Scritto #6 - 16 feb 2010 (14:30, U1-06)

(1) Sia $X$ un insieme e $\tau \subset 2^ X$ la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi $A$ di $X$ che hanno complemento finito, cioè tali che $X\smallsetminus A$ ha un numero finito di elementi, più l’insieme $\emptyset $.

  1. Dimostrare che $\tau $ è una topologia su $X$.

  2. Mostrare che se $X$ è finito, allora con la topologia $\tau $ è di Hausdorff.

  3. Mostrare che se $X$ non è finito e $A,B\subset X$ sono due aperti non vuoti di $\tau $, allora $A\cap B\neq \emptyset $: dedurre che se $\tau $ è di Hausdorff, allora $X$ è finito.

  4. Determinare per quali cardinalità di $X$ lo spazio topologico $(X,\tau )$ è connesso.

(2) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:

  1. $\{ x\in \ZZ : x^3 \in \QQ \} $.

  2. $\{ z\in \CC : z^3 \in \ZZ \} $.

  3. $\{ z\in \CC : z^3 \in \QQ \} $.

  4. $\{ x\in \RR : x^3 \in \ZZ \} $.

(3) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : e^{x-y} \in \ZZ \} $.

  2. $\{ z\in \CC : e^ z \not\in \ZZ \} $.

  3. $\{ t\in \RR : e^{it} = e^{3it} \} $, dove $i=\sqrt {-1}$.

  4. $\{ (z,w) \in \CC ^2 : |z|^2 - |w|^2 = 1 \} $, dove $|z|^2= z \bar z$.

(4) Siano $A$ e $B$ due punti distinti di $\EE ^2$, e $f$, $g$ le rotazioni attorno ad $A$ e $B$ (rispettivamente) di angolo $\pi $.

  1. Determinare i punti fissati dalle composte $fg$ e $gf$.

  2. Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di $\EE ^2$ generato da $f$ e $g$. È un gruppo abeliano (commutativo)?

  3. Determinare l’orbita di $A$, di $B$ e del punto medio del segmento $AB$.

(5) In $\AA ^2(\RR )$ siano $P_0$, $P_1$ e $P_2$ i tre punti

\[ P_0=(1,0),\ P_1=(2,1),\ P_2=(2,2). \]
  1. Si determinino le coordinate $x,y$ del baricentro $Q$ del triangolo $P_0$, $P_1$, $P_2$.

  2. Siano $u,v$ le coordinate affini rispetto al riferimento affine $P_0$, $P_1$, $P_2$. Si scrivano $u,v$ in funzione di $x,y$.

  3. Si determinino le coordinate $u,v$ di $Q$.

  4. Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta $P_0P_1$ parallela alla direzione $\overrightarrow {P_0P_2}$, nelle coordinate più convenienti.

(6) Siano $A=[1:0]$, $B=[0:i]$ e $C=[1:i]$ tre punti di $\PP ^1(\CC )$.

  1. Trovare, se esiste, una proiettività $f\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ tale che $f(A) = A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.

  2. Dimostrare che se $f\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ è una proiettività che fissa almeno tre punti distinti, allora $f$ è l’identità.

  3. Determinare se esistono matrici $F\subset GL(2;\CC )$ che inducono una proiettività $f=[F]\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ con un unico punto fisso.