ha certamente almeno un flesso, che quindi supponiamo (a meno di proiettività) sia il punto all’infinito $Q=[0:1:0]$. Supponiamo inoltre che la tangente in $Q$ sia la retta impropria (di equazione $u=0$). L’equazione (nelle coordinate affini $(x,u)$) è

$F_0(x,1,u) + F_1(x,1,u) + F_2(x,1,u) + F_3(x,1,u) = 0$

dove $F_ i$ sono polinomi omogenei di grado $i$, nelle $x,u$ con $F_0 = 0$ (dato che la curva passa per $O$). La molteplicità di intersezione in $O$ della cubica con la retta $u=0$ è la molteplicità di della radice $t=0$ nel polinomio

$F_1(x,1,0) + F_2(x,1,0) + F_3(x,1,0),$

che deve essere $3$, e quindi $F_1(x,1,0) = F_2(x,1,0) = 0$ e $F_3(x,1,0) = c x^3$ per un certo $c\neq 0$. Segue che $F_1(x,1,u) = au$, con $a\neq 0$ (altrimenti il punto è doppio), $F_2(x,1,u) = bxu + cu^2$ e $F_3(x,1,u)$ contiene il termine $x^3$. Il polinomio omogeneo è perciò

$y^2( au ) + y ( bxu + cu^2) + (\alpha x^3 + \beta x^2u + \gamma x u^2 + \delta u^3)$

con $a,\alpha \neq 0$ che, passando alle coordinate affini $(x,y)$ e supponendo quindi $\alpha =1$, diventa

$ay^2 + bxy + cy + x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta ,$

cioè l’equazione è di secondo grado in $y$

$a y^2 + (bx+c) y + g(x) = 0$

con $a\neq 0$ e $g(x)$ polinomio monico di grado $3$ in $x$. Se poniamo $y = \hat y -(bx + c)/(2a)$, l’equazione diventa

$\hat y^2 = \hat g(x),$

dove $\hat g(x)$ è un polinomio di terzo grado in $x$, e quindi possiamo riscrivere la equazione come

$y^2 = (x-x_1)(x - x_2)(x-x_3)$

con $x_1,x_2,x_3\in \CC$. Le tre radici devono essere distinte (altrimenti la cubica sarebbe singolare: esercizio 4.20), e a meno di un cambio di coordinate del tipo $x\mapsto \alpha x + \beta$ e $y \mapsto \gamma y$ si può supporre $x_1=0$, $x_2=1$ e $x_3=\lambda$, con $\lambda \in \CC \smallsetminus \{ 0,1\}$. Un esempio di tale curva si trova in figura

* . Con un altro cambio di coordinate di questo tipo è invece possibile scrivere l’equazione nella forma

$y^2 = x^3 - px + q,$

e il discriminante del polinomio $x^3-px+q$ è proprio $\pm (4p^3 -27q^2) \neq 0$ (che è zero se e soltanto se due radici sono coincidenti).

(8.7) Proposizione. Una cubica liscia (=non singolare) di $\PP ^2(\CC )$ ha nove flessi, con la proprietà che ogni retta per due flessi passa per un terzo flesso.

Dim. Dato che la cubica è non singolare, in un opportuno sistema di riferimento ha equazione (affine)

$y^2 = x^3 - px +q,$

con $4p^3 \neq 27q^2$. La matrice Hessiana del polinomio $p(x,y,u) = uy^2 - x^3 +pxu^2 - qu^3$ ha coefficienti (in coordinate omogenee)

\begin{aligned} p_{xx} & = - 6x \\ p_{xy} & = 0 \\ p_{xu} & = 2pu \\ p_{yy} & = 2 \\ p_{yu} & = 2y \\ p_{uu} & = 2px - 6qu \end{aligned}

I flessi in $\AA ^2(\CC )$ sono le soluzioni del sistema

\begin{aligned} y^2 & = x^3 -px+q \\ & \det \begin{bmatrix} -6x & 0 & 2p \\ 0 & 2 & 2y \\ 2p & 2y & 2px - 6q \end{bmatrix} = 0 \end{aligned} \iff \left\{ \begin{aligned} y^2 - x^3 + px -q & = 0\\ -3 p x^2 + 9 qx + 3 xy^2 -p^2 & = 0\\ \end{aligned} \right.

Eliminando $y^2$ si ottiene l’equazione

$k(x) = 3x^4 - 6px^2 + 12 qx - p^2 = 0.$

Analogamente, come osservato in (8.4), avremmo potuto calcolare il determinante della matrice con coefficienti $0$, $f_ x$, $f_ y$, $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$.

Il discriminante di $k$ si ottiene calcolando il risultante di $k$ e $k’ = 12x^3 - 12 px + 12 q$, dove

