5. Inversione, polarità e applicazioni (opzionale)

Ricordiamo prima una costruzione semplice della geometria Euclidea1: in un triangolo rettangolo il prodotto dell’ipotenusa per la proiezione di un cateto è uguale al quadrato del cateto.

Se $\omega \subset \EE ^2$ è una circonferenza di centro $O$ e raggio $k$, allora è possibile definire l’inversione circolare rispetto a $\omega $2

\[ \EE ^2\smallsetminus \{ O\} \to \EE ^2\smallsetminus \{ O\} \]

ponendo

\[ P \mapsto O + \dfrac {k^2}{\left\Vert \overrightarrow {OP} \right\Vert ^2} \overrightarrow {OP}. \]

L’immagine $P’$ di $P$ è l’unico punto tale che $O$, $P$ e $P’$ sono allineati, $P$ e $P’$ stanno dalla stessa parte rispetto a $O$, e $\left\Vert OP\right\Vert \left\Vert OP’\right\Vert = k^2$ (si veda la figura

img #29
Figura 3.18: Inversione circolare

* ).

(5.1) Proposizione. L’inversione manda la circonferenza $\omega $ in sé, l’interno all’esterno e l’esterno nell’interno.

Per costruire l’immagine inversa di $P\not\in \omega $, $P\neq O$, basta quindi, se $P$ è interno a $\omega $, tracciare la corda per $P$, e intersecare l’asse della corda con le tangenti a $\omega $ negli estremi della corda. Se $P$ è esterno, le due tangenti a $\omega $ toggano $\omega $ negli estremi di una corda, il cui punto medio è l’inverso di $P$.

(5.2) Proposizione. L’inversa di una retta $a$ rispetto alla circonferenza $\omega $ tale che $O\not\in a$ è una circonferenza passante per $O$, con diametro per $O$ ortogonale a $a$. Viceversa, l’inversione di una circonferenza per $O$ è una retta ortogonale al diametro per $O$ (cfr. figura

img #30
Figura 3.19: L’inversa di una retta è una circonferenza
*).
Dim. Sia $A$ la proiezione ortogonale sulla retta $a$ di $O$, e $A’$ il suo inverso rispetto ad $\omega $. Sia $\gamma $ la circonferenza che ha per diametro $OA’$. Per ogni $P\in a$, la semiretta $OP$ interseca $\gamma $ in un unico punto $P’$ diverso da $O$. Il triangolo $OP’A’$ è rettangolo in $P’$ e simile a $OAP$, quindi \[ \dfrac {OP}{OA} = \dfrac {OA’}{AP’} \implies OP \cdot OP’ = OA \cdot OA’ = k^2. \]
QED

(5.3) Nota. L’inversore di Peaucellier (figura

img #31
Figura 3.20: Inversore di Peaucellier

* ) è un meccanismo che consente di costruire l’inversa di una curva, e per la proposizione (5.2) risolve quindi il problema (molto importante per la meccanica dell’800) di determinare un moto rettilineo senza parti che strisciano o senza “righe” che possono non essere rette3. Si consideri la figura

img #32
Figura 3.21: Schema della cella di Peaucellier

* : i punti $P$ e $P’$ sono inversi rispetto alla circonferenza di centro $O$ e raggio $\sqrt {a^2-b^2}$. Infatti

\[ \begin{aligned} OP \cdot OP’ & = (OX - PX)(OX+PX) = OX^2 - PX^2 \\ & = OX^2 + RX^2 - RX^2 - PX^2 = a^2 - b^2. \end{aligned} \]

Quindi se $S$ e $O$ sono vincolati (fissi), muovendo $P$ lungo una circonferenza con centro in $S$ passante per $O$ l’immagine $P’$ si muoverà lungo una retta. Un inversore virtuale si può trovare alla pagina

http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/var/ggb/peaucellier.html,

insieme ad altre applet di geometria dinamica in

http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/var

Lo studente è fortemente consigliato a provare ad utilizzare le applet di geometria dinamica, e anche a PRODURNE DI PROPRIE! Il software si chiama geogebra ed è molto facile da usare [15].

(5.4) Proposizione. L’inversione di una circonferenza che non passa per $O$ è una circonferenza che non passa per $O$.

