5. Polinomi di più variabili

Un polinomio di $\KK [x,x_1,x_2,\ldots , x_ r]$ può essere visto come un polinomio in $x$ a coefficienti in $\KK [x_1,x_2,\ldots , x_ r]$, cioè

\[ \KK [x,x_1,\ldots , x_ r] \cong \left( \KK [x_1,\ldots , x_ r] \right)[x]. \]

L’algebra polinomiale $\KK [x_1,\ldots , x_ r]$ non è un campo, ma si può prendere il campo delle frazioni di tali polinomi, che si indica con $\KK (x_1,\ldots , x_ r)$, che contiene $\KK [x_1,\ldots , x_ r]$. Il risultante di due polinomi $f,g\in \KK [x,x_1,\ldots , x_ r]$ rispetto alla variabile $x$ è quindi un elemento di $\KK (x_1,\ldots , x_ r)$. I due polinomi si scriveranno ancora

\[ \begin{aligned} f(x) & = a_0 + a_1 x + \ldots + a_ n x^ n\\ g(x) & = b_0 + b_1x + \ldots + b_ m x^ m \end{aligned} \]

con $a_ nb_ m \neq 0$, ma adesso $a_ i$ e $b_ j$ sono polinomi in $x_1,\ldots , x_ r$. Dato che la matrice di Sylvester dei due polinomi ha coefficienti $a_ i$, $b_ j$ in $\KK [x_1,\ldots , x_ r]$, anche il risultante sarà un polinomio $R(x_1,\ldots ,x_ r)\in \KK [x_1,\ldots , x_ r]\subset \KK (x_1,\ldots , x_ r)$, che si annulla se e soltanto se $f$ e $g$ hanno un fattore comune con grado rispetto a $x$ non zero. Anche la proposizione (4.7) si generalizza facilmente al caso di polinomi in più variabili: i due polinomi $p$ e $q$ non sono altro che polinomi in $\KK [a_1,\ldots , x_ r]$.

(5.1) Nota. Per ogni $n$-upla $\alpha _1,\ldots , \alpha _ r\in \KK $, se $R(\alpha _1,\ldots , \alpha _ r) =0$ allora possono accadere due cose: se $a_ n(\alpha _1,\ldots , \alpha _ r) b_ m(\alpha _1,\ldots ,\alpha _ r) \neq 0$, allora il risultante dei due polinomi in $x$ $f(x,\alpha _1,\ldots ,\alpha _ r)$ e $g(x,\alpha _1,\ldots ,\alpha _ r)$ è zero; se invece $a_ r(\alpha _1,\ldots , \alpha _ r)b_ m(\alpha _1,\ldots ,\alpha _ r) = 0$, non si può dire nulla.

(5.2) Proposizione. Se $f,g\in \KK [x,y,u]$ sono due polinomi omogenei di grado $n$ e $m$, allora il risultante di $f$ e $g$ rispetto a $u$ è un polinomio omogeneo nelle $x,y$ di grado $mn$, oppure è zero.

Dim. Se \[ f= a_0 + a_1u + \ldots + a_ n u^ n,\quad g=b_0+b_1u + \ldots + b_ mu^ n, \] allora $a_ i$ e $b_ i$ sono polinomi omogenei di grado $n-i$ nelle variabili $x,y$, e quindi (1)\begin{equation} R(tx,ty) = \det \begin{bmatrix} a_ n & t a_{n-1} & t^2 a_{n-2} & \ldots & t^{n-1} a_1 & t^ n a_0 & \ldots & \\ 0 & a_ n & ta_{n-1} & \ldots & t^{n-2} a_2 & t^{n-1} a_1 & t^ n a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{n-1}a_1 & t^ n a_0 \\ b_ m & t b_{m-1} & t^2 b_{m-2} & \ldots & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 & \ldots & \\ 0 & b_ m & t b_{m-1} & \ldots & t^{m-2} b_2 & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 \\ \end{bmatrix} \end{equation} Moltiplichiamo la prima riga per $t^0$, la seconda per $t$, …, la $m$-esima per $t^{m-1}$, la $m+1$-esima per $t^0$, la $m+2$-esima per $t$, …, la $m+n$-esima per $t^{n-1}$ otteniamo una matrice il cui determinate è uguale al determinante della precedente moltiplicato per $t^{N+M}$, dove $N=0+1+\ldots + {m-1} = \dfrac {m(m-1)}{2} $ e $M=0+1+\ldots + {n-1} = \dfrac {n(n-1)}{2} $, cioè (2)\begin{equation} \begin{aligned} t^{N+M} R(tx,ty) & = \det \begin{bmatrix} a_ n & t a_{n-1} & t^2 a_{n-2} & \ldots & t^{n-1} a_1 & t^ n a_0 & \ldots & \\ 0 & t a_ n & t^2 a_{n-1} & \ldots & t^{n-1} a_2 & t^{n} a_1 & t^{n+1} a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{n+m-2}a_1 & t^{n+m-1} a_0 \\ b_ m & t b_{m-1} & t^2 b_{m-2} & \ldots & t^{m-1} b_1 & t^ m b_0 & \ldots & \\ 0 & t b_ m & t^2 b_{m-1} & \ldots & t^{m-1} b_2 & t^{m} b_1 & t^{m+1} b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & t^{n+m-2} b_1 & t^{n+m-1} b_0 \\ \end{bmatrix}\\ & = t^ s R(x,y) \\ \end{aligned} \end{equation} dove $s=0+1+\ldots + {n+m-1} = \dfrac {(n+m-1)(n+m)}{2} $. Ma allora $R$ è un polinomio omogeneo nelle $x$, $y$ di grado \[ {s-N-M} = \dfrac {(n+m-1)(n+m)}{2} - \dfrac {n(n-1)}{2} - \dfrac {m(m-1)}{2} = nm. \]
QED

