4. Curve algebriche

Diciamo che due polinomi $f,g \in \KK [x_0,\ldots , x_ n]$ non nulli sono proporzionali se esiste $c\in \KK $, $c\neq 0$ tale che $g = cf$, cioè se stanno nella medesima classe di equivalenza nel proiettivizzato $\PP (\KK [x_0,\ldots , x_ n])$ (cfr. esercizio 3.38 a pagina *).

(0.13) Definizione. Sia $\KK $ un campo. Una curva algebrica in $\AA ^2(\KK )$ è una classe di equivalenza (di proporzionalità) di polinomi non costanti di $\KK [x,y]$. L’equazione della curva $[p]$ è un’equazione del tipo $p(x,y) = 0$. Il sottoinsieme

\[ C= \{ (x,y) \in \AA ^2(\KK ) : p(x,y) = 0 \} \]

è chiamato il supporto della curva. Il grado $d$ di $p$ è il grado della curva. Se $d=1$, $C$ è una retta. Se $d=2$, $C$ è una conica. Se $d=3$, $C$ è una cubica, se $d=4$, $C$ è una quartica. Se $d=5$, $C$ è una quintica, …. Se $\KK =\RR $ e si considera lo spazio affine euclideo $\EE ^2$, allora la curva è detta euclidea.

(0.14) Definizione. Sia $\KK $ un campo. Una curva algebrica proiettiva in $\PP ^2(\KK )$ è una classe di equivalenza (di proporzionalità) di polinomi omogenei di grado $d > 0$ in $\KK [x,y,u]$. Se $P$ è un polinomio omogeneo, l’equazione $P(x,y,u)=0$ è l’equazione della curva, e il sottoinsieme

\[ C = \{ [x:y:u] \in \PP ^2(\KK ) : P(x,y,u) = 0 \} \]

è il supporto della curva.

(0.15) Nota. Come per le rette e le coniche, le curve algebriche possono essere equivalenti dal punto di vista affine, euclideo o proiettivo, a seconda che ci sia una trasformazione affine, una isometria o una proiettività che le trasforma l’una nell’altra. Inoltre passando dal piano affine al suo completamento proiettivo si può definire come per le rette e per le coniche i punti impropri (punti all’infinito) di una curva affine, e la sua chiusura proiettiva.

(0.16) Nota. Si può anche estendere il campo dei coefficienti. Per esempio, una curva di $\AA ^2(\QQ )$ può essere vista anche come curva di $\AA ^2(\RR )$, la quale a sua volta puà essere immersa in $\AA ^2(\CC )$ (cfr. rette e coniche).