2. La tangente ad una curva

(2.1) Definizione. Curva (o parametrizzazione) regolare: $P(t)$ è almeno $C^1$ e $P’(t) \neq \boldsymbol {0}$ per ogni $t$.

Se una curva $P(t)$ è regolare (anzi: dove una curva $P(t)$ è regolare, più propriamente), è possibile definire la retta tangente la curva in un suo punto $A=P(t_0)$.

Se $P(t)$ si muove lungo una retta (cioè $P(t)$ è la parametrizzazione di una retta), allora la retta tangente è la retta medesima.

Due possibilità per definire la retta tangente la curva in $A$, o il vettore tangente la curva (o tangente “alla” curva).

  1. La retta è il limite delle rette secanti, cioè è il limite delle rette che passano per $A = P(t_0)$ e per $B=P(t_0+\delta )$, con $\delta \to 0$.

    Parametrizziamo tutte le rette per $A$ con un $\PP ^1(\RR )$, cioè con una retta proiettiva. Il limite allora.... Ma anche con la giacitura $\vv $ della retta, posto che sia non-nulla, e quindi...

  2. La retta è quella, tra tutte le rette passanti per $A$, che interseca la curva in $A$ con un ordine di contatto superiore (cosa vuol dire?).

....

(2.2) La retta tangente è un invariante affine, e non dipende dalla parametrizzazione.

Dim. $P(t)-P(t_0)$ è un vettore. Se $t\to t_0$, il rapporto incrementale tende a (per definizione) \[ \dfrac {P(t) - P(t_0)}{t-t_0} \to \dfrac {dP}{dt}(t_0) = P’(t_0) = \dot P(t_0) = D_ t(P(t))\vert _{t_0} = P_ t(t_0). \]
QED

A proposito di lunghezza di una curva: da invariante affine, a euclideo naturalmente.

(2.3) Definizione. La lunghezza di un arco di curva $P(t)$ in $\EE ^ n$, di classe $C^1$, per $t\in [a,b]$1, è

\[ \int _ a^ b \left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert \, dt = \int _ a^ b \left\Vert P’(t)\right\Vert dt. \]


Ricordiamo che in $\EE ^ n$ c’è il prodotto scalare standard e la conseguente norma $\left\Vert \vv \right\Vert = \sqrt { \vv \cdot \vv }$.

(2.4) La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione scelta, ma solo dal sostegno.

Dim. Sia $\bar t \in [\bar a, \bar b ]$, $t\in [a,b]$ e $\bar t = h (t)$ con $h$ diffeomorfismo di classe $C^1$ tale che $h(a) = \bar a$, $h(b) = \bar b$. Allora \[ \int _ a^ b \left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert \, dt = \int _ a^ b \left\Vert \dfrac {dP}{d\bar t} \dfrac {d\bar t}{dt} \right\Vert \, dt = \int _ a^ b \left\Vert \dfrac {dP}{d\bar t} \right\Vert \left\lvert \dfrac {d\bar t}{dt} \right\rvert \, dt = \int _{\bar a}^{\bar b} \left\Vert \bar P’(\bar t) \right\Vert \, d\bar t \] (Teorema di cambiamento di variabile negli integrali).
QED

Parametro naturale.

(2.5) Definizione. Sia $P\from I \to \RR ^ n$ di classe $C^ k$ con $k\geq 1$. Fissato $t_0\in I$, la lunghezza d’arco è la funzione $s\from I \to \RR $ definita da

\[ s(t) = \int _{t_0} ^ t \left\Vert P’(\tau ) \right\Vert \, d\tau . \]


A meno di traslazioni $t\mapsto t+t_0$, il parametro lunghezza d’arco viene chiamato parametro naturale. Quando la curva è regolare (cioè quando $P’ \neq \boldsymbol {0}$, allora $s(t)$ è una funzione monotona crescente, ed è un diffeomorfismo con la sua immagine.

(2.6) Ogni curva regolare ha una unica (a meno di traslazioni nel parametro) parametrizzazione naturale (rispetto alla lunghezza d’arco).

Dim. Occorre mostrare che è un diffeomorfismo, che è unica a meno di traslazioni...
QED

(2.7) Se $P(t)$ è regolare e \[ \left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert = 1 \] allora $t$ è la lunghezza d’arco (a meno di costanti).

(2.8) Definizione. Versore tangente:

\[ \vT = \vt = \dfrac {dP}{ds} = \dfrac {P’}{\left\Vert P’\right\Vert } \]


Infatti, \[ \dfrac {dP}{ds} = \dfrac {dP}{dt} \dfrac {dt}{ds} = \dfrac { \dfrac {dP}{dt} } { \dfrac {ds}{dt} } = \dfrac { \dfrac {dP}{dt} } { \left\Vert \dfrac {dP}{dt} \right\Vert } = \dfrac {P’}{\left\Vert P’\right\Vert }. \]

Footnotes

  1. S’intende che $P(t)$ è definita e $C^1$ in un aperto che contiene $[a,b]$, visto che questo non è un intervallo aperto e le curve devono essere sempre definite su intervalli aperti, per come le abbiamo definite.