11. Coniche affini e coniche euclidee

(Cfr.)1

Se $C\subset \PP ^2(K)$ è una conica proiettiva (dove $K=\RR $ oppure $K=\CC $) e $\AA _0^2(K)$ è una carta affine di $\PP ^2(K)$, allora l’intersezione $C\cap \AA _0^2(K)$ si dice conica affine, o anche parte affine (al finito) della conica $C$. Se $K=\RR $ e $\AA ^2_0(K)$ è anche euclideo, allora l’intersezione si dice conica euclidea. Il problema della classificazione è analogo a quello della classificazione proiettiva: diciamo che due coniche affini $\Gamma $ e $\Gamma ’$ sono affinemente equivalenti (oppure, equivalenti dal punto di vista affine) se esiste una affinità $T\from \AA _0^2(K) \to \AA _0^2(K)$ tale che $T(\Gamma ) = \Gamma ’$.

(11.1) Se $T\from \AA ^2_0(K) \to \AA ^2_0(K)$ è una affinità, allora esiste una proiettività $f\from \PP ^2(K) \to \PP ^2(K)$ che manda $\AA ^2_0(K)$ in $\AA ^2_0(K)$ (e la retta all’infinito nella retta all’infinito) tale che per ogni $x=(x_1,x_2)\in \AA ^2_0(K)$ si ha $T(x) = f([ 1: x_1 : x_2])$. Viceversa, ogni proiettività che manda la carta affine in sé induce (nello stesso modo) una affinità sulla carta affine.

Dim. La trasformazione affine si scrive come \[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \] per certi coefficienti $a_{i,j}$ e $b_{i}$. Ma questo si può scrivere, aggiungendo la terza coordinata $x_0=1$, anche come \[ \begin{bmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b_1 & a_{1,1} & a_{1,2} \\ b_2 & a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \] Se $M$ è la matrice $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b_1 & a_{1,1} & a_{1,2} \\ b_2 & a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{bmatrix}$, si vede subito che è invertibile se e solo se $A$ è invertibile, per cui la matrice $M$ induce una proiettività $M\from \PP ^2(K) \to \PP ^2(K)$, che manda la retta all’infinito (di equazione $x_0=0$) in se stessa, e il piano $\AA _0^2(K) = \{ [x_0:x_1:x_2] : x_0 \neq 0 \} $ in sé. Viceversa, è facile vedere che una proiettività che manda la retta all’infinito in sé, in particolare deve mandare i punti $[0:1:0]$ e $[0:0:1]$ nella retta all’infinito, per cui la matrice di una proiettività di questo tipo si scrive come \[ \begin{bmatrix} m_{1,1} & 0 & 0 \\ m_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ m_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{bmatrix} \] Ma $m_{1,1} \neq 0 $, altrimenti la matrice è singolare, e dato che la proiettività è definita a meno di una costante, si può supporre (dividendo per $m_{1,1}$ tutti i coefficienti $m_{i,j}$) senza perdere in generalità che $m_{1,1} = 1$.
QED

(11.2) Teorema.[Forme canoniche su affini reali] Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in $\AA ^2(\RR )$:

  1. $x^2 + y^2 - 1 = 0 $ (ellisse/circonferenza).

  2. $x^2 - y^2=1$ (iperbole).

  3. $y-x^2=0$ (parabola).

  4. $x^2 - y^2 = 0$ (iperbole degenere: due rette secanti).

  5. $x^2 = 1 $ (parabola degenere: due rette parallele).

  6. $x^2 = 0 $ (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti).

Ogni conica $C\subset \AA ^2(\RR )$ con più di un punto è affinemente equivalente ad una e una sola delle coniche dell’elenco. Le coniche con al massimo un punto sono:
  1. $x^2 + y^2 + 1=0$ (ellisse a punti non reali, $\emptyset $)

  2. $x^2+y^2 = 0$ (ellisse degenere).

  3. $x^2 + 1=0$ (parabola degenere a punti non reali, $\emptyset $)


Dim. Scriviamo l’equazione (affine) della conica come

\[ {\vphantom {\! x}}^\mathrm {t}\! x M x + 2 {\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b x + c = 0, \]

dove $M$ è una matrice simmetrica $2\times 2$, $b$ un vettore $2\times 1$ e c uno scalare. Se cambiamo variabile mediante una affinità del tipo $x = A y$ (dove $A$ è invertibile), allora l’equazione diventa

\[ {\vphantom {\! y}}^\mathrm {t}\! y {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A M A y + 2 {\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b A y + c = 0. \]

Possiamo quindi diagonalizzare $M$ mediante la matrice $A$ (teorema di Sylvester), e supporre che $M$ è diagonale $M= \begin{bmatrix} m_{1,1} & 0 \\ 0 & m_{2,2} \\ \end{bmatrix}$. Tramite una traslazione del tipo $y = v + z$ possiamo poi trasformare l’equazione in

\[ ({\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! v + {\vphantom {\! z}}^\mathrm {t}\! z) M (v+z) + 2 {\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b (v+z) + c = 0. \]\[ {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! vMv + 2 {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! v M z + {\vphantom {\! z}}^\mathrm {t}\! z M z + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b v + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b z + c = 0 \]\[ {\vphantom {\! z}}^\mathrm {t}\! z M z + 2 {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! v M z + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b z + {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! vMv + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b v + c = 0. \]

