10. Polare e tangente ad una conica

Se $K$ è un campo, una retta $r$ può essere detta tangente ad una conica non degenere $C$ se:

  1. la retta $r$ interseca la conica $C$ in un solo punto.

  2. la retta $r$ è la polare di un punto della conica $C$.

  3. il polo della retta $r$ è un punto della conica $C$.

Per definizione di polarità si ha che $2 \ref{pos0097} \iff 3 \ref{pos0098}$, e questa è la definizione (9.12). La $1 \ref{pos0096}$ è la definizione (7.18). Ma queste due definizioni sono equivalenti? La polarità rispetto a $C$ è una corrispondenza biunivoca tra punti e rette in $\PP ^2(K)$, quindi la polare di un punto $P\in C$ non ha altre intersezioni con $C$ (altrimenti, se $p$ fosse la polare di $P$, e $Q\in C\cap p$ fosse un altro punto $P\neq Q$, dato che $Q$ sta sulla polare di $P$, allora $P$ dovrebbe stare sulla polare di $Q$, che passa per $Q$ dato che $Q\in C$. Ma allora la polare di $Q$ sarebbe l’unica retta che passa per i due punti $P$ e $Q$, che è $r$: ci sarebbero due punti distinti con una polare sola. Di conseguenza 2 $\implies $ 1. Supponiamo invece che $r$ sia una retta che interseca $C$ in un solo punto, che chiamiamo $A$. Allora se $B\neq A$ è un altro punto di $r$, l’unica soluzione di $r\cap C$ dovrebbe essere $A$, cioè (se $M$ indica la matrice simmetrica associata a $C$ e $[s:t]$ le coordinate omogenee in $r$, per cui risulta $\, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! AMA = 0 \neq \, {\vphantom {\! B}}^\mathrm {t}\! BMB$) non ci dovrebbero essere punti del tipo $sA+tB$ su $C$ con $t\neq 0$, e quindi l’equazione in $s,t$

\[ \begin{aligned} (s\, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A + t \, {\vphantom {\! B}}^\mathrm {t}\! B) M ( sA+tB) & = 0 \\ s^2 \, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A M A + 2st \, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A M B + t^2 \, {\vphantom {\! B}}^\mathrm {t}\! B M B & = 0 \\ 2s \, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A M B + t \, {\vphantom {\! B}}^\mathrm {t}\! B M B & = 0 \end{aligned} \]

deve avere coefficiente di $s$ nullo, cioè

\[ \, {\vphantom {\! A}}^\mathrm {t}\! A M B = 0. \]

Ma allora $B$ è sulla polare di $A$, e quindi $r$ coincide con la polare di $A$.

Qual è l’affermazione corrispondente a “una retta proiettiva incontra una conica in $0,1,2$ punti”?

«Per un punto $Q$ passano $0$, $1$ o $2$ rette tangenti alla conica. Ne passa una sola se e soltanto se il punto $Q$ giace sulla conica.»

Consideriamo la corrispondenza di polarità, e il fatto che l’insieme di tutte le rette in $\PP ^2$ è a sua volta un piano proiettivo $\hat{\PP }^2$ (che ha per coordinate omogenee i coefficienti delle equazioni delle rette). Il fascio di rette per $Q$ è una retta in $\hat{\PP }^2$. La polare di $Q$ è una retta in $\hat{\PP }^2$, che può incontrare $C$ in $0$, $1$ o $2$ punti. Se il punto è uno solo, allora la polare di $Q$ è una tangente a $C$, e quindi $Q\in C$. Viceversa, se $Q$ è sulla conica allora ha una sola tangente. Ora, in ogni caso le polari di punti della polare di $Q$ passano per $Q$, e quindi le polari di punti di $C$ sulla polare di $Q$ passano per $Q$, e sono le (0 o 2) tangenti a $P$ passanti per $Q$. Possiamo vedere nell’esercizio 3.52 che l’insieme di tutte le rette tangenti a $C$, visto in $\hat{\PP }^2$, è a sua volta una conica $\hat C$: allora le tangenti a $C$ passanti per $P$ non sono altro che le 0,1,2 intersezioni di $\hat C$ con la retta corrispondente al fascio di rette per $Q$.