1. Definizione di superficie

Ricordiamo che una curva parametrizzata o una parametrizzazione di una curva è (cfr. (1.1) a pag. *) una funzione $P=P(u)$, $P\from U \to \RR ^ n$, definita su un intervallo aperto $U\subset \RR $ e a valori in $\RR ^ n$. La parametrizzazione è regolare quando $P’(u) \neq \boldsymbol {0}$ per ogni $u\in U$ (cfr. (2.1) a pag. *). Ma $P$ deve essere un omeomorfismo con l’immagine o può non esserlo? Qual è l’analogo bidimensionale?

Se $U$ è un aperto di $\RR ^2$ (e quindi i parametri sono due: $(u,v)$), allora $P\from U \to \RR ^ n$ sarà una parametrizzazione di un tratto di superficie. Per prima cosa diamo l’analogo bidimensionale di parametrizzazione regolare di una curva $P(u)$ in $\RR ^ n$. L’analogo di $P’\neq \boldsymbol {0}$ però non è $\dfrac {\partial P}{\partial u} \neq \boldsymbol {0}\neq \dfrac {\partial P}{\partial v}$.

(1.1) Nota. Ricordiamo cosa è il differenziale $df$ di una funzione $f\from U \subset \RR ^2 \to \RR ^ n$? Ne riparleremo più avanti, nella nota (4.5) a pagina *.

(1.2) Definizione. Una parametrizzazione regolare (o equivalentemente, una superficie parametrizzata oppure una superficie immersa) di un sottoinsieme $M\subset \RR ^ n$ è una funzione liscia

\[ P \from U \to M \subset \RR ^ n \]

definita su un aperto $U\subset \RR ^2$, tale che per ogni $(u,v) \in U$ i due vettori delle derivate parziali $\dfrac {\partial P}{\partial u} $ e $\dfrac {\partial P}{\partial v} $ sono linearmente indipententi (e quindi non zero), cioè si ha

\[ \dim \left[ \mathrm{Span} \left( \dfrac {\partial P}{\partial u}, \dfrac {\partial P}{\partial v} \right) \right] = 2\, . \]

Equivalentemente, il differenziale1 $dP\rvert _{{\vu }}$ è un omomorfismo iniettivo $\RR ^2 \to \RR ^ n$ per ogni ${\vu }\in U$. Se $n=3$, allora $P_ u$ e $P_ v$ sono linearmente indipendenti se e soltanto se

\[ P_ u \times P_ v \neq \boldsymbol {0}. \]

Si dice che $M$ è parametrizzato dalla parametrizzazione $P(u,v)$. L’insieme $M$ è detto anche sostegno della parametrizzazione, o traccia.

(1.3) Nota. In realtà $P$ dovrebbe essere anche un omeomorfismo con la sua immagine... e quindi anche iniettiva... la definizione non è proprio quella classica. Occorrerà tornare su questo punto delle parametrizzazioni. Ma questo non è un grosso problema, nel nostro studio locale delle superfici. Rimandiamo al Corollario 3.1.5 di [2]:

Se $P\from U \to \RR ^3$ è una parametrizzazione regolare, allora ogni ${\vu }_0\in U$ ha un intorno $U_1\subset U$ tale che la restrizione $P|_{U_1}$ è un omeomorfismo con la sua immagine.

Quindi a meno di rimpocciolire $U$, possiamo sempre supporre che la parametrizzazione sia un omeomorfismo con l’immagine, almeno per $n=3$. E se $n > 3$?

(1.4) Definizione. Una superficie in $\RR ^ n$ è un sottoinsieme $S\subset \RR ^ n$ tale che ogni suo punto $\vx \in S$ ha un intorno aperto $M\subset S$ che è immagine omeomorfa di una parametrizzazione regolare, cioè che si parametrizza con una parametrizzazione regolare come (1.2) in modo che ogni parametrizzazione sia anche un omeomorfismo.

Dato che ci sono due parametri, una parametrizzazione $P(u,v)$ dà luogo a due famiglie di curve: le $u$-curve $P(-,v_0)$ (ottenute fissando $v=v_0$ e facendo variare $u$) e le $v$-curve $P(u_0,-)$ (ottenute fissando $u=u_0$ e facendo variare $v$).

Scelta una parametrizzazione regolare $P\from U\subset \RR ^2 \to M \subset S$, le due coordinate $(u,v) \in U$ di fatto sono funzioni $M\to \RR $: sia $\varphi \from M \to U$ l’inversa di $P$. Componendo $\varphi $ con le due proiezioni (sul primo e secondo fattore) si ottengono due funzioni continue (che indichiamo ancora con gli stessi simboli) $u \from M \to \RR $, $v\from M \to \RR $, che si chiamano le coordinate locali di $S$ nell’intorno $M$, o anche nella carta locale $M$ in $S$.

