Scritto #5 - 19 gen 2010 (14:30, U1-14)

(1) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi degli spazi topologici (metrici) indicati:

  1. $\{ e^{h+ik} :\ h,k \in \ZZ \} \subset \CC $.

  2. $\{ e^{n\pi /4 i} : n \in \ZZ \} \subset \CC $.

  3. $\left\{ \dfrac {1}{\dfrac {1}{h} + \dfrac {1}{k}} : h,k \in \ZZ , hk \neq 0 \right\} \subset \RR $.

  4. $\{ \sin (k\pi /5) \cos (h\pi /5)  \ : h,k \in \ZZ \} \subset \RR $.

(2) Dei seguenti sottoinsiemi di $\RR ^2 \approx \CC $ (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2\ :\ y^2 \geq x^3 \} $.

  2. $\{ (x,y) \in \RR ^2\ : (x^{12} + y^{12})^3 \leq (x^3 + y^3)^{12} \} $.

  3. $\{ z \in \CC : |z|^4 = z + \overline{z} \} $.

(3) Sia $\FF _5$ il campo con 5 elementi, e $A=(1,2)$, $B=(0,0)$ i due punti di $\AA ^2(\FF _5)$.

  1. Scrivere l’equazione della retta per $A$ e $B$ in $\AA ^2(\FF _5)$.

  2. Quanti elementi ha l’insieme $X=\{ (x,y) \in \AA ^2(\FF _5) : x^2 + y^2 = 1 \} $?

  3. Determinare il numero e le equazioni delle rette per $(1,0)$.

  4. Calcolare il numero totale di rette in $\AA ^2(\FF _5)$.

(4) Sia $G$ il gruppo di tutte le proiettività $\PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ che fissano il punto $[1:0] \in \PP ^1(\CC )$.

  1. Per ogni proiettività $g$, descrivere $g$ in forma di matrice $2\times 2$, e determinare la condizione $g([1:0]) = [1:0]$.

  2. Sia $\AA ^1(\CC ) \subset \PP ^1(\CC )$ la retta affine con la carta $[x:1]$. Mostrare che per ogni $g\in G$, $g$ manda $\AA ^1(\CC )$ in sé.

  3. Scrivere la restrizione di $g\in G$ sulla parte affine $\AA ^1(\CC )$ in coordinate affini.