4. Risultante di due polinomi

Siano $f,g$ due polinomi in $\KK [x]$, dove $\KK $ è un campo,

\[ \begin{aligned} f(x) & = a_0 + a_1 x + \ldots + a_ n x^ n\\ g(x) & = b_0 + b_1x + \ldots + b_ m x^ m. \end{aligned} \]

La matrice di Sylvester di due polinomi è la matrice quadrata $(n+m) \times (n+m)$

\[ \begin{bmatrix} a_ n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & \ldots & \\ 0 & a_ n & a_{n-1} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & a_1 & a_0 \\ b_ m & b_{m-1} & b_{m-2} & \ldots & b_1 & b_0 & \ldots & \\ 0 & b_ m & b_{m-1} & \ldots & b_2 & b_1 & b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & b_1 & b_0 \\ \end{bmatrix} \]

che ha le prime $m$ righe ottenute shiftando i coefficienti $a_ i$ del polinomio $f$, e le restanti $n$ righe shiftando i coefficienti $b_ j$ del polinomio $g$ (si ricordi lo svolgimento dell’esercizio 3.37).

(4.1) Esempio. Se $f(x)=a_0 + a_1 x$ e $g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2$, allora la matrice è

\[ \begin{bmatrix} a_1 & a_0 & 0 \\ 0 & a_1 & a_0 \\ b_2 & b_1 & b_0 \end{bmatrix} \]

Se invece $n=2$ e $m=3$, si ha

\[ \begin{bmatrix} a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & a_1 & a_0 \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \end{bmatrix} \]


(4.2) Definizione. Il risultante di due polinomi $f,g\in \KK [x]$ è il determinante della loro matrice di Sylvester, e si indica con $R(f,g)$.

(4.3) Nota. Il risultante di due polinomi $f,g\in \KK [x]$ è un polinomio omogeneo di grado $n=\mathrm{grado}(f)$ nei coefficienti $b_ j$ di $g$, ed un polinomio omogeneo di grado $m=\mathrm{grado}(g)$ nei coefficienti $a_ i$ di $f$. Infatti, $R(tf,g) = t^{m}R(f,g)$ e $R(f,tg) = t^ nR(f,g)$.

(4.4) Due polinomi $f,g\in \KK [x]$ hanno un fattore non costante in comune se e soltanto se esistono due polinomi $p,q\in \KK [x]$ tali che $fq=gp$ e $\mathrm{grado}(p) < \mathrm{grado}(f)$, $\mathrm{grado}(q) < \mathrm{grado}(g)$.

Dim. Se $h|f$, $h|g$, con $h\in \KK [x]$, $\mathrm{grado}(h) > 0$, allora esistono $p,q\in \KK [x]$ tali che $f=hp$, $g=hq$, con $\mathrm{grado}(h)+\mathrm{grado}(p)=\mathrm{grado}(f)$ e $\mathrm{grado}(h) + \mathrm{grado}(q) = \mathrm{grado}(g)$, e $fq=phq=pg$.

Viceversa, se $p,q$ sono tali che $fq=gp$ con $\mathrm{grado}(p) < \mathrm{grado}(f)$ e $\mathrm{grado}(q) < \mathrm{grado}(g)$, e per assurdo $f$ e $g$ non hanno fattori comuni, allora nelle decomposizioni in fattori irriducibili $f=f_1^{\mu _1} \ldots f_ l^{\mu _ l}$ e $g=g_1^{\beta _1} \ldots g_ m^{\beta _ m}$ i polinomi $f_ i$ e $g_ j$ sono distinti. Ma allora nella fattorizzazione del polinomio $fq=gp$ compaiono sia i $f_ i^{\mu _ i}$ che i $g_ j^{\beta _ j}$, e quindi $\mathrm{grado}(fq) = \mathrm{grado}(gp) \geq \mathrm{grado}(f) + \mathrm{grado}(g)$, e questo non è possibile dato che $\mathrm{grado}(fq) = \mathrm{grado}(f) + \mathrm{grado}(q) < \mathrm{grado}(f) + \mathrm{grado}(g)$ e anche $\mathrm{grado}(gp) = \mathrm{grado}(g) + \mathrm{grado}(p) < \mathrm{grado}(g) + \mathrm{grado}(f)$.

QED

(4.5) Nota. Se $p$ ha grado $0$, allora anche $q$ ha grado $0$ e $f$ e $g$ sono proporzionali.

(4.6) Proposizione. Il risultante $R(f,g)$ è zero se e soltanto se i due polinomi $f$ e $g$ hanno un fattore (non costante) in comune.

