(#3) - 7 settembre 2010, 14:30-16:30, aula U1-08

(1) [4u] Sia $f\from \CC ^2 \to \CC $ la mappa definita da $f(x,y) = x \overline{y}$, dove $\CC ^2$ e $\CC $ hanno la topologia della metrica euclidea e $\overline{y}$ indica il complesso coniugato di $y\in \CC $.

  1. Dimostrare che $f$ è continua.

  2. Per quali valori di $\vw \in \CC $ la controimmagine $f^{-1}(\vw )$ è un sottospazio compatto non vuoto di $\CC ^2$?

  3. Per quali valori di $\vw \in \CC $ si ha che $f^{-1}(\vw )$ è connesso e non vuoto?

  4. Determinare cosa è l’immagine $f(X)\subset \CC $, dove

    \[ X = \{ (x,y) \in \CC ^2 : |x|^2 + |y|^2 = 1 \} \subset \CC ^2, \]

    e $|x|^2 = x \overline{x}$ e $|y|^2 = y \overline{y}$.

(2) [6u] Sia $X\subset GL(2,\RR )$ l’insieme di tutte le matrici $2\times 2$ invertibili (a coefficienti reali) a traccia nulla e determinante $1$, cioè

\[ X = \left\{ \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \ | a,b,c,d\in \RR , ad-bc=1,\ a+d = 0 \right\} , \]

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( $\cong \RR ^4$).

  1. Lo spazio $X$ è compatto?

  2. Quali sono gli elementi del sottoinsieme $Y\subset X$ formato dalle matrici ortogonali di $X$ (cioè elementi di $ Y= X \cap O(2)$)? E quali sono gli elementi che sono matrici simmetriche?

  3. Sia $G=GL(2,\RR )$ il gruppo delle matrici invertibili $2\times 2$. Dimostrare che la funzione $G\times X \to X$ definita da

    \[ (S,A) \mapsto S \cdot A = S A S^{-1}, \]

    per ogni $S\in G$ e ogni $A\in X$, dove il prodotto $SAS^{-1}$ è il prodotto di matrici, è una azione di $G$ su $X$.

  4. Determinare se gli elementi di $Y$ sono contenuti in una sola orbita di $G$ oppure no.

  5. Sia $A\in X$. Sia $f_ A\from \RR ^2 \to \RR $ la funzione definita per ogni $\vv \in \RR ^2$ ,$\vv \neq 0$, da

    \[ f_ A(\vv ) = \dfrac { | A \vv - \vv | }{|\vv |} . \]

    Dimostrare che $f_ A$ ammette massimo e minimo.

  6. Determinare se lo spazio $X$ e lo spazio quoziente $X/G$ sono connessi o no. (suggerimento: si ricordi il punto sulle matrici simmetriche)

(3) [4u] Sia $G$ l’insieme di tutte le affinità di $\AA ^2(\QQ )$ in sé che fissano tutti i punti della retta di equazione $x+y=1$.

  1. Determinare se $G$ è un gruppo o no.

  2. Determinare se $G$ è finito o no.

  3. Sia $f\from G \to \AA ^2(\QQ )$ la funzione definita ponendo

    \[ f(g) = g \cdot O, \]

    dove $O=(0,0)\in \AA ^2(\QQ )$ è l’origine. Determinare se $f$ è iniettiva e/o suriettiva.

  4. Determinare quali elementi di $G$ sono traslazioni e/o omotetie.

(4) [4u] Sia $\PP ^2(\CC )$ il piano proiettivo complesso, con la topologia quoziente.

  1. Si dimostri che due rette distinte in $\PP ^2(\CC )$ si incontrano in uno e un solo punto.

  2. Si mostri che lo spazio costituito da tutte le rette di $\PP ^2(\CC )$ è a sua volta un piano proiettivo, che indichiamo con $\PP ^2(\CC )^*$.

  3. Sia

    \[ \Delta = \left\{ (r,r) : r \in \PP ^2(\CC )^* \right\} \subset \PP ^2(\CC )^* \times \PP ^2(\CC )^*. \]

    Si consideri la funzione

    \[ f \from \PP ^2(\CC )^* \times \PP ^2(\CC )^* \smallsetminus \Delta \to \PP ^2(\CC ) \]

    definita da $\{ f(r,r’)\} = r\cap r’$, se $r$ e $r’$ sono due rette distinte. Mostrare che è ben definita e continua.