9. Dimostrazione del Teorema Egregium di Gauss e geodetiche (opzionale)

Cominciamo a descrivere alcuni insiemi di equazioni, che possiamo facilmente derivare da quelle dimostrate fino ad ora.

(9.1) [Equazioni di Weingarten] \[ \begin{aligned} \vN _ u & = \dfrac {fF-eG}{EG-F^2} P_ u + \dfrac {eF-fE}{EG-F^2} P_ v\\ \vN _ v & = \dfrac {gF-fG}{EG-F^2} P_ u + \dfrac {fF-gE}{EG-F^2} P_ v \end{aligned} \]

Dim. L’operatore di forma è proprio definito come $ S_ P = \mathbf{I}^{-1} \mathbf{II}$, e si ha per quanto visto sopra (1)\begin{equation} \vN _ u = -a P_ u - b P_ v,\quad \vN _ v = -c P_ u - d P_ v \end{equation} dove \[ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \mathbf{I}^{-1}\mathbf{II}= \dfrac {1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} Ge-Ff & Gf-Fg \\ -Fe+Ef & -Ff+Eg \end{bmatrix} \] per (5), da cui \[ \begin{aligned} a & = \dfrac {Ge-Ff}{EG-F^2}, & & & b & = \dfrac {-Fe+Ef}{EG-F^2}, \\ c & = \dfrac {Gf-Fg}{EG-F^2}, & & & d & = \dfrac {-Ff+Eg}{EG-F^2}\, . \\ \end{aligned} \]
QED

Consideriamo di nuovo il triedro superficie composto dai vettori $P_ u$, $P_ v$ e $\vN $. Si tratta di una base dello spazio tangente, e quindi vale la seguente proposizione-definizione:

(9.2) [Simboli di Christoffel] Esistono funzioni $\Gamma ^{u}_{uu}$, $\Gamma ^{v}_{uu}$, $\Gamma ^{u}_{uv} = \Gamma ^{u}_{vu}$, $\Gamma ^{v}_{uv} = \Gamma ^{u}_{vu}$, $\Gamma ^{u}_{vv}$ e $\Gamma ^{v}_{vv}$ tali che \[ \begin{aligned} P_{uu} & = \Gamma ^ u_{uu} P_ u + \Gamma ^{v}_{uu} P_ v + e \vN \\ P_{uv} & = \Gamma ^{u}_{uv} P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v + f \vN \\ P_{vv} & = \Gamma ^{u}_{vv} P_ u + \Gamma ^{v}_{vv} P_ v + g \vN . \end{aligned} \]

(Da $P_{uv}=P_{vu}$ seguono le simmetrie di $\Gamma ^{i}_{jk}$). Dim. Basta osservare che i coefficienti $e,f,g$ sono uguali alle componenti di $P_{uu}$, $P_{uv}$ e $P_{vv}$ su $\vN $, come visto in (6.2).
QED

(9.3) [Equazioni di Gauss I] \[ \left\{ \begin{aligned} \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uu} \\ \Gamma ^ v_{uu} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} E_ u \\ F_ u - \frac{1}{2} E_ v \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uv} \\ \Gamma ^ v_{uv} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} {E_ v} \\ \frac{1}{2} G_ u \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{vv} \\ \Gamma ^ v_{vv} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} F_ v - \frac{1}{2} G_ u \\ \frac{1}{2} G_ v \end{bmatrix}\end{aligned}\right. \]

