7. Il discriminante

(7.1) Definizione. Il discriminante di un polinomio $f \in \KK [x]$ è il risultante di $f(x) = a_0 + a_1x + \ldots a_ n x^ n$ e di $\dfrac {\partial }{\partial x} (f) = f’$ diviso per $a_ n$, e si indica con

(1)\begin{equation} \Delta (f) = \dfrac { R(f,f’)}{ a_ n}. \end{equation}


(7.2) Proposizione. Se $f(x) \in \KK [x]$, con $\KK $ …, allora il suo discriminante si annulla se e solo se $f$ ha qualche radice multipla $\alpha _ i$.

Dim. Abbiamo visto in (1.4) che $f$ ha una radice multipla $a$ se e soltanto se $f(a)=f’(a) = 0$, cioè se $x-a$ è un divisore comune di $f$ e $f’$.
QED

(7.3) Nota. Il campo deve essere algebricamente chiuso?

(7.4) Nota. Il discriminante del polinomio di secondo grado $ax^2 + bx + c$ è quindi uguale a

\[ \Delta = \dfrac {1}{a} R(ax^2+bx+c,2ax+b) = \dfrac {1}{a} \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ 2a & b & 0 \\ 0 & 2a & b \\ \end{bmatrix} = \dfrac {1}{a}[a ( b^2) -2a (b^2-2ac)] = -(b^2-4ac). \]


(7.5) Nota. Il discriminante è anche definito (a seconda dei testi) con un segno $(-1)^{n(n-1)/2}$ nella formula (1), o senza il fattore $\dfrac {1}{a}$.