3. Cerchio osculatore e curvatura

Per una curva regolare $P(u)$, il versore tangente $\vt $ definito in (2.8) è, chiaramente, una funzione del parametro $u$, e non dipende (a meno di verso) dalla scelta della parametrizzazione regolare.

(3.1) Definizione. Se $P(s)$ è una curva regolare di classe $C^ k$ in $\RR ^ n$, con $k\geq 2$, parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco $s$, allora la curvatura della curva nel punto $P(s)$ è la norma della derivata del versore tangente $\vt $ in $s$, ovvero della derivata seconda in $s$ di $P$, cioè

\[ \kappa (s) = \left\Vert \dfrac {d\vt }{ds}(s)\right\Vert = \left\Vert \dfrac {d^2 P}{ds^2}(s)\right\Vert \, . \]

Essa è una funzione di classe $C^{k-2}$ del parametro $s$. Il vettore

(1)\begin{equation} \boldsymbol {\kappa }= \dfrac {d^2P}{ds^2} = \dfrac {d\vt }{ds} \end{equation}

è detto vettore curvatura.

(3.2) Esempio. Sia $P(t) = (r \cos (t), r \sin (t) )$ la parametrizzazione della circonferenza di raggio $r$ con centro nell’origine. Allora la lunghezza d’arco è

\[ s = \int _0^ t r \, d\tau = tr \implies t = \dfrac {s}{r} \]

e valgono le equazioni

\[ \begin{aligned} P(s) & = r ( \cos (s/r), \sin (s/r) ) \\ P’(s) & = ( -\sin (s/r), \cos (s/r) ) \\ \boldsymbol {\kappa }= P”(s) & = \frac{1}{r} (-\cos (s/r), - \sin (s/r) ) \\ & = \dfrac {-1}{r} (\cos (s/r),\sin (s/r) )\, , \end{aligned} \]

da cui segue che la curvatura è costante ed è uguale a

\[ \kappa = \dfrac {1}{r}. \]


(3.3) Definizione. Una curva regolare di classe almeno $C^2$ si dice biregolare se la sua curvatura $\kappa $ non è mai nulla.

(3.4) Se $\va (t)$ e $\vb (t)$ sono funzioni derivabili in $t$, $\va ,\vb \from I \subset \RR \to \RR ^ n$, allora \[ \dfrac {d}{dt} ( \va \cdot \vb ) = \va \cdot \vb ’ + \va ’ \cdot \vb . \]

Dim. \[ \begin{aligned} \dfrac {d}{dt} ( \va \cdot \vb ) & = \lim _{h\to 0} \dfrac {\va (t+h) \cdot \vb (t+h ) - \va (t)\cdot \vb (t) }{h} \\ & = \lim _{h\to 0} \dfrac {\va (t+h) \cdot \vb (t+h ) - \va (t+h) \cdot \vb (t ) + \va (t+h) \cdot \vb (t ) - \va (t)\cdot \vb (t) }{h} \\ & = \va (t) \cdot \lim _{h\to 0} \left[ \dfrac {\vb (t+h ) - \vb (t ) }{h} \right] + \lim _{h\to 0} \left[ \dfrac { \va (t+h) - \va (t) }{h} \right] \cdot \vb (t) \\ & = \va \cdot \vb ’ + \va ’ \cdot \vb . \end{aligned} \]
QED

(3.5) Corollario. \[ \dfrac {d}{dt} \left\Vert \va (t) \right\Vert ^2 = 2 \va \cdot \dfrac {d\va }{dt} . \]

(3.6) Il vettore curvatura di una curva biregolare è ortogonale al vettore tangente: \[ \boldsymbol {\kappa }\cdot \vt = \dfrac {d\vt }{ds} \cdot \vt = 0. \]

Dim. Dato che $\left\Vert \vt \right\Vert = 1$, per (3.5) si ha \[ 0 = \dfrac {d}{ds}(1) = \dfrac {d}{ds} \left( \left\Vert \vt \right\Vert ^2 \right) = 2 (\dfrac {d \vt }{ds} \cdot \vt ). \]
QED