Dim. Moltiplichiamo per $P_ u$ e $P_ v$ le equazioni di (9.2): \[ \begin{aligned} P_{uu} \cdot P_ u & = \Gamma ^ u_{uu} P_ u\cdot P_ u + \Gamma ^{v}_{uu} P_ v\cdot P_ u \\ P_{uv} \cdot P_ u & = \Gamma ^{u}_{uv} P_ u\cdot P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v\cdot P_ u \\ P_{vv} \cdot P_ u & = \Gamma ^{u}_{vv} P_ u\cdot P_ u + \Gamma ^{v}_{vv} P_ v\cdot P_ u \\ P_{uu} \cdot P_ v & = \Gamma ^ u_{uu} P_ u \cdot P_ v+ \Gamma ^{v}_{uu} P_ v \cdot P_ v \\ P_{uv} \cdot P_ v & = \Gamma ^{u}_{uv} P_ u \cdot P_ v + \Gamma ^ v_{uv} P_ v \cdot P_ v \\ P_{vv} \cdot P_ v & = \Gamma ^{u}_{vv} P_ u \cdot P_ v + \Gamma ^{v}_{vv} P_ v \cdot P_ v\, . \end{aligned} \] \[ \implies \left\{ \begin{aligned} \Gamma ^ u_{uu} E + \Gamma ^{v}_{uu} F & = P_{uu} \cdot P_ u & = \dfrac {1}{2} \dfrac {\partial }{\partial u} ( P_ u \cdot P_ u) = \frac{1}{2} E_ u \\ \Gamma ^{u}_{uv} E + \Gamma ^ v_{uv}F & = P_{uv} \cdot P_ u & = \dfrac {1}{2} \dfrac {\partial }{\partial v} ( P_ u \cdot P_ u ) = \frac{1}{2} E_ v \\ \Gamma ^{u}_{vv} E + \Gamma ^{v}_{vv} F & = P_{vv} \cdot P_ u \\ \Gamma ^ u_{uu} F + \Gamma ^{v}_{uu} G & = P_{uu} \cdot P_ v \\ \Gamma ^{u}_{uv} F + \Gamma ^ v_{uv} G & = P_{uv} \cdot P_ v & = \dfrac {1}{2} \dfrac {\partial }{\partial u} (P_ v \cdot P_ v) = \frac{1}{2} G_ u \\ \Gamma ^{u}_{vv} F + \Gamma ^{v}_{vv} G & = P_{vv} \cdot P_ v & = \dfrac {1}{2} \dfrac {\partial }{\partial v} (P_ v \cdot P_ v) = \frac{1}{2} G_ v \end{aligned}\right. \] Ora, osserviamo che \[ \begin{aligned} F_ u = \dfrac {\partial }{\partial u} (P_ u \cdot P_ v) & = P_{uu} \cdot P_ v + P_{u} \cdot P_{uv} & = P_{uu} \cdot P_ v + \dfrac {1}{2} E_ v \\ F_ v = \frac{\partial }{\partial v} (P_ u \cdot P_ v) & = P_{uv} \cdot P_ v + P_ u \cdot P_{vv} & = \frac{1}{2} G_ u + P_{vv} \cdot P_ u \\ \end{aligned} \] e dunque \[ \begin{aligned} \Gamma ^{u}_{vv} E + \Gamma ^{v}_{vv} F & = P_{vv} \cdot P_ u = F_ v - \frac{1}{2} G_ u \\ \Gamma ^ u_{uu} F + \Gamma ^{v}_{uu} G & = P_{uu} \cdot P_ v = F_ u - \frac{1}{2} E_ v \, . \end{aligned} \] Scritto in forma matriciale \[ \left\{ \begin{aligned} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uu} \\ \Gamma ^ v_{uu} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} E_ u \\ F_ u - \frac{1}{2} E_ v \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{uv} \\ \Gamma ^ v_{uv} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} {E_ v} \\ \frac{1}{2} G_ u \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Gamma ^ u_{vv} \\ \Gamma ^ v_{vv} \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} F_ v - \frac{1}{2} G_ u \\ \frac{1}{2} G_ v \end{bmatrix}\end{aligned}\right. \] da cui segue la tesi.
QED

Derivando rispetto a $u$ e $v$ le equazioni di (9.2) (trascurando le derivate non miste), otteniamo

\[ \begin{aligned} P_{uvu} = \dfrac {\partial }{\partial u} (P_{uv}) & = \dfrac {\partial }{\partial u}\left[ \Gamma ^{u}_{uv} P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v + f \vN \right] \\ P_{vvu} = \dfrac {\partial }{\partial u} (P_{vv}) & = \dfrac {\partial }{\partial u} \left[ \Gamma ^{u}_{vv} P_ u + \Gamma ^{v}_{vv} P_ v + g \vN \right] \\ P_{uvv} = \dfrac {\partial }{\partial v} (P_{uv}) & = \dfrac {\partial }{\partial v} \left[ \Gamma ^{u}_{uv} P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v + f \vN \right] \\ P_{uuv} = \dfrac {\partial }{\partial v} (P_{uu}) & = \dfrac {\partial }{\partial v} \left[ \Gamma ^ u_{uu} P_ u + \Gamma ^{v}_{uu} P_ v + e \vN \right] \\ \end{aligned} \]

