Scritto #2 - 14 lug 2009 (14:30, U1-03)

(1) Sia $GA(n,\RR )$ il gruppo affine su $X=\AA ^ n(\RR )$, e $A\in \AA ^ n(\RR )$ un punto.

  1. Qual è lo stabilizzatore di $A$ in $GA(n,\RR )$? Qual è l’orbita di $A$ in $X$? L’azione è transitiva?

  2. Si consideri l’azione di $GA(n,\RR )$ su $X\times X$ definita ponendo $f(A,B) = (f(A), f(B))$ per ogni $f\in GA(n,\RR )$ e per ogni $(A,B) \in X^2$. Al variare di $(A,B)\in X^2$, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di $(A,B)$? L’azione è transitiva?

  3. Si consideri l’azione di $GA(n,\RR )$ su $X\times X\times X$ definita ponendo $f(A,B,C) = (fA,fB,fC)$ per ogni $f\in GA(n,\RR )$ e per ogni $A,B,C \in X$. Al variare di $(A,B,C)\in X^3$, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di $(A,B,C)$?

(2) Sia $X$ un insieme e $\tau \subset 2^ X$ la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi $A$ di $X$ che hanno complemento finito, cioè tali che $X\smallsetminus A$ ha un numero finito di elementi, più l’insieme $\emptyset $.

  1. Dimostrare che $\tau $ è una topologia su $X$.

  2. Mostrare che se $X$ è finito, allora con la topologia $\tau $ è di Hausdorff.

  3. Mostrare che se $X$ non è finito e $A,B\subset X$ sono due aperti non vuoti di $\tau $, allora $A\cap B\neq \emptyset $: dedurre che se $\tau $ è di Hausdorff, allora $X$ è finito.

  4. Determinare per quali cardinalità di $X$ lo spazio topologico $(X,\tau )$ è connesso.

(3) Si consideri il sottoinsieme di $\RR $ definito da

\[ X = \{ \dfrac {p}{q} : p \in \ZZ ,\ q\in \NN ,\ q > 0, |p^2 - q^2| \leq 10^{100} \} , \]

con la topologia indotta da quella metrica di $\RR $.

  1. $X$ è chiuso?

  2. $X$ è compatto?

  3. $X$ è connesso?

(4) Determinare quali dei seguenti sottospazi di $\RR ^2$ sono compatti e quali sono connessi.

  1. $ \{ (x,y) \in \RR ^2 : x^{10} + y^{10} < 10 \} $.

  2. $ \{ (x,y) \in \RR ^2 : \exists n \in \NN : x^ n + y^ n = n \} $.

  3. $ \{ (x,y) \in \RR ^2 : \exists n \in \NN , n\geq 1 : 1 + x + x^2 + \ldots + x^ n = y \} $.

(5) Siano $A,B,C$ tre punti non allineati dello spazio affine $\AA ^ n(\RR )$.

  1. Dimostrare che la retta $r$ che passa per i punti medi di $AB$ e $BC$ è parallela alla retta per $AC$.

  2. Si consideri la chiusura proiettiva $X$ del piano affine che contiene $ABC$. Scrivere, in un sistema di riferimento proiettivo opportuno, l’equazione della retta $r$.

  3. Determinare il punto all’infinito di $r$.

  4. Scrivere, in un opportuno sistema di riferimento proiettivo su $X$, una proiettività che permuti ciclicamente i tre punti $ABC$.