2. Equazioni in coordinate polari

In $\EE ^2$, sia $\gamma $ una conica di fuoco $F$, direttrice $d$ e eccentricità $e$. Supponiamo per prima cosa, a meno di traslazioni, che il fuoco sia l’origine $O$. Allora chiamiamo, con un abuso di notazione, $d$ la distanza della direttrice dal fuoco $F=O$. Sarà certamente $d > 0$. Sia $\vn $ il vettore normale alla direttrice. Se $P$ è un punto di $\EE ^2$, la sua distanza da $O$ sarà $\left\Vert \overrightarrow {OP}\right\Vert $. La distanza di $P$ dalla direttrice è uguale alla norma della proiezione su $\vn $ di un vettore che parte da $P$ e arriva alla direttrice. Basta supporre che $\vn $ punti dal fuoco alla direttrice, e quindi

\[ O+d\vn [= d\vn ] \]

è un punto della direttrice, e la distanza di $P$ dalla direttrice è il modulo di

\[ \langle P-O - d\vn , \vn \rangle = \langle \overrightarrow {OP}, \vn \rangle - d. \]

L’equazione della conica si scrive quindi come (abuso di notazione: $X=X-O$)

\[ \left\Vert X\right\Vert = e |X\cdot \vn - d|. \]

Sia $\theta $ l’angolo tra $X-O$ e $\vn $ e $r=\left\Vert X\right\Vert $. In coordinate polari $(r,\theta )$ l’equazione appena vista si scrive come

\[ r = e |r \cos \theta - d|, \]

cioè

\[ r = e (r \cos \theta - d) \bigvee r = - e (r \cos \theta - d). \]\[ \Updownarrow \]\[ r = \dfrac {ed}{e \cos \theta - 1} \bigvee r= \dfrac {ed}{e \cos \theta + 1 }. \]

Quando $e\leq 1$, si ha $e\cos \theta -1 \leq 0$, quindi (dato che $r > 0$) la prima delle due in questo caso non può avere soluzioni.

Quindi:

(2.1) Proposizione. Sia $\gamma $ una conica con fuoco $O$ e direttrice ortogonale a $\vn $ come sopra, e di eccentricità $e$. Se $0 < e\leq 1$ (ellisse e parabola), la sua equazione polare è \[ r= \dfrac {ed}{e \cos \theta + 1 }, \] altrimenti se $e > 1$ (iperbole) è \[ r= \dfrac {ed}{e \cos \theta \pm 1 }, \] dove le due equazioni danno luogo ai due rami della iperbole.