2. Piano tangente. Normale e orientabilità

(2.1) Definizione. Se $P\from U \subset \RR ^2 \to \RR ^ n$ è una parametrizzazione regolare di una superficie $S$, con $A=P(u_0,v_0)\in S$, il piano tangente a $S$ nel punto $A$ è il piano passante per $A$ avente per giacitura lo spazio vettoriale $T_ AS := \mathrm{Span} \langle P_ u, P_ v \rangle $. Dato che la parametrizzazione è regolare, la dimensione di $T_ AS$ è sempre $2$.

(2.2) Nota. Osserviamo che nella definizione (2.1) si è definito anche lo spazio tangente $T_ AS$, che è un sottospazio vettoriale di $\RR ^ n$. Il piano affine tangente sarà quindi $A + T_ AS\subset \AA ^ n(\RR )$.

(2.3) Lo spazio tangente $T_ AS$ è formato da tutti e soli i vettori tangenti di curve lisce del tipo \[ P(u(t),v(t)), t\in (-\epsilon ,\epsilon ),\quad \text { con $(u(0),v(0)) = (u_0,v_0)$\, .} \]

Dim. Esercizio 2.4.
QED

Se la porzione di superficie (con parametrizzazioni regolari) che stiamo analizzando è in $\RR ^3$, allora ogni piano tangente a $S$ in $\RR ^3$ ha una direzione normale, e quindi una retta ortogonale al piano tangente. Ora, come nel caso delle curve, ci sono due scelte per il versore normale: una nella direzione del prodotto vettoriale

(1)\begin{equation} \vN = \dfrac {P_ u \times P_ v}{\left\Vert P_ u \times P_ v\right\Vert } \end{equation}

e l’altra opposta ($-\vN $). Chiaramente, quale dei due versori normali dipende dalla parametrizzazione attorno al punto (cioè alla carta locale) che stiamo considerando.

(2.4) Definizione. Se $S$ è una superficie di $\EE ^3$ per cui è possibile scegliere un versore normale per ogni punto $A\in S$, in modo continuo, allora $S$ si dice orientabile. Altrimenti $S$ si dice non orientabile.

(2.5) Nota. Questa definizione fa un po’ acqua. Cosa significa “scegliere un versore normale... in modo continuo”, precisamente?

Per dare una definizione un po’ migliore dobbiamo considerare un atlante di carte. Cioè, supponiamo che la superficie sia descritta dalle parametrizzazioni

\[ P_ i \from U_ i \subset \RR ^2 \to S \subset \EE ^3 \]

con $i\in J$ una famiglia di parametrizzazioni locali regolari (con la proprietà che $P_ i$ è un omeomorfismo sulla sua immagine), in modo che le immagini $P_ i(U_ i)$ coprono tutta $S$:

\[ S = \bigcup _{i\in J} P_ i(U_ i). \]

Ora, per ogni $x\in S$ esistono un certo numero di carte $P_ i$ tali che $x\in U_ i$. Per ognuna di esse è possibile calcolare il vettore normale

\[ \vN _ i(x) = \frac{\dfrac {\partial P_ i}{\partial u} \times \dfrac {\partial P_ i}{\partial v}}{\left\Vert \dfrac {\partial P_ i}{\partial u} \times \dfrac {\partial P_ i}{\partial v}\right\Vert } \]

dove quest’ultima espressione ovviamente è valutata in $u(x),v(x)$, coordinate locali $i$-esime (cioè in $U_ i$) di $x$.

Se per ogni $x\in S$ e per ogni $i$ e $j$ risulta $\vN _ i(x) = \vN _ j(x)$, allora si dice che le carte locali $P_ i$ sono orientate, e che la superficie è orientata, o orientabile.

(2.6) Esempio. Il nastro di Möbius è una superficie non orientata in $\EE ^3$. Cerchiamo di darne una parametrizzazione come porzione di superficie rigata, a partire dalla parametrizzazione del toro (1.9). Due punti del cerchio di raggio $r$ che gira sono, al variare di $v\in \RR \mod 2 \pi $, i punti del toro con coordinate locali

\[ A = P(v/2,v),\quad B = P(v/2+\pi ,v)\, \quad . \]

Cioè, una parametrizzazione del nastro di Möbius può essere

\[ M(s,v) = s P(v/2,v) + (1-s) P(v/2+\pi ,v) \]

con $0 < s < 1$ e $v\in \RR \mod 2\pi $. Sostituendo si ha quindi

\[ \begin{aligned} M(s,v) & = s \begin{bmatrix} (R+r\cos v/2)\cos v \\ (R+r\cos v/2) \sin v \\ r \sin v/2 \end{bmatrix} + (1-s) \begin{bmatrix} (R-r\cos v/2)\cos v \\ (R-r\cos v/2) \sin v \\ - r \sin v/2 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} \left( (2s-1) r\cos \frac{v}{2} + R\right) \cos v \\ \left( (2s-1) r\cos \frac{v}{2} + R\right) \sin v \\ (2s-1) r \sin \frac{v}{2}  \end{bmatrix}\end{aligned} \]

Un esempio di questa superficie non orientabile si può vedere in figura

img #6
Figura 2.5: Nastro di Möbius

* . Si capisce perché non è orientabile? Provare a definire il vettore normale in ogni punto della superficie. Cosa succede se al posto del termine $\frac{v}{2}$ si mette un multiplo intero di $\frac{v}{2}$ (si veda la figura

img #7
Figura 2.6: Nastro di Möbius attorcigliato

* per esempio). Sembra difficile, ma in realtà il comando per creare una figura del genere può essere abbastanza semplice, come si vede in figura

img #8
Figura 2.7: Screenshot per la creazione della figura 2.6

* . Un modo un po’ più complicato per visualizzare una superficie del genere è usando usare asymptote [14], che produce vector graphics di qualità come quella di figura

img #9
Figura 2.8: Nastro di Möbius (asymptote)

* . Il codice che produce quella figura è il seguente:


import graph3;
size(469pt);
currentprojection=perspective(
camera=(45,05,24),
up=Z,
target=(0,0,0), 
zoom=1,
autoadjust=false);

real b=2;
real a=5;
int g=3;

triple f(pair t) 
 real s=t.x;
 // s=0..1
 real v=t.y;
 // v=0.. 2pi
 real x=cos(v) * ( (2*s-1)*b*cos(g*v/2) + a) ; 
 real y=sin(v) * ( (2*s-1)*b*cos(g*v/2) + a) ; 
 real z=(2*s-1)*b*sin(g*v/2);
 return (x,y,z);


surface s=surface(f,(0,0),(1,2*pi),16,255,Spline);
draw(s,orange+white+opacity(0.7),"moebius", render(merge=true));

begingroup3("boundary");
draw(s.uequals(0),blue+dashed);
draw(s.uequals(15.999),red+dashed);
real deltai= (pi*81) /50.0;
for(int i=0; i  <  50 ; ++i) 
draw(s.vequals(0+i*deltai),black);

endgroup3();