Scritto #4 - 20 nov 2009 (14:30, U2-02)

(1) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di $\RR $:

  1. $\{ \dfrac {k}{3^ h}\ :\ h,k \in \ZZ \} $.

  2. $\{ (2^ m)^{1/n} : m,n \in \ZZ , n \text { dispari} \} $.

  3. $\{ \dfrac {h}{k} : h,k \in \ZZ , hk \leq 1, k \neq 0 \} $.

  4. $\{ \cos \dfrac {n \pi }{2009} \ : n \in \ZZ \} $.

(2) Dei seguenti sottoinsiemi di $\RR ^2 \approx \CC $ (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2\ :\ x+2y+xy \leq 1 \} $.

  2. $\{ (x,y) \in \RR ^2\ : x^3 - y^3 \geq 3 \} $.

  3. $\{ z \in \CC : \dfrac {z\overline{z}}{z+\overline{z}} \in \NN \vee z=0 \} $.

  4. $\{ z\in \CC : z+z^2+\ldots + z^{10} = 0 \} $.

(3) In $\AA ^2(\RR )$ sian $P_0$, $P_1$ e $P_2$ i tre punti

\[ P_0=(1,0),\ P_1=(3,1),\ P_2=(2,2). \]
  1. Si determinino le coordinate $x,y$ del baricentro $Q$ del triangolo $P_0$, $P_1$, $P_2$.

  2. Siano $u,v$ le coordinate affini rispetto al riferimento affine $P_0$, $P_1$, $P_2$. Si scrivano $u,v$ in funzione di $x,y$.

  3. Si determinino le coordinate $u,v$ di $Q$.

  4. Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta $P_0P_1$ parallela alla direzione $\overrightarrow {P_0P_2}$, nelle coordinate più convenienti.

(4) Siano date in $\AA ^2(\CC )$ le due rette $r$ e $s$ di equazione rispettivamente $ix+y=1$ e $x+iy=i$.

  1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione di $r$ e $s$.

  2. Trovare, se esiste, un sistema di riferimento affine in cui le due rette $r$ e $s$ siano gli assi cartesiani.

  3. Sia $\PP ^2(\CC )$ la chiusura proiettiva di $\AA ^2(\CC )$. Scrivere le equazioni dei completamenti proiettivi di $r$ e $s$ in un sistema di riferimento opportuno.

  4. Esiste una proiettività che manda $r$ in $s$? Se sì trovarne una, altrimenti dimostrare che non è possibile.

(5) Sia $\PP ^1(\RR )$ la retta proiettiva reale, e $f\from S^1 \to \PP ^1(\RR )$ la funzione definita da $f( (\cos t, \sin t) ) = [ \cos t : \sin t ]$. Dimostrare che:

  1. $f$ è ben definita e continua.

  2. $f$ è suriettiva.

  3. $f$ è una funzione chiusa.

  4. Determinare se $f$ è un omeomorfismo.