(5.3) Sia $g\in \KK [x_0,\ldots , x_ r]$. Se esiste un insieme infinito $Y\subset \KK $ tale che per ogni $a_0,\ldots , a_ r \in Y$ si ha $g(a_0,\ldots , a_ r) = 0$, allora $g=0$.

Dim. Si ricordi l’esercizio 4.15 a pagina *. Per $r=0$, $g$ la proposizione è vera (dato che se $g$ ha infinite radici allora è nullo). Per induzione su $r$. Scriviamo \[ g = g_0 + g_1 x_ r + g_2x_ r^2 + \ldots + g_ d x_ r^ d, \] con $g_ i \in \KK [x_0,\ldots , x_{r-1}]$. Se $g\neq 0$, allora possiamo supporre $g_ d\neq 0$. Per ipotesi di induzione, esistono $a_0,\ldots , a_{r-1} \in Y $ tali che $g_ d(a_0, \ldots , a_{r-1}) \neq 0$. Ma sostituendo questi valori alle $x_ i$ in $g$ si ottiene un polinomio di grado $d$ in $\KK [x_ r]$, che ha al massimo $d$ radici. Ma per ogni $a\in Y$ deve essere $g(a_0,\ldots ,a_{r-1},a) = 0$, e questo è assurdo. Quindi $g=0$.
QED

(5.4) [Study] Sia $\KK $ algebricamente chiuso. Se $f\in \KK [x_0,x_1,\ldots , x_ r]$, e $g\in \KK [x_0,x_1,\ldots , x_ r]$ è un polinomio irriducibile tale che $g(\vx ) = 0 \implies f(\vx ) = 0$ (cioè la curva di $g$ è contenuta nella curva di $f$), allora $f$ è divisibile per $g$.

Dim. Se $\mathrm{grado}(g) = 0$, cioè $g\in \KK $, si hanno due casi: se $g\neq 0$ allora $g|f$; invece se $g=0$, allora $f(\va ) = 0$ per ogni $\va \in \KK ^{r+1}$, e quindi per (5.3) si ha $f=0$, da cui segue che $g=0|0=f$. Supponiamo quindi che (a meno di permutare le variabili) si abbia $\mathrm{grado}(g;x_ r)=m > 0$ \[ g= b_0+b_1x_ r + \ldots + b_ m x_ r^ m \] con $b_ m\neq 0$. Se $f=0$, allora $f$ è divisibile per $g$. Altrimenti, se $f\neq 0 $ ha grado $0$ rispetto a $x_ r$ (cioè se $f\in \KK [x_0,\ldots , x_{r-1}]$), per (5.3) esistono $a_0,\ldots , a_{r-1} \in \KK $ tali che $f(a_0,\ldots , a_{r-1},*) \cdot b_ m(a_0,\ldots , a_{r-1}) \neq 0$. Ma $\KK $ è algebricamente chiuso, e quindi esiste certamente $a\in \KK $ tale che $g(a_0,\ldots , a_{r-1},a) = 0$, e quindi per ipotesi $f(a_0,\ldots , a_{r-1},a) = 0$, il che non può essere. Possiamo pertanto assumere che sia $f$ che $g$ abbiano grado non nullo rispetto a $x_ r$. Per (4.7), il risultante $R$ di $f$ e $g$ rispetto a $x_ r$ si può scrivere come (3)\begin{equation} R = Af + Bg \end{equation} con $A,B\in \KK [a_0,\ldots , x_{r-1}]$. Se $R\neq 0$, allora per (5.3) esistono $a_0,\ldots , a_{r-1} \in \KK $ tali che $R(a_,\ldots , a_{r-1}) \neq 0$ e $b_ m(a_0,\ldots , a_{r-1}) \neq 0$. Ma allora esiste $a\in \KK $ tale che $g(a_0,\ldots , a_{r-1},a) = 0$ $\implies $ $f(a_0,\ldots , a_{r-1},a) = 0$ da cui per (3) segue che $R(a_0,\ldots , a_{r-1})=0$, che è assurdo. Quindi $R=0$, cioè $f$ e $g$ hanno un fattore comune. Ma $g$ è irriducibile, e quindi $g$ divide $f$.
QED

(5.5) Nota. Se $\KK $ è algebricamente chiuso, allora non è finito. Infatti, se $\KK =\{ k_0,k_1,\ldots , k_ r\} $ allora

\[ p(x) = 1+ \prod _{i=0}^ r (x-k_ i) \]

non ha zeri in $\KK $, e quindi $\KK $ non è algebricamente chiuso.