Dim. Utilizziamo il lemma (4.4): $f$ e $g$ hanno un fattore non costante in comune se e soltanto se esistono $p$ e $q$ di grado minore di $\mathrm{grado}(f)$ e $\mathrm{grado}(g)$ rispettivamente, tali che $fq=gp$. Quindi, se $n=\mathrm{grado}(f)$ e $m=\mathrm{grado}(g)$

\[ \begin{aligned} f(x) & = a_0 + a_1 x + \ldots + a_ n x^ n \implies p(x) = \alpha _0 + \alpha _1x + \ldots \alpha _{n-1} x^{n-1} \\ g(x) & = b_0 + b_1x + \ldots + b_ m x^ m \implies q(x) = \beta _0 + \beta _1x + \ldots \beta _{m-1} x^{m-1}. \end{aligned} \]

Moltiplicando, otteniamo il polinomio $fq=gp$ (di grado $n+m-1$)

\[ \begin{aligned} fq & = a_0\beta _0 + (a_1 \beta _0 + a_0 \beta _1)x + (a_2\beta _0 + a_1\beta _1 + a_0\beta _2)x^2 + \ldots + a_ n \beta _{m-1} x^{n+m-1} \\ gq & = b_0\alpha _0 + (b_1 \alpha _0 + b_0 \alpha _1)x + (b_2\alpha _0 + b_1\alpha _1 + b_0\alpha _2)x^2 + \ldots + b_ m \alpha _{n-1} x^{n+m-1}. \end{aligned} \]

cioè il sistema (nelle $n+m$ incognite $\alpha _ i$ e $\beta _ j$)

\[ \left\{ \begin{aligned} a_0\beta _0 & = b_0 \alpha _0 \\ a_1 \beta _0 + a_0 \beta _1 & = b_1 \alpha _0 + b_0 \alpha _1 \\ a_2\beta _0 + a_1\beta _1 + a_0\beta _2 & = b_2\alpha _0 + b_1\alpha _1 + b_0\alpha _2 \\ & \vdots \\ a_{n} \beta _{m-2} + a_{n-1}\beta _{m-1} & = b_{m} \alpha _{n-2} + b_{m-1}\alpha _{n-1}\\ a_ n \beta _{m-1} & = b_ m \alpha _{n-1} \\ \end{aligned}\right. \]

Scritto in forma matriciale è

\[ \begin{aligned} {\begin{bmatrix} \beta _{m-1} & \cdots & \beta _0 & -\alpha _{n-1} \cdots & -\alpha _0 & \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} a_ n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & \ldots & \\ 0 & a_ n & a_{n-1} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & a_1 & a_0 \\ b_ m & b_{m-1} & b_{m-2} & \ldots & b_1 & b_0 & \ldots & \\ 0 & b_ m & b_{m-1} & \ldots & b_2 & b_1 & b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & b_1 & b_0 \\ \end{bmatrix}} = \boldsymbol {0}^ t \end{aligned} \]

Esiste una soluzione non nulla se e soltanto se il determinante della matrice associata è nullo, cioè se e soltanto se $R(f,g) = 0$, dato che la matrice del sistema è proprio la matrice di Sylvester.

QED

(4.7) Proposizione. Se $f,g\in \KK [x]$, allora esistono due polinomi $p$ e $q$ tali che $\mathrm{grado}(p) < \mathrm{grado}(f)$, $\mathrm{grado}(q) < \mathrm{grado}(g)$ e infine $qf+pg=R$.

Dim. Con la stessa notazione della proposizione (4.6), si tratta di trovare i coefficienti $\alpha _ i$ di $p$ e $\beta _ j$ di $q$ tali che \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} \beta _{m-1} & \cdots & \beta _0 & \alpha _{n-1} \cdots & \alpha _0 & \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_ n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & \ldots & \\ 0 & a_ n & a_{n-1} & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & a_1 & a_0 \\ b_ m & b_{m-1} & b_{m-2} & \ldots & b_1 & b_0 & \ldots & \\ 0 & b_ m & b_{m-1} & \ldots & b_2 & b_1 & b_0 & \ldots & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \ldots & b_1 & b_0 \\ \end{bmatrix} = \\ = \begin{bmatrix} 0 & \ldots & 0 & 0 \ldots & 0 & R \end{bmatrix}\end{aligned} \] Questo sistema è risolto dai cofattori $A_1, \ldots , A_{n+m}$ dell’ultima colonna della matrice di Sylvester, per cui basta porre \[ \beta _{m-1}=A_1, \ldots \beta _0=A_ m, \alpha _{n-1}=A_{m+1}, \ldots \alpha _0 = A_{m+n}. \]
QED