(3.7) Definizione. Il versore normale $\vn $ ad una curva biregolare $P(s)$ è uguale a

\[ \vn = \dfrac {\boldsymbol {\kappa }}{\kappa } = \dfrac {\boldsymbol {\kappa }}{\left\Vert \boldsymbol {\kappa }\right\Vert } = \dfrac { \dfrac {d \vt  }{ds } } { \left\Vert \dfrac {d \vt  }{ds } \right\Vert } \]


(3.8) Esempio. Consideriamo ancora la circonferenza di raggio $r$ dell’esempio (3.2). Il vettore curvatura è

\[ \boldsymbol {\kappa }= \dfrac {-1}{r} (\cos (s/r),\sin (s/r) ), \]

e quindi il vettore normale è

\[ \vn = - (\cos (s/r), \sin (s/r) )\, . \]


Per la (3.6), il versore normale $\vn $ e il versore tangente $\vt $ sono ortogonali:

\[ \vt \cdot \vn = 0. \]

La retta passante per il punto della curva e con giacitura $\vn $ è chiamata la normale principale alla curva nel punto.

Ora, torniamo per un momento alla definizione di retta tangente. Se la retta tangente ad una curva in un suo punto è quella che si ottiene come limite delle secanti (cioè le rette che passano per due punti distinti della curva), la circonferenza osculatrice (o cerchio osculatore) è il limite delle circonferenze che passano per tre punti non allineati della curva, che tendono ad uno stesso punto $A$ (e cioè, forse, l’ordine di contatto è almeno tre?). In altre parole, se la retta tangente è la retta che meglio approssima la curva (nel senso ...), il cerchio osculatore sarà, tra le circonferenze passanti per il punto $A$ in questione, quella che “meglio approssima” la curva. In che senso? L’ordine di contatto tra una circonferenza e una curva non è cosa tanto facile da definire, però...

Consideriamo quindi, come per le rette tangenti, solamente il problema di determinare la circonferenza limite, al tendere dei tre punti ad un punto $A$ di una curva biregolare.

(3.9) Esempio. Consideriamo la parabola parametrizzata da $P(t) = (t,t^2)$. La lunghezza d’arco è1

\[ \begin{aligned} s(t) & = \int _0^ t \sqrt {1 + 4\tau ^2} \, d\tau \\ & = \text {int(sqrt(1+4*T{^}2),T=0..t);} \\ & = \text {1/2*t*(1+4*t{^}2){^}(1/2)+1/4*arcsinh(2*t)} \\ & = 1/2\, t\sqrt {1+4\, {t}^{2}}+1/4\, {\mathrm{arcsinh}} \left( 2\, t \right), \end{aligned} \]

ed è troppo complicato usarla nell’espressione di $P(t)$. Possiamo procedere in altro modo. Il versore tangente sarà (senza calcolare $\dfrac {dP}{ds}$ ma semplicemente $\dfrac {dP}{dt}$ rinormalizzato)

\[ \vt = \dfrac {(1,2t) }{ \sqrt {1+4t^2} }\, , \]

e quindi il versore normale

\[ \vn \in \pm \dfrac {(2t,-1) }{ \sqrt {1+4t^2} }\, . \]

Come vedremo poco sotto nella la proposizione (3.10), il centro della circonferenza osculatrice giace sulla normale principale, “dalla parte” di $\vn $. Quindi, dato che tutte le circonferenze che passano per tre punti sulla parabola hanno centro “sopra” la retta tangente nel punto (cioè la funzione $y=x^2$ è convessa, oppure il luogo $y\geq x^2$ è un sottospazio convesso di $\RR ^2$), anche il centro del cerchio osculatore starà dalla medesima parte. E quindi il versore normale punta verso il “dentro” della parabola ed è

\[ \vn = \dfrac {(-2t,1)}{\sqrt {1+4t^2}}\, . \]