Quindi, derivando e sostituendo le espressioni di (9.2) e (1) \[ P_{uvu} = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) P_ u + \Gamma ^{u}_{uv} P_{uu} + \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^ v_{uv} \right) P_ v + \Gamma ^ v_{uv} P_{uv} + f_ u \vN + f \vN _ u = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) P_ u + \Gamma ^{u}_{uv} \left( \Gamma ^ u_{uu} P_ u + \Gamma ^{v}_{uu} P_ v + e \vN \right) + \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^ v_{uv} \right) P_ v + \Gamma ^ v_{uv} \left( \Gamma ^{u}_{uv} P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v + f \vN \right) + f_ u \vN + f \left( -a P_ u - b P_ v \right) = \left( \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) + \Gamma ^{u}_{uv} \Gamma ^ u_{uu} + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - af \right) P_ u \\ + \left( \Gamma ^{u}_{uv} \Gamma ^{v}_{uu} + \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^ v_{uv} \right) + \Gamma ^ v_{uv}\Gamma ^ v_{uv} -bf \right) P_ v \\ + \left( e \Gamma ^{u}_{uv}+ f \Gamma ^ v_{uv} + f_ u \right) \vN \, . \] Analogamente \[ P_{uuv} = \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) P_ u + \Gamma ^ u_{uu} P_{uv} + \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^{v}_{uu} \right) P_ v + \Gamma ^{v}_{uu} P_{vv} + e_ v \vN + e \vN _ v = \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) P_ u + \Gamma ^ u_{uu} \left( \Gamma ^{u}_{uv} P_ u + \Gamma ^ v_{uv} P_ v + f \vN \right) + \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^{v}_{uu} \right) P_ v + \Gamma ^{v}_{uu} \left( \Gamma ^{u}_{vv} P_ u + \Gamma ^{v}_{vv} P_ v + g \vN \right) + e_ v \vN + e \left( -c P_ u - d P_ v \right) = \left( \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) + \Gamma ^ u_{uu} \Gamma ^ u_{uv} + \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv} -ec \right) P_ u \\ + \left( \Gamma ^ u_{uu} \Gamma ^ v_{uv} + \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^{v}_{uu} \right) + \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ v_{vv} -ed \right) P_ v \\ + \left( \Gamma ^ u_{uu} f + \Gamma ^{v}_{uu} g + e_ v \right) \vN \, . \]

Ora, dato che $P_{uuv} = P_{uvu}$ e $P_ u$, $P_ v$, $\vN $ costituisce una base, uguagliando i coefficienti si ottengono le tre equazioni

{($P_u$)-1}, {($P_v$)-1}, {($\vN $)-1}\begin{align} \tag {($P_ u$)-1} \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) + [\text {canceled:}\Gamma ^ u_{uu} \Gamma ^ u_{uv}] + \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv} -ec & = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) + [\text {canceled:}\Gamma ^{u}_{uv} \Gamma ^ u_{uu} ] + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - af \\ \tag {($P_ v$)-1} \Gamma ^ u_{uu} \Gamma ^ v_{uv} + \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^{v}_{uu} \right) + \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ v_{vv} -ed & = \Gamma ^{u}_{uv} \Gamma ^{v}_{uu} + \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^ v_{uv} \right) + (\Gamma ^ v_{uv})^2 -bf \\ \tag {($\vN $)-1} f \Gamma ^ u_{uu} + g \Gamma ^{v}_{uu} + e_ v & = e \Gamma ^{u}_{uv}+ f \Gamma ^ v_{uv} + f_ u \end{align}

In modo del tutto analogo (per esercizio: 2.17), scrivendo l’uguaglianza $P_{uvv} = P_{vvu}$ e confrontando i coefficienti di $P_ u$, $P_ v$, $\vN $, si possono scrivere le seguenti equazioni:

{($P_u$)-2}, {($P_v$)-2}, {($\vN $)-2}\begin{align} \tag {($P_ u$)-2} \Gamma ^ v_{vv} \Gamma ^ u_{uv} + \dfrac {\partial }{\partial u} \left( \Gamma ^{u}_{vv} \right) + \Gamma ^{u}_{vv} \Gamma ^ u_{uu} - g a & = \Gamma ^{v}_{uv} \Gamma ^{u}_{vv} + \dfrac {\partial }{\partial v}\left( \Gamma ^ u_{uv} \right) + (\Gamma ^ u_{uv})^2 - f c \\ \tag {($P_ v$)-2} \dfrac {\partial }{\partial u} \left( \Gamma ^ v_{vv} \right) + [\text {canceled:}\Gamma ^ v_{vv} \Gamma ^ v_{uv}] + \Gamma ^{u}_{vv} \Gamma ^ v_{uu} -g b & = \dfrac {\partial }{\partial v}\left( \Gamma ^{v}_{uv} \right) + [\text {canceled:}\Gamma ^{v}_{uv} \Gamma ^ v_{vv} ] + \Gamma ^ u_{uv} \Gamma ^{v}_{uv} - f d \\ \tag {($\vN $)-2} f \Gamma ^ v_{vv} + e \Gamma ^{u}_{vv} + g_ u & = g \Gamma ^{v}_{uv}+ f \Gamma ^ u_{uv} + f_ v \end{align}

Due delle precedenti equazioni hanno un nome.

