(#5) - 1 feb 2011, 14:30-16:30, aula U9-07

(1) [4u] Sia $f$ la mappa $f\from \PP ^1(\RR )\to \PP ^1(\RR )$ definita da

\[ f([x:u]) = [x+u:x-u] \]

dove $[x:u]\in \PP ^1(\RR )$, e $\PP ^1(\RR )$ ha la topologia quoziente.

  1. Dimostrare che $f$ è una mappa ben definita e continua.

  2. Determinare se $f$ è biunivoca.

  3. Determinare per quali $[x:u] \in \PP ^1(\RR )$ si ha $f([x:u])=[x:u]$.

  4. Dimostrare che $\PP ^1(\RR )$ è uno spazio di Hausdorff e che ogni sottoinsieme chiuso di $\PP ^1(\RR )$ è compatto.

(2) [6u] Sia $G\subset GL(2,\RR )$ l’insieme di tutte le matrici $2\times 2$ definito da

\[ G = \left\{ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \ | a,b,c,d\in \RR , ac+bd=0,\ a^2+b^2=c^2+d^2 \neq 0 \ \right\} , \]

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( $\cong \RR ^4$). Per ogni $g\in \CC \cong \RR ^2$, si consideri la matrice $L_ g$ associata alla funzione $\RR $-lineare $\RR ^2\cong \CC \to \CC \cong \RR ^2$ definita da

\[ z\in \CC \mapsto gz \in \CC \]

nella base canonica $\ulcorner \left\{ 1,i\right\} \lrcorner $ di $\CC $ su $\RR $.

  1. Mostrare che per ogni $g\in \CC ^*=\CC \smallsetminus \{ 0\} $, si ha $L_ g \in G$.

  2. La funzione $ \CC ^* \ni g \mapsto L_ g \in G$ è iniettiva? È suriettiva? È continua?

  3. Dato $g\in \CC ^*$, si consideri l’insieme

    \[ X_ g = \{ \left( L_ g \right) ^ n : n \in \ZZ \} \, . \]

    Mostrare che $X_ g \subset G$, e che è un gruppo rispetto al prodotto di matrici.

  4. Determinare per quali $g\in \CC ^*$ si ha che $X_ g$ è limitato.

  5. Determinare per quali $g\in \CC ^*$ si ha che $X_ g$ è compatto.

(3) [4u] Sia $G$ l’insieme di tutte le affinità di $\AA ^2(\CC )$ in sé che fissano tutti i punti della retta di equazione $x+2y=3$.

  1. Determinare se $G$ è un gruppo o no.

  2. Determinare se $G$ è finito o no.

  3. Sia $f\from G \to \AA ^2(\CC )$ la funzione definita ponendo

    \[ f(g) = g \cdot O, \]

    dove $O=(0,0)\in \AA ^2(\CC )$ è l’origine. Determinare se $f$ è iniettiva e/o suriettiva.

  4. Determinare quali elementi di $G$ sono traslazioni e/o omotetie.

(4) [4u] Sia $T\subset \EE ^3$ il tetraedro di vertici $A=(0,0,0)$, $B=(1,1,0)$, $C=(1,0,1)$, $D=(0,1,1)$.

  1. Mostrare che $T$ è un tetraedro regolare.

  2. Determinare raggio e centro delle sfere inscritta e circoscritta di $T$.

  3. Determinare le coordinate delle proiezioni dei vertici di $T$, proiettate sul piano $z=0$ con proiezione parallela alla direzione $(1,2,3)$.

  4. Calcolare il volume di $T$.