9. Curve chiuse

(9.1) Definizione. Una curva chiusa è una curva periodica di periodo $T > 0$, cioè una curva $\gamma \from \RR \to \EE ^ n$ tale che $\gamma (t + T) = \gamma (t)$ per ogni $t\in \RR $. Una curva chiusa è detta semplice se induca una funzione iniettiva $\gamma \from S^1 \cong \RR /T\ZZ \to \EE ^ n$, cioè se per ogni $x,y\in \RR $, $\gamma (x) = \gamma (y) \implies $ $\exists k\in \ZZ : y=x+kT$.

Un esempio di curva chiusa è la circonferenza $\gamma (t) = e^{it}$, periodica di periodo $T=2\pi $. È chiaro che una curva chiusa, se parametrizzata con la lunghezza d’arco, ha periodo uguale alla sua lunghezza.

Un importante teorema sulle curve chiuse è il teorema della curva di Jordan.

(9.2) Teorema.[Jordan] Se $\gamma \from \RR \to \EE ^2$ è una curva chiusa semplice continua, allora il complementare dell’immagine di $\gamma $ in $\EE ^2$ ha esattamente due componenti connesse, una limitata e una non limitata.

Ricordiamo che l’area della regione interna ad una curva chiusa semplice si calcola con la formula di Green

(9.3) Proposizione. Sia $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ una curva piana semplice di periodo $T > 0$. Allora l’area della regione interna a $\gamma $ (che esiste per il Teorema della curva di Jordan) è uguale a (a meno di segno) \[ \pm \mathcal{A} = \dfrac {1}{2} \int _0^ T (x \dot y - y \dot x) \, dt = \int _0^ T x \dot y \, dt = - \int _0^ T y \dot x \, dt. \]

Dim. Si trova in tutti i libri di Analisi 2, come conseguenza del fatto che se $f(x,y)$ e $g(x,y)$ sono due funzioni $C^1$ in $\RR ^2$, allora \[ \int _0^ T ( f(x(t),y(t)) \dot x + g(x(t),y(t)) \dot y )\, dt = \int _\Omega \dfrac {dg}{dx} - \dfrac {df}{dy}\, dx dy, \] dove $\Omega $ è la regione interna alla curva semplice di Jordan. Prendendo $f=-y/2$ e $g=x/2$, si ottiene la prima uguaglianza. Con $f=0$ e $g=x$ si ottiene la seconda. Con $f=-y$ e $g=0$ si ottiene la terza.
QED

(9.4) Teorema.[Disuguaglianza isoperimetrica] Sia $\gamma $ una curva chiusa semplice di lunghezza $L$. Allora l’area $A$ della sua regione interna soddisfa la disuguaglianza \[ A \leq \dfrac {L^2}{4\pi }, \] e vale l’uguaglianza se e solo se la curva $\gamma $ è una circonferenza.