(3.10) Proposizione. Sia $P(t)$ una curva biregolare piana e $A=P(s_0)$. La circonferenza osculatrice in $A$ esiste: il suo centro $Q$ sta sulla normale principale in $A$ (cioè la retta per $A$ con giacitura $\boldsymbol {\kappa }$ o $\vn $), a distanza $\kappa ^{-1}$ da $A$, più precisamente: \[ Q = A + \dfrac {\vn }{\kappa }\, . \]

(3.11) Definizione. L’inversa della curvatura $\kappa ^{-1}$ è uguale al raggio del cerchio osculatore e viene per questo chiamato il raggio di curvatura.

Dim. [Dimostrazione della (3.10)] Siano $A,B,C$ i tre punti in questione, con $A=P(s_0)$, $B=P(s_1)$ e $C=P(s_2)$, con $s$ parametro naturale. Per questi tre punti, che supponiamo per il momento non collinari, passa un piano, e in questo piano esiste una unica circonferenza per $A,B,C$. Se $Q$ è il centro della circonferenza contenuta in questo piano e passante per $A,B,C$, e $r$ è il suo raggio, allora deve risultare \[ \left\Vert P - Q\right\Vert ^2 - r^2 = 0 \] per ogni $P\in \{ A,B,C\} $. Si consideri quindi la funzione del parametro naturale $s$ (con $A,B,C$, e quindi $Q$ ed $r$ fissati) \[ \varphi (s) = \left\Vert P(s) - Q\right\Vert ^2 - r^2. \] Essa è una funzione regolare, e \[ \varphi (s_0) = \varphi (s_1) = \varphi (s_2) = 0. \] Per il teorema di Rolle esistono quindi $u_1$ e $u_2$ tali che \[ s_0 \leq u_1 \leq s_1 \leq u_2 \leq s_2 \] e \[ \varphi ’(u_1) = \varphi ’(u_2) = 0. \] Pertanto esiste $u_0$ tale che \[ u_1 \leq u_0 \leq u_2 \] e $\varphi ”(u_0) =0$. Dato che \[ \begin{aligned} \varphi ’(s) & = 2 (P(s)-Q) \cdot P’(s) \\ \varphi ”(s) & = 2 \left\Vert P’(s)\right\Vert ^2 + 2 (P(s) - Q) \cdot P”(s) \\ & = 2 + 2 (P(s) - Q)\cdot P”(s), \end{aligned} \] Per ogni scelta di $A,B,C$ non collineari esistono $u_0$, $u_1$, $u_2$ come sopra, che tendono a $s_0$ quando $A,B,C$ tendono ad $A$, per cui il punto $Q$ e il raggio della posizione limite devono soddisfare \[ \left\{ \begin{aligned} \left\Vert P(s_0) - Q\right\Vert ^2 - r^2 & = 0 \\ (P(s_0)-Q) \cdot P’(s) & = 0 \\ 1 + (P(s_0) - Q)\cdot P”(s_0) & = 0 . \end{aligned}\right. \] Ora, ricordiamo che $P’(s_0) = \vt $ e $P”(s_0) = \kappa \vn $ sono vettori ortogonali (non nulli), e quindi linearmente indipendenti: se poniamo $\vx = P(s_0) - Q$, il sistema precedente (dopo aver eliminato facilmente la $r$) diventa \[ \left\{ \begin{aligned} P’(s_0) \cdot \vx & = 0 \\ P”(s_0) \cdot \vx & = -1 , \end{aligned}\right. \] in cui la norma della soluzione $\vx $ è esattamente il raggio $r$ della circonferenza osculatrice cercata. Dato che $P’(s_0)$ e $P”(s_0)$ sono linearmente indipendenti, esistono $\lambda $ e $\mu $ tali che \[ \vx = \lambda P’(s_0) + \mu P”(s_0), \] da cui \[ \left\{ \begin{aligned} P’(s_0) \cdot (\lambda P’(s_0) + \mu P”(s_0) ) & = 0 \\ P”(s_0) \cdot (\lambda P’(s_0) + \mu P”(s_0)) & = -1 , \end{aligned}\right. \iff \left\{ \begin{aligned} \lambda & = 0 \\ \mu \left\Vert P”(s_0)\right\Vert ^2 & = -1 , \end{aligned}\right. \] e quindi \[ \vx = - \dfrac {P”(s_0)}{\left\Vert P”(s_0)\right\Vert ^2} = - \dfrac {\kappa \vn }{\kappa ^2} = - \dfrac {\vn }{\kappa }. \] Segue che il raggio è proprio $\kappa ^{-1}$, e che il centro $Q$ soddisfa \[ P(s_0) - Q = \vx = - \dfrac {\vn }{\kappa } \implies Q = P(s_0) + \dfrac {\vn }{\kappa }. \]
QED