Dim. Cfr. [5], Theorem 5.44 pag. 113.
QED

Ora consideriamo, data la circonferenza $\gamma $ come sopra, l’applicazione che ad ogni punto $P\in \EE ^\smallsetminus \{ O\} $ associa l’unica retta, detta la polare di $P$ rispetto a $\omega $, costruita come segue: se $P’$ è l’inversione circolare di $P$, allora la polare di $P$ è l’unica retta per $P’$ ortogonale a $OP’$ (figura

img #33
Figura 3.22: Inversione circolare e polo

*). Al contrario, per ogni retta di $\EE ^2$ che non passa per $O$ possiamo trovare il polo rispetto alla circonferenza $\omega $. La corrispondenza punti–rette è detta polarità.

(5.5) Proposizione. La polare di $P$ passa per $P$ se e soltanto se $P$ è su $\omega $, e la sua polare è la tangente a $\omega $ in $P$.

(5.6) Proposizione. Se $a$ e $b$ sono le polari di due punti $A$ e $B$, allora $A\in b \iff B \in a$.

(5.7) Definizione. I punti $A$ e $B$ che soddisfano $A\in b$ e $B\in a$ come nella (5.6) si dicono punti coniugati. Le rette $a$ e $b$ sono rette coniugate.

Quindi la polare di $A$ è l’insieme dei punti coniugati con $A$, e il polo di una retta $a$ è l’intersezione di tutte le rette coniugate con $a$. I punti di $\omega $ sono auto-coniugati, e le tangenti a $\omega $ sono coniugate di sé stesse.

(5.8) Proposizione. Il polo di una secante $AB$ (che non passa per $O$) è il punto di intersezione delle tangenti in $A$ e $B$ a $\omega $. La polare di un punto esterno a $\omega $ è la retta che congiunge i punti di contatto delle due tangenti per quel punto. Il polo di una retta $r$ non per $O$ è l’intersezione di due polari di due punti di $r$ fuori da $\omega $. La polare di un punto $P\neq O$ è la retta che congiunge i poli di due secanti che passano per $P$.

(5.9) Definizione. Se $C$ è una curva liscia, allora la curva reciproca di $C$ è il luogo dei punti di tutti i poli (rispetto alla circonferenza $\omega $) delle rette tangenti a $C$.

Nelle figure
img #34
Figura 3.23: Ellisse reciproca di una circonferenza

*,

img #35
Figura 3.24: Parabola reciproca di una circonferenza

*,

img #36
Figura 3.25: Iperbole reciproca di una circonferenza

* ci sono le curve reciproche di una circonferenza. Come vediamo nella proposizione (5.10), esse sono coniche.

(5.10) Proposizione. La curva reciproca di una circonferenza di centro $A$ e raggio $r$ è una conica che ha fuoco in $O$ e eccentricità \[ e = \dfrac {OA}{r}. \] La polare del centro $A$ della circonferenza è la direttrice della conica.

Dim. Esercizio 3.18. Si vedano anche le figure
img #37
Figura 3.26: Dimostrazione di (5.10)
*,
img #38
Figura 3.27: Dimostrazione di (5.10)
*,
img #39
Figura 3.28: Dimostrazione di (5.10)
*, in cui $P$ è il polo (rispetto a $\omega $) della retta tangente $p$ che tocca la circonferenza $\alpha $ in $T$ (punto di contatto). L’inverso di $A$ è $A’$, e la retta $a$ è la direttrice. Quindi occorre fare vedere che $\dfrac {OP}{PK} = e$.
QED




Footnotes

  1. A volte viene citato come una proposizione del I libro degli Elementi di Euclide, ma in effetti si tratta del Lemma precedente la proposizione 33 del libro X degli Elementi di Euclide. Si confronti con la pagina di wikipedia in italiano su Euclide. Nella letteratura didattica italiana è noto come primo teorema di Euclide, e viene utilizzato per la dimostrazione del Teorema di Pitagora. La dimostrazione del Teorema di Pitagora (I.47) che si trova nel primo libro degli Elementi è però un’altra. È interessante vedere cosa sono i “teoremi di Euclide” in altre lingue: in inglese e francese sono teoremi sui numeri primi (se $p$ è primo e divide $ab$, allora divide $a$ o divide $b$; i numeri primi sono infiniti) http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html. In spagnolo sono sia quelli sui numeri primi che il teorema de la altura (cioè il primo teorema di Euclide sopra citato). In tedesco il primo teorema di Euclide viene chiamato Kathetensatz e il secondo Höhensatz des Euklid, ma il Satz von Euklid rimane l’esistenza di infiniti numeri primi.
  2. Jakob Steiner, 1830. Il noto matematico Jakob Steiner (1796–1863) è da non confondere con altri Steiner, come il mago antroposofico Rudolf, il musicista Max, il wrestler Scott, il nazista Felix o il letterato George.
  3. cfr. http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/geomeccan0.php?id=0.