8. Classificazione proiettiva delle coniche

(8.1) Teorema.[Forme canoniche su $\RR $] Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in $\PP ^2(\RR )$:

  1. $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$ (conica senza punti reali: $\emptyset $).

  2. $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$ (conica non degenere).

  3. $x_0^2 + x_1^2 = 0$ (conica degenere: un punto $[0:0:1]$).

  4. $x_0^2 - x_1^2 = 0$ (conica degenere: due rette $x_0=x_1$, $x_0=-x_1$).

  5. $x_0^2 = 0$ (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti $x_0=0$, $x_0=0$).

Ogni conica $C\subset \PP ^2(\RR )$ è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3, 4. 5.
Dim. Abbiamo visto sopra che ogni conica nel piano proiettivo può essere riscritta, mediante una proiettività, come una delle coniche dell’elenco. Dobbiamo mostrare che non sono proiettivamente equivalenti per stabilire l’unicità della forma canonica. È chiaro che la 3 non è equivalente alle altre, dato che è formata da solo un punto mentre le altre hanno infiniti punti. Dato che una proiettività porta rette in rette, 4 e 5 non sono equivalenti: altrimenti la proiettività trasformerebbe una retta nell’unione di due rette distinte, cioè una retta coinciderebbe con l’unione di due rette distinte. Per concludere la dimostrazione dobbiamo dimostrare che la conica generica non è proiettivamente equivalente né ad una retta né all’unione di due rette (cioè che l’insieme delle soluzioni di una equazione con matrice non singolare non può essere proiettivamente equivalente all’insieme di soluzioni di una equazione con matrice singolare). Mostriamo a questo scopo che l’intersezione di una retta con una conica non degenere ha sempre solo al massimo un numero finito di punti. A meno di un cambio di coordinate $x=x_0 + x_1$, $y=x_0 - x_1$ e $z=x_2$ possiamo supporre che l’equazione della conica sia $xy-z^2 = 0$. L’equazione di una retta generica $l$ in coordinate omogenee è $ax + by + cz = 0 $. Consideriamo la carta affine di coordinate $[x:y:1]$. Se la retta $l$ coincide con la retta all’infinito (di equazione $z=0$), allora le intersezioni sono i due punti $[0:1:0]$ e $[1:0:0]$. Altrimenti, se assumiamo che l’intersezione tra la conica e la retta è composta da infiniti punti, allora ce ne sono infiniti nella parte affine dell’intersezione, dal momento che l’intersezione della conica con $l$ e con la retta all’infinito è contenuta nell’intersezione di $l$ con la retta all’infinito, che ha un punto solo. Ma nella carta affine le intersezioni sono le soluzioni del sistema di equazioni \[ \begin{cases} xy = 1\\ ax + by + c = 0\\ \end{cases} \] con $a$ oppure $b$ diversi da zero. Questo può avere infinite soluzioni soltanto per $a=b=c=0$, contro l’ipotesi.
QED

(8.2) Teorema.[Forme canoniche su $\CC $] Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in $\PP ^2(\CC )$:

  1. $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$ (conica generica non degenere).

  2. $x_0^2 + x_1^2 = 0$ (conica degenere: due rette).

  3. $x_0^2 = 0$ (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti $x_0=0$, $x_0=0$).

Ogni conica $C\subset \PP ^2(\CC )$ è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3.
Dim. Dato che $\CC $ è algebricamente chiuso, si può usare la classificazione delle forme bilineari simmetriche su $\CC $ di (7.13) per vedere che ogni conica di $\PP ^2(\CC )$ è proiettivamente equivalente ad una delle tre coniche dell’elenco (in funzione del rango della matrice associata). Poi si prosegue come nella dimostrazione della proposizione precedente (vedi anche esercizio 3.36).
QED