(9.4) [Equazioni di Mainardi–Codazzi1] \[ \begin{aligned} e_ v - f_ u & = e \Gamma ^{u}_{uv} + f ( \Gamma ^ v_{uv} - \Gamma ^{u}_{uu}) - g \Gamma ^{v}_{uu} \\ f_ v - g_ u & = e\Gamma ^ u_{vv} + f(\Gamma ^ v_{vv} - \Gamma ^ u_{uv}) - g \Gamma ^ v_{uv}\, . \end{aligned} \]

Dim. Sono le ($\vN $)-1 a pag. * e ($\vN $)-2 a pag. *.
QED

Con le altre e un po’ di manipolazione si possono dedurre le seguenti importanti equazioni, che di fatto servono per la dimostrazione del Teorema Egregium (7.10).

(9.5) [Equazioni di Gauss II] \[ \begin{aligned} EK & = \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ v_{uu} \right) - \dfrac {\partial }{\partial u} \left( \Gamma ^ v_{uv} \right) + \Gamma ^ u_{uu}\Gamma ^ v_{uv} + \Gamma ^ v_{uu}\Gamma ^ v_{vv} - \Gamma ^ u_{uv}\Gamma ^ v_{uu} - (\Gamma ^ v_{uv})^2 \\ FK & = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) - \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv} \\ FK & = \dfrac {\partial }{\partial v}\left( \Gamma ^{v}_{uv} \right) - \dfrac {\partial }{\partial u} \left( \Gamma ^ v_{vv} \right) + \Gamma ^ u_{uv} \Gamma ^{v}_{uv} - \Gamma ^{u}_{vv} \Gamma ^ v_{uu} \\ GK & = \dfrac {\partial }{\partial u} \left( \Gamma ^ u_{vv} \right) - \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uv} \right) + \Gamma ^ v_{vv}\Gamma ^ u_{uv} + \Gamma ^ u_{vv}\Gamma ^ u_{uu} - \Gamma ^ v_{uv}\Gamma ^ u_{vv} - (\Gamma ^ u_{uv})^2 \, . \end{aligned} \]

Dim. Cominciamo dalla seconda, per esempio, e lasciamo il lavoro di completare la dimostrazione per esercizio 2.18. Per prima cosa ricordiamo che i coefficienti $a,b,c,d$ della matrice di Weingarten $S_ P$ soddisfano per (8.1)

\[ S = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \dfrac {1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} Ge-Ff & Gf-Fg \\ -Fe+Ef & -Ff+Eg \end{bmatrix}\, . \]

Riscriviamo l’equazione ($P_ u$)-1

\[ \begin{aligned} \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) + \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv} -ec & = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - af \\ af -ec & = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv} - \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right)\, . \end{aligned} \]

Ora, dato che \[ af - ec = \dfrac {(Ge-Ff)f -(Gf-Fg)e }{EG-F^2} = \dfrac {F (eg- f^2) }{EG-F^2} = F K\, , \] dove $K$ è la curvatura gaussiana, per (7.8), vale

(2)\begin{equation} FK = \dfrac {\partial }{\partial u}\left( \Gamma ^{u}_{uv} \right) - \dfrac {\partial }{\partial v} \left( \Gamma ^ u_{uu} \right) + \Gamma ^ v_{uv} \Gamma ^{u}_{uv} - \Gamma ^{v}_{uu} \Gamma ^ u_{vv}\, . \end{equation}

Per proseguire, basta riscrivere ($P_ u$)-2, ($P_ v$)-1, ($P_ v$)-2 e procedere come per l’equazione (2).

QED

Possiamo ora procedere con la dimostrazione di (7.10) Dim. [Dimostrazione del Teorema Egregium] Per (9.5), $K$ si può scrivere come funzione dei coefficienti $E,F,G$, dei simboli di Christoffel e delle loro derivate (parziali). Dato che i simboli di Christoffel, per (9.3), sono funzioni di $E,F,G$ e le loro derivate

QED


Footnotes

  1. Equivalentemente: di Codazzi-Mainardi, di Peterson–Mainardi–Codazzi, o solamente di Codazzi.