(3.12) Nota. Osserviamo che nella dimostrazione precedente l’unico punto in cui abbiamo usato il fatto che la curva è piana, è precisamente quando abbiamo dedotto che il vettore $\vx $ si esprime come combinazione lineare del vettore tangente $\vt = P’(s_0)$ e del vettore curvatura $\boldsymbol {\kappa }= P”(s_0)$ (e quindi del vettore normale $\vn $). Come vedremo nella prossima sezione, la dimostrazione della proposizione (3.10) per il caso non piano si farà mostrando che il cerchio osculatore è sempre contenuto nel piano generato da $A=P(s_0)$ e dai due vettori (indipendenti) $\vt $ e $\vn $.

Rimarrebbe in realtà da dimostrare che il limite dei centri delle circonferenze per i tre punti esiste, e questo lo lasciamo per esercizio (cfr. esercizio 1.3 a pagina *).

(3.13) Esempio. Circonferenza, retta, elica....

(3.14) Sia $P(t)$ una curva regolare (con parametrizzazione non necessariamente naturale) in $\RR ^ n$. Allora l’espressione per la curvatura (apice è derivata in $t$) è \[ \kappa ^2 = \dfrac { \left\Vert P’\right\Vert ^2 \left\Vert P”\right\Vert ^2 - {( P’ \cdot P” )}^2}{\left\Vert P’\right\Vert ^6} \implies \kappa = \dfrac {\sqrt { \left\Vert P’\right\Vert ^2 \left\Vert P”\right\Vert ^2 - {( P’ \cdot P” )}^2}}{\left\Vert P’\right\Vert ^3} \] Quindi la curva è biregolare se e soltanto se $P’$ e $P”$ sono linearmente indipendenti.