(1.5) Nota. Dovrebbe essere chiaro il motivo per cui le funzioni sono chiamate mappe e gli intorno $M$ carte locali: l’inversa di una parametrizzazione $P\from U \subset \RR ^2 \to M \subset S \subset \RR ^ n$ è una funzione (continua) $M \to U\subset \RR ^2$, che assegna le coordinate locali ${\vu }= (u,v)\in \RR ^2$ ai punti dell’aperto $M\subset S$ della superficie $S$. Incidentalmente, alcune mappe/carte importanti (storicamente):

  1. Ipparco (190–120), Tolomeo (90–168): Proiezione stereografica (cfr. astrolabio).

  2. Gerardus Mercator (1569): mappa di Mercatore.

  3. Johann Heinrich Lambert (1728–1777), per esempio Lambert conformal conic projection map.


(1.6) Esempio. Il grafico della funzione $z=f(x,y)$. Parametrizzazione:

\[ P(u,v) = (u,v,f(u,v))\, . \]

È una parametrizzazione regolare perché per ogni $f$ si ha

\[ P_ u = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ u \end{bmatrix} ,\quad P_ v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ v \end{bmatrix} \]\[ \implies P_ u \times P_ v = \det \begin{bmatrix} \vi & \vj & \vk \\ 1 & 0 & f_ u \\ 0 & 1 & f_ v \end{bmatrix} = -f_ u \vi - f_ v \vj + \vk \neq \boldsymbol {0}. \]


(1.7) Esempio. L’elicoide è la superficie che si ottiene facendo scorrere una semiretta che ruota attorno ad un asse, traslandola lungo questo asse. Sia $b\neq 0$ un parametro fissato. Se $v$ è il parametro di traslazione/rotazione, e $u\geq 0 $ il parametro lineare (sulla retta che ruota), allora

\[ P(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ b v \end{bmatrix} + u \begin{bmatrix} \cos v \\ \sin v \\ 0 \end{bmatrix}, \]

cioè

\[ P(u,v) = ( u \cos v, u \sin v, bv ),\quad u\geq 0, v\in \RR . \]

Si ha

\[ P_ u \times P_ v = ( b \sin v, - b \cos v, u ) \neq \boldsymbol {0}. \]

Le $v$-curve sono eliche, le $u$-curve sono semirette.

(1.8) Nota. Ma il dominio di $(u,v)$ non è un aperto $U\subset \RR ^2$! Come si fa?

(1.9) Esempio. Il toro: si ruota attorno all’asse $z$ una circonferenza di raggio $r > 0$ contenuta nel piano $xz$ con centro nel punto $(R,0,0)$, con $R > r$. Parametrizziamo con $Q(u)$, $u\in \RR $, la circonferenza:

\[ Q(u) = \begin{bmatrix} R \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + r \begin{bmatrix}   \cos u \\ 0 \\ \sin u \end{bmatrix}. \]

La rotazione di angolo $v\in \RR $ ha matrice

\[ \begin{bmatrix} \cos v & -\sin v & 0 \\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}, \]

per cui la parametrizzazione del toro è

\[ P(u,v) = \begin{bmatrix} \cos v & -\sin v & 0 \\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   R + r\cos u \\ 0 \\ r \sin u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (R+r\cos u) \cos v \\ (R+r\cos u)\sin v \\ r \sin u \end{bmatrix} \]

con $0 < r < R$. Il prodotto vettoriale delle derivate è

\[ P_ u \times P_ v = -r (R+r\cos u)(\cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u ) \neq \boldsymbol {0}. \]

Calcoliamolo usando il fatto che $P(u,v) = A(v) Q(u)$, dove $A(v)$ è la matrice di rotazione. Allora $P_ u = A Q’$, $P_ v=A’ Q$, e tenuto conto del fatto che se $L$ è una rotazione si ha $L\va \times L\vb = L(\va \times \vb )$,

\[ \begin{aligned} P_ u \times P_ v & = AQ’ \times A’Q \\ & = A\left( Q’ \times ( A^{-1} A’ Q ) \right) \\ & = A \left( Q’ \times J Q \right), \end{aligned} \]

dove

\[ \begin{aligned} J & = A^{-1} A’ = \begin{bmatrix} \cos v & -\sin v & 0 \\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -\sin v & -\cos v & 0 \\ \cos v & -\sin v & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} \cos v & \sin v & 0 \\ -\sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\sin v & -\cos v & 0 \\ \cos v & -\sin v & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{aligned} \]