$k’(x) = 12( x^3 - px + q).$

La matrice di Sylvester è una matrice $7\times 7$, e il risultante $R(k,k’)$ risulta $12^4 (27q^2 - 4p^3)^2\neq 0$ (esercizio 4.25). Raccogliendo $12^4$ si ha quindi $R(k,k’/12) = \\ 12^{-4} R(k,k’) = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 0 & -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = 3 \left( 3 \begin{vmatrix} 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right) - \left(-3 \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right)$$= 3 \left[3 \left( -p^2 \begin{vmatrix} -p & q & 0 & 0 \\ 0 & -p & q & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ 0 & 1 & 0 & -p \\ \end{vmatrix} +q \begin{vmatrix} 3 & 0 & -6p & 12 q \\ -p & q & 0 & 0 \\ 0 & -p & q & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right) -\left( p^2 \begin{vmatrix} 0 & -6p & 12 q & -p^2 \\ -p & q & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ 0 & 1 & 0 & -p \\ \end{vmatrix} +q \begin{vmatrix} 0 & -6p & 12 q & -p^2 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q \\ -p & q & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right) \right] - \left[-3\left( p^2 \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & -p & q & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ 0 & 1 & 0 & -p \\ \end{vmatrix} +q \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q \\ 0 & -p & q & 0 \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right) - \left( -p^2 \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & -6p & 12 q & -p^2 \\ 1 & 0 & -p & q \\ 0 & 1 & 0 & -p \\ \end{vmatrix} +q \begin{vmatrix} -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & -6p & 12 q & -p^2 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} \right)\right] = \ldots = - (4p^3 - 27q^2)^2.$ Si può anche cercare di semplificare la matrice, per esempio osservando che $\begin{vmatrix} 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3-3 & 0 & -6p+3p & 12 q-3q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -3p & 9 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & -3p & 9 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & -3p & 9 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 3-3 & 0 & -6p+3p & 12 q-3q & -p^2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & -3p & 9 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3p & 9q & -p^2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3p & 9 q & -p^2 & 0 & 0 \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & 0 \\ 3 & 0 & -6p & 12 q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix} -3p +3p & 9 q & -p^2 -3p^2 & +3pq & 0 \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & 0 \\ 3-3 & 0 & -6p+3p & 12 q-3q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 9 q & -4p^2 & 3pq & 0 \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & 0 \\ 0 & 0 & -3p & 9q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 9 q & -4p^2 & 3pq & 0 \\ -3p & 9q & -p^2 & 0 \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 9 q -9q & -4p^2 & 3pq+9pq & -9q^2 \\ -3p+3p & 9q & -p^2-3p^2 & 3pq \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & -4p^2 & 12pq & -9q^2 \\ 0 & 9q & -4p^2 & 3pq \\ 0 & -3p & 9q & -p^2 & \\ 1 & 0 & -p & q \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -4p^2 & 12pq & -9q^2 \\ 9q & -4p^2 & 3pq \\ -3p & 9q & -p^2 & \\ \end{vmatrix} = -4p^2 \begin{vmatrix} -4p^2 & 3pq \\ 9q & -p^2 & \\ \end{vmatrix} -9q \begin{vmatrix} 12pq & -9q^2 \\ 9q & -p^2 & \\ \end{vmatrix} -3p \begin{vmatrix} 12pq & -9q^2 \\ -4p^2 & 3pq \\ \end{vmatrix} = -\left[ 4p^2 ( 4p^4 - 27 pq^2 ) +9q (-12p^3q + 81 q^3) +p (36p^2q^2 - 36 p^2q^2) \right] = -\left[ 16 p^6 - 108 p^3q^2 - 108p^3q^2 + 9^3 q^4 \right] = -\left[ (4p^3)^2 - 2 \cdot 4 \cdot 27 p^3 q^2 + (27q^2)^2 \right] = - \left( 4p^3-27q^2 \right)^2 \neq 0.$

Ma allora $k(x)$ ha quattro radici distinte. Nessuna di queste radici soddisfa $k’(x) = 0$, e quindi nessuna soddisfa $x^3 -px +q = 0$.

Dato che le radici di $k(x)$ soddisfano $x^3 - px+q\neq 0$, per ognuna delle 4 radici di $k$ ci sono due flessi (simmetrici rispetto all’asse $x$): in totale ci sono 8 flessi. Contando anche il flesso $[0:1:0]$ sulla retta impropria, i flessi sono $9$.

Osserviamo che le rette che passano per due flessi simmetrici rispetto all’asse $x$ passano tutte per il flesso in $[0:1:0]$. Cioè, dato che $A=[0:1:0]$ è un flesso, per ogni flesso $P$ la retta $AP$ passa per un altro flesso $P’$ (il simmetrico di $P$). Ma con un cambio di coordinate proiettivo possiamo mandare ogni altro flesso in $[0:1:0]$ con la tangente mandata nella retta all’infinito: quindi l’enunciato è dimostrato.

QED

(8.8) Corollario. [Teorema di Salmon] Per ogni flesso $P$ di una cubica non singolare di $\PP ^2(\CC )$ passano esattamente quattro tangenti distinte alla cubica (compresa la tangente in $P$).

Dim. A meno di un cambio di coordinate, possiamo supporre che l’equazione affine della cubica sia $y^2 = x(x-1)(x-\lambda ),$ con $\lambda \neq 0,1$ e il flesso $P=[0:1:0]$. Allora, oltre alla retta $u=0$ (tangente in $P$), le tangenti alla cubica sono le rette di equazione $(x-x_0) f_ x(x_0,y_0) + (y-y_0) f_ y(x_0,y_0) = 0,$ e passano per $P$ se e soltanto se $f_ y(x_0,y_0) =2y_0 = 0$. Ci sono esattamente tre tangenti che soddisfano questa condizione, e sono le tangenti ai punti $(0,0)$, $(1,0)$ e $(\lambda ,0)$.
QED

(8.9) Proposizione. Data una cubica $\gamma$ non singolare di $\PP ^2(\CC )$, per ogni coppia di flessi distinti $A,B \in \gamma$ esiste una proiettività $f\from \PP ^2(\CC ) \to \PP ^2(\CC )$ che manda $\gamma$ in sé e tale che $f(A)=B$, $f(B)=A$.

Dim. Sia $C$ il terzo flesso, allineato ad $A$ e $B$. Consideriamo coordinate proiettive per cui la tangente a $C=[0:1:0]$ sia la retta $u=0$, come sopra. Allora la proiettività cercata è $y \mapsto -y$, dato che $A$ e $B$ hanno la stessa ascissa in coordinate affini.
QED

(8.10) Nota. Le cubiche non singolari proiettive sono anche dette curve ellittiche, curve che anche negli ultimi anni hanno ricoperto un ruolo molto importante.