2. Rette tangenti e punti singolari

(2.1) Proposizione. Se una retta $r$ di $\PP ^2(\KK )$ interseca una curva $C$ in infiniti punti, allora $r$ è una componente irriducibile di $C$, e $r\subset C$.

Dim. Se $A\neq B$ sono due punti di $r$, allora i punti di intersezione $r\cap C$ sono le soluzioni in $[s:t]\in \PP ^1(\KK )$ dell’equazione \[ g(s,t) = f(sA + tB) = 0, \] dove $f$ è il polinomio omogeneo (di grado $d$) della curva $C$. Osserviamo che $g$ è in genere un polinomio omogeneo di grado $d$ nelle variabili/indeterminate $s$ e $t$, che ha al massimo $d$ soluzioni in $\PP ^1(\KK )$ (ognuna contata con la sua molteplicità); ma può essere invece che $g(s,t)$ abbia infiniti zeri: si tratta del caso in cui $g = 0 $ (cioè è il polinomio nullo). Quindi $f(sA+tB) = 0$ per ogni $[s:t]$, da cui segue che $r\subset C$. Ma per mostrare che $r$ è una componente irriducibile di $C$ occorre mostrare che esistono due polinomi omogenei $p$ e $q$ di grado $1$ e $d-1$ rispettivamente tali che $p=0$ sia l’equazione della retta, e $f = pq$. Ora, cambiando le coordinate con una proiettività possiamo supporre che la retta $r$ abbia equazione $x=0$, e quindi che $f(x,y,u)$ sia identicamente nullo quando $x=0$, cioè \[ f(0,y,u) \equiv 0 (=0\in \KK [x,y,u]). \] Ma questo significa che nell’espressione di $f$ non ci sono monomi che non contengano il termine $x$, cioè che il polinomio omogeneo $p(x) = x$ divide $f$.
QED

(2.2) Proposizione. Sia $\KK $ algebricamente chiuso. Una curva algebrica piana $C\subset \PP ^2(\KK )$ di grado $d$ e una retta $r$ del piano non contenuta in $C$ hanno in comune $d$ punti (ciascuno contato con la sua molteplicità algebrica).

Dim. Come per la proposizione precedente (2.1), si considerino due punti distinti $A,B$ di $r$: i punti dell’intersezione sono le soluzioni $[s:t]$ dell’equazione $f(sA+tB)=0$, se $f$ è il polinomio di $C$. Se ci sono infinite soluzioni, allora $r$ è contenuta in $C$ per la proposizione (2.1). Quindi ci sono un numero finito di soluzioni. Per conlcudere la dimostrazione basta verificare che $g(s,t) = f(sA+tB)$ è un polinomio omogeneo di grado $d$ in $[s:t]$. Dato che $f$ è omogeneo di grado $d$, si ha che $g$ (che è non nullo) soddisfa \[ g(\lambda s, \lambda t) = f (\lambda s A + \lambda t B) = f(\lambda (sA+tB)) = \lambda ^ d f(sA+tB) = \lambda ^ d g(s,t), \] da cui segue che ha grado $d$.
QED

(2.3) Definizione. L’ordine di una curva $C\subset \PP ^2(\KK )$ è il massimo numero di punti allineati di $C$ (punti allineati non su una retta che è componente di $C$).

(2.4) Fatto. Se $\KK $ è algebricamente chiuso, allora l’ordine di una curva irriducibile di grado $d$ è $d$.

Data una retta $r$ e una curva $C\subset \PP ^2(\KK )$, ogni punto di $r\cap C$ è radice di un’equazione (su $r$); la sua molteplicità algebrica è indicata con $I(C,r;P)$. La molteplicità dipende dalla retta $r$: il minimo possibile è la molteplicità del punto (in $C$), come vediamo nella definizione (2.5).

