Scritto #1 - 23 giu 2009 (14:30, U1-03)

(1) Consideriamo il seguente sottoinsieme di $\RR ^2$ (con la topologia euclidea):

\[ X = \{ (x,y) \in \RR ^2 : xy \not\in \ZZ \} . \]
  1. È aperto? È chiuso?

  2. Consideriamo l’iperbole $C$ di equazione $x^2-y^2 = 1$. L’intersezione $X\cap C$ è aperta nella topologia di $C$? È chiusa nella topologia di $C$? E nella topologia di $\RR ^2$?

  3. $X$ e $X\cap C$ sono compatti? sono connessi?

  4. Si consideri la funzione $\varphi \from \ZZ \times X \to \RR ^2$ definita ponendo

    \[ \varphi (k,(x,y) ) = (2^ kx,2^ ky). \]

    È vero che l’immagine di $\varphi $ è contenuta in $X$?

(2) Dimostrare che:

  1. $S^1$ non è omeomorfo ad un intervallo.

  2. Gli intervalli $(0,1)$ e $[0,1]$ non sono omeomorfi.

  3. Se uno spazio topologico $X$ è connesso e $X=A\cup B$ con $A\neq \emptyset $ e $B\neq \emptyset $, allora o $\overline{A} \cap B \neq \emptyset $ oppure $\overline{B} \cap A \neq \emptyset $.

  4. Se $X\subset \RR $ non è un intervallo, allora non è connesso.

(3) Sia $G\subset SO(2)$ un sottogruppo di $SO(2)$ e $X=S^1\subset \RR ^2$, con l’azione standard di $G$ su $X$. Mostrare che:

  1. Per ogni $g\in G$, la mappa $x\in S^1 \mapsto gx\in S^1$ è un omeomorfismo.

  2. Se $G$ è un gruppo ciclico finito, allora $X/G\approx S^1$.

  3. Se l’orbita di $x\in X$ non è un insieme finito, allora $G$ non è un gruppo finito.

  4. Per $n\geq 2$ fissato, quali sono gli elementi di $SO(2)$ di ordine $n$?

(4) Siano $A$ e $B$ due punti distinti di $\EE ^2$, e $f$, $g$ le rotazioni attorno ad $A$ e $B$ (rispettivamente) di angolo $\pi $.

  1. Determinare i punti fissati dalle composte $fg$ e $gf$.

  2. Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di $\EE ^2$ generato da $f$ e $g$. È un gruppo abeliano (commutativo)?

  3. Determinare l’orbita di $A$, di $B$ e del punto medio del segmento $AB$.

(5) Si considerino in $\PP ^2(\RR )$ le rette $H= \{ [x_0:x_1:x_2] \in \PP ^2(\RR ) : x_1 = 0 \} $ e $H’= \{ [x_0:x_1:x_2] \in \PP ^2(\RR ) : x_2 = 0 \} $.

  1. Al variare di $P\in H$, si scriva l’equazione della retta $l_ P$ passante per $P$ e per il punto $Q$, dove $Q=[0:1:1]$ è fissato.

  2. Si determini l’intersezione di $l_ P$ con $H’$ in funzione di $P$.

  3. La funzione indotta $H\mapsto H’$ manda punti all’infinito in punti all’infinito, se la retta all’infinito ha equazione $x_0=0$)?

  4. Si scriva in coordinate affine (la retta all’infinito ha equazione $x_0=0$) la trasformazione indotta da $H$ ad $H’$.