Dato che $Q’= (-r \sin u, 0,r \cos u)$ e $JQ = (0,R+r\cos u, 0)$,

\[ \begin{aligned} Q’ \times JQ & = \det \begin{bmatrix} \vi & \vj & \vk \\ -r\sin u & 0 & r \cos u \\ 0 & R+r\cos u & 0 \end{bmatrix}\\ & = -r (R+r\cos u)(\vi \cos u + \vk \sin u ) \neq \boldsymbol {0};\\ \implies A(Q’\times JQ) & = -r (R+r\cos u)A (\vi \cos u + \vk \sin u ) \\ & = -r (R+r\cos u) ( \cos u A\vi + \sin u A \vk ) \\ & = -r(R+r\cos u) \left( \cos u \begin{bmatrix} \cos v \\ \sin v \\ 0 \end{bmatrix} + \sin u \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) \\ \end{aligned} \]

Usando il programma Grapher (per Mac OS X, [12]) come in figura

img #2
Figura 2.1: Screenshot di Grapher

* , è possibile ottenere facilmente una figura per il toro, come in figura

img #3
Figura 2.2: Toro parametrizzato dell’esempio (1.9)

* .

(1.10) Esempio. La sfera unitaria $S^2$ in $\EE ^3$ ha parametrizzazione standard

\[ P(u,v) = \begin{bmatrix} \sin u \cos v \\ \sin u \sin v \\ \cos u \end{bmatrix} \]

Le coordinate $u$ e $v$ sono la colatitudine e la longitudine. In altre coordinate e con raggio $r > 0$ (della sfera): $\varphi \in [-90^\circ ,90^\circ ]$ [latitudine] e $\lambda \in [-180^\circ ,180^\circ ]$ [longitudine]

\[ \begin{cases} x & = r \cos \varphi \cos \lambda \\ y & = r \cos \varphi \sin \lambda \\ z & = r \sin \varphi \, , \end{cases} \]

Quale disegno? Quali angoli? Dove sono ben definite e regolari queste parametrizzazioni?

(1.11) Esempio. Parametrizzazione razionale della sfera unitaria (proiezione stereografica):

\[ P(u,v) = \left( \dfrac {2u}{u^2+v^2+1} , \dfrac {2v}{u^2+v^2+1} , \dfrac {u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1} \right)\, . \]


(1.12) Esempio. Se $Q(u) = (f(u),0,g(u))$ è una curva regolare nel piano $xz$ con $f > 0$, con $u\in I \subset \RR $, allora ruotando la curva $Q(u)$ attorno all’asse $z$ si ottiene una superficie di rotazione, che si parametrizza con

\[ \begin{bmatrix} \cos v & -\sin v & 0 \\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(u) \\ 0 \\ g(u) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(u) \cos v \\ f(u) \sin v \\ g(u) \end{bmatrix} \]

Si ha

\[ P_ u \times P_ v = f(u) (-g’(u) \cos v, - g’(u) \sin v, f’(u) ) \neq \boldsymbol {0}\, . \]

Le $u$-curve sono i meridiani. Le $v$-curve sono i paralleli.

Dim. Sia $A(v)$ la matrice di rotazione e $Q(u)$ il punto definito sopra. Come abbiamo visto per l’esempio (1.9), si ha \[ \begin{aligned} A^{-1}\left( P_ u \times P_ v \right) & = Q’ \times J Q \\ & = \begin{bmatrix} f’ \\ 0 \\ g’ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f \\ 0 \\ g \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} f’ \\ 0 \\ g’ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ f \\ 0 \end{bmatrix}\\ & = \det \begin{bmatrix} \vi & \vj & \vk \\ f’ & 0 & g’ \\ 0 & f & 0 \end{bmatrix}\\ & = - f \left( g’\vi - f’\vk \right) \\ \implies P_ u\times P_ v & = -f (g’ A\vi - f’ A\vk ) \\ & = -f \left( g’ \begin{bmatrix} \cos v \\ \sin v \\ 0 \end{bmatrix} - f’ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) \end{aligned} \]

QED

(1.13) Esempio. Superficie rigata (ruled surface). Se $A(u)$ è una curva regolare in $\RR ^3$ (inteso come spazio di punti), definita con $u\in I\subset \RR $. Sia

\[ \vw \from I \to \RR ^3 \]

un’altra curva regolare, stavolta in $\RR ^3$ inteso come spazio di vettori. La parametrizzazione

\[ P(u,v) = A(u) + v \vw (u) \]

con $u\in I$ e $v\in \RR $ (oppure $v > 0$) è regolare quando ...

\[ P_ u \times P_ v = \left( A’(u) + v \vw ’(u) \right) \times \vw (u) \neq \boldsymbol {0}. \]

Esempi di rigate sono l’elicoide (si veda l’esempio (1.7) poco sopra e le figure

img #4
Figura 2.3: Una superficie rigata: (metà dell’) l’elicoide

* e

img #5
Figura 2.4: Una superficie rigata: l’elicoide

* , estendendo le semirette oppure no...), il cilindro, il cono.


Footnotes

  1. Nella base standard è la matrice Jacobiana $n\times 2$ delle derivata parziali: $\dfrac {\partial P}{\partial {\vu }}$.