(#4) - 28 settembre 2010, 14:30-16:30, aula U9-07

(1) [4u] Sia $f$ la mappa definita da

\[ f(z) = \dfrac {z^2 + \overline{z}^2}{z+\overline{z}}, \]

dove $z\in \CC $, $\CC $ ha la topologia metrica e $\overline{z}$ indica il complesso coniugato di $z\in \CC $.

  1. Determinare il dominio di $f$ e dimostrare che $f$ è ivi continua. (Si ponga $z=a+ib$ con $a,b\in \RR $, …)

  2. Determinare l’immagine di $f$,

    \[ \{ f(z) : z \in \CC \} = \{ w\in \CC : \exists z\in \CC : f(z)=w \} . \]
  3. Determinare per quali $\vw \in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(\vw )$ è un sottospazio compatto e non vuoto di $\CC $.

  4. Determinare per quali valori di $\vw \in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(\vw )$ è un sottospazio connesso e non vuoto di $\CC $.

(2) [6u] Sia $G\subset GL(2,\RR )$ l’insieme di tutte le matrici $2\times 2$ con determinante $1$, cioè

\[ G = \left\{ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \ | a,b,c,d\in \RR , ad-bc=1\ \right\} , \]

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( $\cong \RR ^4$).

  1. Lo spazio $G$ è un gruppo topologico compatto?

  2. La funzione traccia $\operatorname {Tr}\from G \to \RR $ definita da

    \[ \operatorname {Tr}\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = a+d \]

    è continua? È un omomorfismo di gruppi?

  3. Si consideri la funzione $\varphi \from G \times \PP ^1(\RR ) \to \PP ^1(\RR )$ definita da

    \[ \varphi : \left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} , [x:u] \right) \mapsto [ax+bu : cx+du ] \in \PP ^1(\RR ) \]

    Dimostrare che è ben definita e che è una azione continua di $G$ su $X=\PP ^1(\RR )$.

  4. Dimostrare che gli elementi $A$ di $G$ che fissano uno e un solo punto di $X$ sono quelli la cui traccia $\operatorname {Tr}(A) = \pm 2$. Dedurre che il sottospazio $Y\subset G$ formato da tutti questi elementi è chiuso in $G$.

  5. Se $P\in X$ è un punto generico, dire se lo stabilizzatore $G_ P\subset G$ è un sottogruppo chiuso.

  6. Determinare se $Y$ è compatto.

(3) [4u] Sia $G$ l’insieme di tutte le affinità di $\AA ^2(\QQ )$ in sé che fissano tutti i punti della retta di equazione $x+y=2$.

  1. Determinare se $G$ è un gruppo o no.

  2. Determinare se $G$ è finito o no.

  3. Sia $f\from G \to \AA ^2(\QQ )$ la funzione definita ponendo

    \[ f(g) = g \cdot O, \]

    dove $O=(0,0)\in \AA ^2(\QQ )$ è l’origine. Determinare se $f$ è iniettiva e/o suriettiva.

  4. Determinare quali elementi di $G$ sono traslazioni e/o omotetie.

(4) [4u] Sia $\EE ^2$ il piano euclideo.

  1. Dimostrare che ogni isometria di $\EE ^2$ è composizione di un numero finito di riflessioni (lungo rette).

  2. Sia $R\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la rotazione con centro $C=(1,1)$ di angolo $\theta = \dfrac {\pi }{5}$: si scriva come composizione di due riflessioni.

  3. Determinare se la decomposizione di una isometria $g$ nel numero minimo di riflessioni è unica o meno, al variare di $g$ nel gruppo di tutte le isometrie del piano.

  4. Sia $f\from \EE ^2 \to \EE ^2$ la funzione definita da

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

    Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una rotazione; scriverla come composizione di riflessioni.