Se $\det (M) \neq 0$ (cioè $M$ è invertibile), basta prendere $v$ tale che $2{\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! v M + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b = 0$, per trasformare l’equazione in

\[ {\vphantom {\! z}}^\mathrm {t}\! z M z + {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! vMv + 2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b v + c = 0, \]

cioè esistono tre costanti $a_1=m_{1,1}$, $a_2=m_{2,2}$ e $a_3=2{\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! bv + c$ tali che l’equazione diventa

\[ a_1 z_1^2 + a_2 z_2^2 + a_3 = 0. \]

Abbiamo mostrato che se $\det (M)\neq 0$ si può comunque diagonalizzare la matrice mediante trasformazioni affini. Se invece $\det (M) = 0 $ (se $M$ non è invertibile), potrebbe essere che non esiste tale $v$. Dal momento che $M$ è diagonale,

\[ \begin{split} {\vphantom {\! v}}^\mathrm {t}\! v M + {\vphantom {\! b}}^\mathrm {t}\! b & = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} m_{1,1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} m_{1,1} v_1 + b_1 & b_2 \end{bmatrix}\end{split} \]

quindi almeno è possibile trovare $v$ per cui $m_{1,1} v_1 + b_1 = 0$: l’equazione quindi, dopo la traslazione, si può scrivere come

\[ m_{1,1} x_1^2 + 2 b_2 x_2 + c = 0. \]

per una certa costante $c$. Ulteriori cambi di coordinate (tenendo conto che si possono prendere radici quadrate di numeri positivi) ci portano alla lista dell’enunciato.

Per mostrare che non sono tra loro equivalenti, ragioniamo come segue: ad ogni conica della lista possiamo associare la chiusura proiettiva e il numero di punti all’infinito. Se le coniche proiettive associate e il numero di punti all’infinito di due coniche $\gamma $ e $\gamma ’$ non sono uguali, allora le due coniche non possono essere equivalenti dal punto di vista affine.

  1. $x^2 + y^2 - 1 = 0 $ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica non degenere senza punti all’infinito.

  2. $x^2 - y^2=1$ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica non degenere con due punti distinti all’infinito.

  3. $y-x^2=0$ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica non degenere con un solo punto all’infinito.

  4. $x^2 - y^2 = 0$ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica degenere con due punti all’infinito.

  5. $x^2 = 1 $ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica degenere con un solo punto all’infinito.

  6. $x^2 = 0 $ $\implies $ la chiusura in $\PP ^2(\RR )$ è una conica doppiamente degenere.

QED

In modo analogo si può dimostrare il seguente teorema di classificazione.

(11.3) Teorema.[Forme canoniche su $\CC $] Ogni conica di $\AA ^2(\CC )$ è equivalente dal punto di vista affine ad una (e una sola) delle seguenti:

  1. $x^2 + y^2 = 1$ (conica a centro).

  2. $y = x^2 $ (parabola).

  3. $x^2 + y^2 = 0$ (conica a centro degenere: due rette).

  4. $x^2 = 1$ (parabola degenere: due rette parallele).

  5. $x^2 = 0 $ (conica doppiamente degenere: retta doppia).


(11.4) Nota. Su $\CC $ (o, in generale, su qualisiasi campo algebricamente chiuso), non si distingue tra iperbole o ellisse: in entrambi i casi ci sono due punti di intersezione all’infinito.

(11.5) Teorema.[Forme canoniche su affini euclidee] Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in $\EE ^2$, per $a,b > 0$:

  1. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ (ellisse/circonferenza).

  2. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ (iperbole).

  3. $y=ax^2$ (parabola).

Ogni conica $C\subset \AA ^2(\RR )$ non degenere con più di un punto è isometrica (congruente) ad una e una sola delle coniche dell’elenco.
Dim. Il procedimento è come quello della dimostrazione del teorema precedente, con la limitazione che si deve diagonalizzare $M$ mediante trasformazioni ortogonali e che le similitudini non si possono più usare (si possono usare solo traslazioni e trasformazioni ortogonali). I dettagli della dimostrazione si possono facilmente dedurre dal procedimento usato sopra (vedi esercizio 3.45).
QED

(11.6) Nota. Supponiamo che $\AA ^2(\RR ) = \AA ^2_0(\RR ) \subset \PP ^2(\RR )$. Sia

\[ M= \begin{bmatrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix} \]

la matrice associata all’equazione di una conica affine, $C$ il suo completamento proiettivo, e $A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{bmatrix}$ il minore $2\times 2$. Si può vedere che, mediante una trasfomazione affine, $A$ viene trasformata in $A’ = {\vphantom {\! T}}^\mathrm {t}\! T A T$, per cui il segno e la nullità di $\det (A)$ vengono conservati. Si può dimostrare (vedi esercizio 3.43) che se $C$ è una conica non degenere allora

\[ \begin{cases} \det (A) = 0 & \text {se $C$ è una parabola} \\ \det (A) < 0 & \text {se $C$ è una iperbole} \\ \det (A) > 0 & \text {se $C$ è un’ellisse} \end{cases} \]

Lo stesso vale per coniche euclidee.


Footnotes

  1. Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 4, § 31 [1].