6. Intersezione di curve: il Teorema di Bézout

(6.1) Teorema. Sia $\KK $ un campo non finito. Due curve $C,C’$ in $\PP ^2(\KK )$ di grado $n$ e $m$ che non hanno una componente in comune non hanno più di $mn$ punti di intersezione.

Dim. Supponiamo che $C$ e $C’$ abbiano più di $mn$ punti di intersezione. Si scelgano $mn+1$ punti distinti $P_0$, …, $P_{mn}$ in $C\cap C’$. Per ogni $i,j=0\ldots mn$, $i\neq j$ sia $r_{ij}$ la retta per $P_ i$ e $P_ j$. Il numero di tali rette è finito, e quindi esiste certamente un punto $O$ che non appartiene a nessuna di queste rette, né a $C$ né a $C’$.1 A meno di cambiare il sistema di riferimento proiettivo, possiamo supporre che $O=[0:0:1]$. Allora i polinomi di $C$ e $C’$ sono \[ \begin{aligned} f & = a_0u^ n + a_1u^{n-1} + \ldots + a_ n \\ g & = b_0 u^ m + b_1 u^{m-1} + \ldots + b_ m\\ \end{aligned} \] dove $a_0b_0 \neq 0$ (perché $O\not\in C$, $O\not\in C’$), e $a_ i,b_ i$ sono polinomi omogenei in $\KK [x,y]$ di grado $i$. Il risultante $R$ di $f$ e $g$ rispetto a $u$ è un polinomio omogeneo in $x,y$; se è zero, $f$ e $g$ hanno una componente in comune, e quindi $R\neq 0$ per ipotesi. Dato che $R$ non è zero, è un polinomio omogeneo di grado $mn$ in $x,y$, per (5.2). Per ogni $i=0\ldots mn$ sia $P’_ i$ il punto improprio della retta che passa per i due punti $O$ e $P_ i$ (che sono distinti). Per costruzione, $P’_ i=P’_ j \implies P_ i = P_ j$. Se $P_ i= [s:t:\bar u]$, allora $P’_ i = [s:t:0]$. Se $P_ i= [s:t:\bar u]$, allora $f(s,t,u)$ e $g(s,t,u)$ sono polinomi in $\KK [u]$ che hanno il fattore comune $u-\bar u$, e quindi $R(s,t) = 0$. Quindi i punti $[s:t]\in \PP ^1(\KK )$ corrispondenti alle coordinate dei $P’_ i$ soddisfano l’equazione $R(x,y)=0$, che, se $R\neq 0$, è omogenea di grado $nm$ e non può avere più di $nm$ radici.
QED

Come per l’intersezione di una retta con una curva, è possibile definire la molteplicità di intersezione $\mu _ P$ di un punto $P\in C\cap C’$, se $C$ e $C’$ sono due curve (senza componenti comuni) di $\PP ^2(\CC )$. Siano $P_1$, …, $P_ r$ i punti di $C\cap C’$. Siano $f,g\in \CC [x,y,u]$ di grado $n$ e $m$ rispettivamente i polinomi di $C$ e $C’$. Al variare di $A=[A_0:A_1:A_2],B=[B_0:B_1:B_2] \in \PP ^2(\CC )$, le due funzioni $\bar f(s,t) = f( sA+tB)$, $\bar g(s,t) = g(sA+tB)$ sono omogenee di grado $n$ e $m$ in $[s:t]$. Il risultante $R$ rispetto a $t$ di $\bar f(1,t)$ e $\bar g(1,t)$ si annulla quando la retta per $A$ e $B$ passa per uno dei punti $P_ i$ di intersezione $C \cap C’$, cioè si annulla quando il determinante

\[ \det ( A,B,P_ i) = 0 \]

si annulla per qualche $P_ i$ (se $A=B$ allora la retta per $A=B$ e $P_ i$ passa per $P_ i$). Consideriamo quindi $R$ come polinomio nelle $A_0,A_1,A_2,B_0,B_1,B_2$: come abbiamo visto sopra si può dimostrare che è omogeneo di grado $nm$. Inoltre $R(A,B) = 0 $, con $A\neq B$, implica che esiste $i$ tale che $\det (A,B,P_ i)=0$; se $A=B$, allora $\bar f(1,t) = f( (1+t)A ) = (1+t)^ n f(A)$, $\bar g(1,t) = g( (1+t) A ) = (1+t)^ m g(A)$, e quindi $R(A,B) = 0$ perché hanno un fattore comune, e $\det (A,B,P_ i)=0$. Allora se definiamo il polinomio omogeneo nelle variabili $A_ i$, $B_ j$

\[ p(A,B) = \prod _{i=1}^ r \det (A,B,P_ i), \]

possiamo dedurre che

\[ R(A,B) = 0 \implies p(A,B) = 0, \]

e quindi le componenti irriducibili di $R$ sono componenti irriducibili di $p(A,B)$, per (5.4), cioè esistono degli esponenti $\mu _{P_1}$, …, $\mu _{P_ r}$ tali che

\[ R(A,B) = \prod _{i=1}^ r \det (A,B,P_ i)^{\mu _{P_ i}}. \]

Infatti, i polinomi $\det (A,B,P_ i)$ sono irriducibili (esercizio 4.2).

Queste sono le molteplicità di intersezione delle due curve, e quanto visto è un cenno della dimostrazione del seguente teorema.

(6.2) Teorema.[Teorema di Bézout] La somma delle molteplicità $\mu _ P$ dei punti di intersezione di due curve $C=\{ f=0\} $ di grado $n$ e $C’=\{ g=0\} $ di grado $m$ in $\PP ^2(\CC )$ è uguale al prodotto dei gradi $mn$ \[ \sum _{P\in C\cap C'} \mu _ P = mn. \]

(6.3) Proposizione. Le molteplicità di intersezione $\mu _ P$ sono invarianti per trasformazioni proiettive.

Dim. Se $\vx \mapsto S \vx $ è l’equazione di una proiettività, con $S$ matrice $3\times 3$ invertibile, allora $SA$, $SB$ e $SP_ i$ saranno le coordinate delle immagini di $A$, $B$ e $P_ i$, e si avrà \[ \det (SA,SB,SP_ i) = \det (S) \det (A,B,P_ i), \] con $\det (S) \neq 0$, e $R’(SA,SB) = c R(A,B)$ per una certa costante $c\in \KK $, $c\neq 0$, per cui le molteplicità $m_ P$ e $m_{SP}$ coincidono.
QED


Footnotes

  1. Moltiplicando le equazioni di tutte le rette con le equazioni di $C$ e $C’$ si ottiene un polinomio omogeneo, che non può annullarsi su tutto $\PP ^2(\KK )$ per il lemma (5.3).