(2.5) Definizione. La molteplicità di un punto $P$ di una curva $C\subset \PP ^2(\KK )$ è il minimo delle molteplicità con cui $P$ compare in $C\cap r$ al variare di $r$ nel fascio di rette per $P$. In altre parole, $P$ ha molteplicità $m_ P=m_ P(C)\in \NN $ (o punto $m$-uplo) se ogni retta che passa per $P$ interseca $C$ in $P$ con molteplicità almeno $m_ P$, e se esiste una retta per $P$ che interseca $C$ con molteplicità esattamente $m_ P$. I punti con molteplicità $m_ P=1$ sono detti regolari. I punti con molteplicità $m_ P > 1$ sono detti singolari.

(2.6) Definizione. Tra tutte le rette per $P\in C \subset \PP ^2(\KK )$, quelle che intersecano $C$ con molteplicità maggiore della molteplicità $m_ P(C)$ di $P$ sono le tangenti (principali) a $C$ in $P$.

(2.7) Esempio. Sia $f(x,y) = 0$ l’equazione affine di una curva $C$ in $\AA ^2(\KK )$ e $A\in C$ un punto di coordinate $A=(x_0,y_0)$. La parametrizzazione della retta (affine) per $A$ è, al variare di $[\alpha ,\beta ] \in \PP ^1(\KK )$,

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A + t \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}, \]

e le intersezioni si trovano risolvendo in $t$ l’equazione

\[ p(t) = f( x_0 + \alpha t, y_0 + \beta t) = 0. \]

Ora, la radice $t=0$ è semplice se e soltanto se $p’(0) \neq 0$, ed è multipla se e soltanto se $p’(0) = 0$. Ma $p’(0) = \alpha \dfrac {\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) + \beta \dfrac {\partial f}{\partial y} (x_0,y_0) $, e quindi se entrambe le derivate parziali si annullano in $A$ il punto è certamente singolare, mentre è regolare se almeno una delle due non è nulla. In questo caso la retta che ha coefficienti $[\alpha :\beta ]$ è la tangente quando questi soddisfano l’equazione

\[ \alpha \dfrac {\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) + \beta \dfrac {\partial f}{\partial y} (x_0,y_0) = 0, \]

e la soluzione è l’unica tangente. L’equazione cartesiana di tale retta tangente è perciò la seguente:

\[ \dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) = 0. \]

In coordinate omogenee, l’equazione si riscrive come

\[ x \dfrac {\partial F}{\partial x}(A^*) + y \dfrac {\partial F}{\partial y}(A^*) + u \dfrac {\partial F}{\partial u}(A^*) = 0, \]

dove $F$ è l’omogeneizzata di $f$ e $A^*$ il punto di coordinate $[x_0:y_0:1]$. Infatti, $ x_0 \dfrac {\partial F}{\partial x}(A^*) + y_0 \dfrac {\partial F}{\partial y}(A^*) + \dfrac {\partial F}{\partial u}(A^*) = d F(A^*) = 0$. Quindi i coefficienti dell’equazione della retta in coordinate omogenee sono

\[ \dfrac {\partial f}{\partial x}(A) = \dfrac {\partial F}{\partial x}(A^*), \quad \dfrac {\partial f}{\partial y}(A) = \dfrac {\partial F}{\partial y}(A^*), \quad - x_0 \dfrac {\partial f}{\partial x}(A) - y_0 \dfrac {\partial f}{\partial y}(A) = \dfrac {\partial F}{\partial u}(A^*) \]


(2.8) Definizione. Un punto doppio di $C$ è un nodo se ha due tangenti principali distinte. Altrimenti è detto cuspide, quando ha una sola tangente principale (che interseca $C$ con molteplicità $3$).

(2.9) Definizione. Gli asintoti di una curva affine $C$ sono le tangenti principali dei punti impropri di $C$.

(2.10) Definizione. Un punto regolare $P$ è un flesso se la tangente a $C$ in $P$ interseca $C$ con molteplicità almeno $3$.