Dim. Ricordiamo che \[ \dfrac {ds}{dt} = \left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert ,\ \dfrac {dt}{ds} = \dfrac {1}{\left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert }\, . \] Il vettore curvatura è (2)\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol {\kappa }& = \dfrac {d^2P}{ds^2} = \dfrac {d}{ds} \left( \dfrac {dP}{ds} \right) = \dfrac {d}{ds} \left( \dfrac {\dfrac {dP}{dt}}{ \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert } \right) = \\ & = \dfrac {\left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert \dfrac {d}{ds}\left(\dfrac {dP}{dt}\right) - \dfrac {d}{ds} \left( \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert \right) \dfrac {dP}{dt} }{\left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert ^2 }\, . \end{aligned} \end{equation} Ora, osserviamo che \[ \dfrac {d}{ds} \left( \dfrac {dP}{dt} \right) = \dfrac {\dfrac {d^2P}{dt^2}}{\left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert } = \dfrac {P”}{\left\Vert P’\right\Vert } \] e che \[ \dfrac {d}{ds} \left( \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert \right) = \dfrac {\dfrac {d}{dt} \left( \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert \right) }{ \left\Vert \dfrac {dP}{dt}\right\Vert } = \dfrac { \dfrac {P’ \cdot P”}{\left\Vert P’\right\Vert } }{\left\Vert P’\right\Vert } = \dfrac {P’\cdot P”}{\left\Vert P’\right\Vert ^2} \] visto che per ogni $\vx = \vx (t)$ si ha \[ \begin{aligned} \dfrac {d}{dt} \left( \left\Vert \vx \right\Vert \right) & = \dfrac {d}{dt} \left( ( \vx \cdot \vx )^{1/2} \right) = \dfrac {1}{2} \left( \vx \cdot \vx \right)^{-1/2} \dfrac {d}{dt} \left( \vx \cdot \vx \right) \\ & = \dfrac {1}{2} \left( \vx \cdot \vx \right)^{-1/2} \left( 2 \vx \cdot \dfrac {d\vx }{dt} \right) \\ & = \dfrac { \vx \cdot \vx ’ }{\left\Vert \vx \right\Vert }. \end{aligned} \] Sostitudento nella espressione di $\boldsymbol {\kappa }$ in (2) si ottiene quindi (3)\begin{equation} \boldsymbol {\kappa }= \dfrac { \left\Vert P’\right\Vert \dfrac {P”}{\left\Vert P’\right\Vert } - \dfrac {P’\cdot P”}{\left\Vert P’\right\Vert ^2} P’ } { \left\Vert P’\right\Vert ^2 } = \dfrac { P” - \dfrac {P’ \cdot P”}{ \left\Vert P’\right\Vert ^2 } P’ } { \left\Vert P’\right\Vert ^2} \, . \end{equation} La sua norma al quadrato sarà quindi \[ \begin{aligned} \kappa ^2 & = \boldsymbol {\kappa }\cdot \boldsymbol {\kappa }= \dfrac {1}{\left\Vert P’\right\Vert ^4} \left[ \left\Vert P”\right\Vert ^2 + \dfrac { (P’\cdot P”)^2}{\left\Vert P’\right\Vert ^2 } -2 \dfrac {(P’ \cdot P”)^2}{\left\Vert P’\right\Vert ^2} \right] \\ & = \dfrac {1}{\left\Vert P’\right\Vert ^4} \left[ \left\Vert P”\right\Vert ^2 - \dfrac { (P’\cdot P”)^2}{\left\Vert P’\right\Vert ^2 } \right] \\ & = \dfrac {\left\Vert P’\right\Vert ^2 \left\Vert P”\right\Vert ^2 - (P’\cdot P”)^2 } {\left\Vert P’\right\Vert ^6} \, . \end{aligned} \] Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz deriva che $P’$ e $P”$ sono linearmente indipendenti se e solo se la curvatura $\kappa $ è non nulla.
QED

(3.15) Nota. Ecco un esempio di sessione in Maple: calcoliamo la lunghezza d’arco, la curvatura e la normale principale per l’ellisse di semiassi $a$ e $b$.

with(VectorCalculus):
assume(a,real): assume(a > 0):
assume(b,real): assume(b > 0):

#lunghezza d’arco.
P:= t- >   < a*cos(t), b*sin(t) > :
s:= T - >  ArcLength( P(t) , t=0..T);
s(Pi/2);
 2 2 1/2
 (-b~ + a~ )
 EllipticE(—————) a~
 a~


simplify(Curvature(P,t)(t)):
latex(%);
\[ {\frac{b\, a\, {\it csgn} \left( \left( {b}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2} \right) ^{-1} \right) }{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}} \]
nn:=simplify(PrincipalNormal(P,t)(t));
latex(%);
\[ \left[ \begin{array}{c} -{\frac{a\, \cos \left( t \right) {b}^{2}}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a} ^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}} \\ \noalign {\medskip }-{\frac{b\, \sin \left( t \right) {a}^{2}}{ \left( {b}^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2}+{a}^{2}-{a} ^{2} \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2} \right) ^{3/2}}} \end{array} \right] \]



Footnotes

  1. Computer Algebra System, maple/mathematica/sagemath/...