Scritto #3 - 29 set 2009 (14:30, U1-11)

(1) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:

  1. $\{ x\in \ZZ : x^2 \in \QQ \} $.

  2. $\{ z\in \CC : z^2 \in \ZZ \} $.

  3. $\{ z\in \CC : z^2 \in \QQ \} $.

  4. $\{ x\in \RR : x^2 \in \ZZ \} $.

(2) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi, compatti.

  1. $\{ (x,y) \in \RR ^2 : e^{x+y} \in \ZZ \} $.

  2. $\{ z\in \CC : e^ z \not\in \ZZ \} $.

  3. $\{ t\in \RR : e^{it} = e^{2it} \} $, dove $i=\sqrt {-1}$.

  4. $\{ (z,w) \in \CC ^2 : |z|^2 + |w|^2 = 1 \} $, dove $|z|^2= z \bar z$.

(3) Siano $A,B,C,D$ quattro punti indipendenti dal punto di vista affine di $\AA ^3(\RR )$, e $G$ il gruppo di tutte le affinità che mandano l’insieme $\{ A,B,C,D\} $ in sé.

  1. Determinare il numero di elementi di $G$.

  2. Determinare il numero di elementi degli stabilizzatori rispetto all’azione del gruppo $G$ di $A$, di $B$, di $C$, e di $D$.

  3. L’azione di $G$ è transitiva su $\{ A,B,C,D\} $?

  4. Determinare l’insieme dei punti dello spazio affine fissati da tutti gli elementi di $G$.

(4) Siano $A\neq B$ due punti di $\EE ^4$, $\vv $ e $\vw $ due vettori indipendenti e $r$, $l$ le rette per $A,B$ e con giacitura $\vv , \vw $ rispettivamente.

  1. Determinare il numero di rette ortogonali (e incidenti) a $r$ e $l$.

  2. Discutere la dimensione del più piccolo sottospazio affine che contiene le due rette $r$ e $l$.

  3. Se $r$ e $l$ non si intersecano, determinare il numero di piani che contengono sia $r$ che $l$.

(5) Siano $A=[1:0]$, $B=[0:i]$ e $C=[1:i]$ tre punti di $\PP ^1(\CC )$.

  1. Trovare, se esiste, una proiettività $f\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ tale che $f(A) = A$, $f(B)=B$ e $f(C) \neq C$.

  2. Dimostrare che se $f\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ è una proiettività che fissa almeno tre punti distinti, allora $f$ è l’identità.

  3. Determinare se esistono matrici $F\subset GL(2;\CC )$ che inducono una proiettività $f=[F]\from \PP ^1(\CC ) \to \PP ^1(\CC )$ con un unico punto fisso.