6. Seconda forma fondamentale

(6.1) Definizione. La seconda forma fondamentale di una superficie parametrica regolare è

\[ \mathbf{II}= e\, du^2 + 2f\, du\, dv + g \, dv^2 = \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix}, \]

dove $e,f,g$ sono i coefficienti definiti in (4).

(6.2) I coefficienti della seconda forma fondamentale soddisfano le seguenti uguaglianze: \[ \left\{ \begin{aligned} e & = P_{uu} \cdot \vN = \dfrac {P_ u \times P_ v \cdot P_{uu}}{\sqrt {EG-F^2}} \\ f & = P_{uv} \cdot \vN = \dfrac {P_ u \times P_ v \cdot P_{uv}}{\sqrt {EG-F^2}} \\ g & = P_{vv} \cdot \vN = \dfrac {P_ u\times P_ v \cdot P_{vv}}{\sqrt {EG-F^2}} \, . \end{aligned}\right. \]

Dim. Le prime uguaglianze sono la definizione dei coefficienti di $\mathbf{II}$. Basta osservare che per (4.3) \[ \sqrt {EG-F^2} = \left\Vert P_ u\times P_ v\right\Vert , \] da cui \[ \begin{aligned} \vN & = \dfrac { P_ u \times P_ v }{\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert } = \dfrac {P_ u \times P_ v}{\sqrt {EG-F^2}} \\ \implies \vN \cdot \vw & = \dfrac {P_ u\times P_ v \cdot \vw }{\sqrt {EG-F^2}},. \end{aligned} \]
QED

(6.3) La curvatura normale di una curva $\gamma $ contenuta nella superficie $S$, in un suo punto con vettore tangente $\vv = \alpha P_ u + \beta P_ v $, è uguale a \[ \kappa _{n} = \dfrac {\mathbf{II}\left(\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\right)}{ \mathbf{I}\left(\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\right) } = \dfrac { \begin{bmatrix} \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ f & g \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix} \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} }\, . \]

Dim. Si tratta delle equazioni (3).
QED

(6.4) Nota. I coefficienti della seconda forma fondamentale non dipendono da quelli della prima: trovare un esempio di due superfici con coefficienti $EFG$ uguali ma con seconde forme fondamentali diverse (esercizio 2.9). In altre parole, la seconda forma fondamentale non è intrinseca alla superficie, ma dipende dal modo in cui la superficie viene immersa in $\RR ^3$.